第23讲：相关系数讲义 高三艺考数学一轮复习

第23讲：相关系数【课型】复习课【教学目标】1.了解相关系数的概念及范围2.会用相关系数公式解决一些简单问题【预习清单】【基础知识梳理】1.相关系数：r=2..相关系数r范围：3.当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．【引导清单】考向一：相关系数及其应用例1：某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．【解】(1)由已知得样本平均数eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12000.(2)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数r＝＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．【训练清单】【变式训练】随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据．月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；(系数精确到0.001)(2)建立y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(系数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到0.01)参考数据：（xi－11）（yi－3）＝74.5，（xi－11）2＝340，(yi－3)2＝16.5，eq\r(340)≈18.44，eq\r(16.5)≈4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1，2，3，…，8.参考公式：(i)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)).(ii)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)由题可知eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，将数据代入r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，得r≈eq\f(74.5,18.44×4.06)＝eq\f(74.5,74.8664)≈0.995.因为y与x的相关系数近似为0.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分)(2)将数据代入eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(74.5,340)≈0.219，则eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈3－0.219×11≈0.59.因为0.219≈0.22，所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59.由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59＞6，解得x＞24.59，即至少需要投入促销费用24.59万元．【巩固清单】1．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋150，则下列结论正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5C．当销售价格为10元时，销售量为100件D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右【解析】选D.由回归直线方程知，y与x具有负的线性相关关系，A错，若r表示y与x之间的线性相关系数，则|r|≤1，B错．当销售价格为10元时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C错.2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为y＝kx＋b，则()A．k与r的符号相同B．b与r的符号相同C．k与r的符号相反D．b与r的符号相反【解析】选A.因为相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，所以k与r的符号相同．故选A.3．对两个变量x，y进行线性回归分析，计算得到相关系数r＝－0.9962，则下列说法中正确的是()A．x与y正相关B．x与y具有较强的线性相关关系C．x与y几乎不具有线性相关关系D．x与y的线性相关关系还需进一步确定【解析】选B.因为相关系数r＝－0.9962，所以x与y负相关，因为|r|＝0.9962，非常接近1，所以相关性很强，故选B.4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.eq\f(1,2)D．1【解析】选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.5．基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2022.82022.92022.102022.112022.122023.1月份代码x123456市场占有率y(%)111316152021(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明能否用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2023年2月份的市场占有率．参考数据：eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝17.5，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝35，eq\r(1330)≈36.5.参考公式：相关系数r＝；回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)作出散点图如下．eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，所以(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝76.所以r＝＝eq\f(35,\r(17.5×76))＝eq\f(35,\r(1330))≈eq\f(35,36.5)≈0.96.所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系．(2)b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(35