高等数学-多元函数微分法及其应用课件

多元函数微分法及其应用第七章习题课一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类四、关于多元函数微分学应用的题类1.几何应用.2.极(最)值1多元函数微分法及其应用第七章习题课一、关于多元函数极限的题类本章基本概念及其关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质2.几个基本概念的导出关系2本章基本概念及其关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性偏导数连续可微连续偏导数存在极限存在极限存在【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】3偏导数连续可微连续偏导数存在极限存在极限存在【必须熟一、关于多元函数极限的题类二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难：【例1】【解】取路径y=kx，则与k有关,故不存在.【例2】初等函数.(1,0)定义域内点.连续.代入法【例3】换元,化为一元函数的极限4一、关于多元函数极限的题类二元函数的极限比一元函数的极限要复【阅读与练习】求下列极限【解】【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧5【阅读与练习】求下列极限【解】【提示】可以引用一元函数求极限【例4】【解】由于且故原极限=0——夹逼准则(4)【法Ⅰ】【法Ⅱ】——夹逼准则6【例4】【解】由于且故原极限=0——夹逼准则(4)【法Ⅰ】二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类1.一般来说，讨论二元函数z=f(x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.［连续］［可偏导］［可微］内含三条，缺一不可包括高阶偏导数定义等7二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类1.一般来说，讨2.【二元函数在区域内的偏导数】82.【二元函数在区域内的偏导数】8偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处

3.【多元函数的偏导数】9偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f(x,y4.【偏导数的几何意义】如图104.【偏导数的几何意义】如图101111【5.几何意义】12【5.几何意义】12【例1】【解】13【例1】【解】13【解】14【解】14【证】原结论成立．【证完】15【证】原结论成立．【证完】15例4.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例5.计算函数的全微分.解:

机动目录上页下页返回结束?16例4.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例5.作业p100同济p62,p6917作业p100同济p62,p6917三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类①［二阶纯偏导数］②［二阶混合偏导数］1.【高阶偏导数的定义】18三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类①［二阶纯偏导数］②［二【定义式】其余类推(2)同样可得：三阶、四阶、…、以及n

阶偏导数。(3)【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【解】19【定义式】其余类推(2)同样可得：三阶、四阶、…、以及n【解】20【解】20例3.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及21例3.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动(4)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即混合偏导数与求导次序无关.22(4)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即混合偏导③2.【多元复合函数求导法则】(1)【可导充分条件】内层函数偏导存在,外层函数偏导连续(2)【复合函数求导链式法则】①全导数

②23③2.【多元复合函数求导法则】(1)【可导充分条件】内层例1.设解:机动目录上页下页返回结束24例1.设解:机动目录上页下页返回【例2】【解】【注意】25【例2】【解】【注意】25例3.解:机动目录上页下页返回结束26例3.解:机动目录上页下页返回【例4】【解】【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f1,f12等.27【例4】【解】【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f1,为简便起见,引入记号例5.设

f具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束作业p100同济p69,p7528为简便起见,引入记号例5.设f具有二阶连续偏导数,3.【全微分】全微分＝各偏微分之和u,v是自变量或中间变量4.【隐函数的求导法则】(1)［公式法］(2)［推导法］(直接法)——方法步骤③①②

x、y、z等各变量地位等同公式不必记,要求掌握［推导法］③解由②得到的方程(组),解出要求的偏导数.形式不变性①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量；②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；其余自变量的偏导数同理可求.293.【全微分】全微分＝各偏微分之和u,v是自变量或中间变例1.设解法1利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束再对x求导30例1.设解法1利用隐函数求导机动目录上页解法2利用公式设则两边对x求偏导机动目录上页下页返回结束31解法2利用公式设则两边对x求偏导机动目录例2.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求机动目录上页下页返回结束答案:由题设故有32例2.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求机【例3】【解】【分析】确定y=y(x),z=z(x),u=u(x)三方程两边同时对x求导.于是可得,33【例3】【解】【分析】确定y=y(x),z=z(x),u【例4】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.【解Ⅰ】[公式法]x,y,z.地位等同34【例4】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.【解Ⅰ】[公式【解Ⅱ】[推导法]（直接法）【例4】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.z是x,y的函数两边同时对y求导35【解Ⅱ】[推导法]（直接法）【例4】【分析】隐函数，含抽象【解Ⅲ】全微分法【例4】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.（作业p100同济p89）36【解Ⅲ】全微分法【例4】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数四、关于多元函数微分学应用的题类1.【几何应用】空间曲线Γ有切线和法平面退化情形切向量空间曲线Γ平面曲线C切向量(P85;同济p94)37四、关于多元函数微分学应用的题类1.【几何应用】空间曲线Γ有空间曲面Σ有切平面和法线退化情形法向量空间曲面Σ平面曲线C法向量(P88;同济p98)38空间曲面Σ有切平面和法线退化情形法向量空间曲面Σ平面曲线C法【例1】【解】方程、法线方程和向上法线的方向余弦.切平面法线向上法线方向与z轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为39【例1】【解】方程、法线方程和向上法线的方向余弦.切平面法【解】设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得【分析】为隐式情形（待定常数法）40【解】设为曲面上的切点,切平面方程为依题因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)41因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切【解】切线方程法平面方程42【解】切线方程法平面方程42【例4】【解】【分析】空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，再用隐函数求导的推导法（直接法）求导.曲线方程为切线：法平面：（即P87例2同济p96例5）（作业p105同济p100）43【例4】【解】【分析】空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式二元函数极值的判定定理2.【极(最)值】44二元函数极值的判定定理2.【极(最)值】44【解】（此为隐函数的极值问题）45【解】（此为隐函数的极值问题）454646求出实数解，得驻点.47求出实数解，得驻点.47［条件极值的求法］法