微分中值定理教案

§2.6微分中值定理【课程名称】《高等数学》【授课题目】微分中值定理【授课时间】20231118【授课对象】2023级电子信息专业本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日〔Lagrange〕中值定理，罗尔〔Rolle〕定理可以看成是拉格朗日中值定理的特别情形，而柯西〔Cauchy〕中值定理则是拉格朗日中值定理推广。导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。微分中值定理也是微分学的理论根底，微分学的很多重要的应用都是建立公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。【教学目标】使学生把握拉格朗日中值定理，娴熟运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；纳与总结，形成系统的学问层次与构造；的乐趣，进展应用意识和解决问题的力量。【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。【教学方法及手段】以启发式讲授为主，承受多媒体关心演示。§2.6.2一、内容回忆在闭区间[a,b]上连续；在开区间(ab在闭区间[a,b]上连续；在开区间(ab内可导；

〔幻灯片1〕板书标题〔3〕f(a)f(b)。则至少存在一点 (a,b)，使得f()0。几何意义：在定理的条件下，区间(a,b)内至少存在一点 使得曲线在点((,f(处具有水平切线。〔2〕首先回忆前面所学习的内容，然后通过提问引入课的内容:微二、拉格朗日中值定理分中值定理的核2〔Lagrange〕f(x)满足条件：心内容---拉格〔1〕在闭区间[ab]上连续；朗日〔Lagrange〕〔2〕在开区间(ab内可导；中值定理。则在(a,b)内至少存在一点 ，使得f()f(b)f(a)ba 。或写成f(bf(a)f()(ba)。上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于ba也成立。几何意义yf(x)上除端点外处处具有xAB上至少存在一点((,f())AB。〔幻灯片3〕【本节重点】板书定理内容解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性。〔4Lagrange生平简〕〔5〕

由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足f(a)f(b)时，此时弦AB的斜率等于零。即f()0是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特别情形。即Lagrange中值定 f(a)f(b)Rolle证明分析：假设记借助于多媒体，图文并茂地解释定理几何意义。

f(b)f(a)ba k，要证〔1〕式，即 证f()kf()k0[f(x)k] 0[f(x)kx] 0x x也就是是否存在 (a,b)，使函数(x)f(x)kx在x 处的导数为零？即()0。证明：作关心函数(x)f(x)kxx[ab]。简洁验证(x)在闭区间[ab(ab)内可导，且(a)f(a)kaf(a)

f(b)f(a)ba

【本节难点】板书分析证明的思路bf(a)af(b)ba

(b)。从而(x)满足罗尔定理的条件，即至少存在一点(ab)，使()0。即

引导学生承受逆向思维的方式f()f(b)f(a)ba〔幻灯片6〕引导学生通过观看图形的区分引导学生思考拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系

证毕。

，从结论入手分析得出需证明的结论的条件。〔幻灯片7〕此定理的证明关键是构造关心函数满足罗尔定理条件，然后利用罗尔定理的结论

例1 证明arcsinxarccosx ,x[2证明。

。证： 设f(x)arcsinxarccosx，则在(1,1)上此处提出问题让学生思考是否还有别的方法构造关心函数满足条件，然后给出提示。

f(x)

1 1 01x1x21x2f(x)arcsinxarccosxC由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：推论fx在开区间(ab内可导,且f(x)0，则在(abfx为常数。即

〔x0，得C 。又2f(x)0xab) f(x)Cx(ab，其中C为常数。

f(1)

2，故xx1 2

ab)x1

x，在xx2 1

上所证等式在定义2f(x2

)f(x1

f()(x2

x，其中2

域[1,1] (x,x1 2

(abf(x)0,xab，所以立。f(0f(x1

)f(x2

。由xx1

ab的任

练习1fx为常数。

arctanxarccotx

2三、定理的应用证 ： 设f(x)arctanxarccotx，则在(上，〔幻灯片8-9〕此处引导学生思考证明的思路与