高等数学隐函数求导课件

第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第二章第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐1一、隐函数的导数若由方程可确定y是x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:

两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)（隐函数的显化）一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示2例1.

求由方程在x=0

处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对3例2.

求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x4的一阶导数确定的隐函数求由方程练习：二阶导数解:方程两边对x求导，得的一阶导数确定的隐函数求由方程练习：二阶导数解:方程两边5隐函数求高阶导数法1:由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导数的显式继续求导.法2:反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.隐函数求高阶导数法1:由隐函数直接求出一阶导数,用一阶6例3解例3解7练习设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①练习设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,8观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方9例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对101)对幂指函数可用对数说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:求导法求导:1)对幂指函数可用对数说明:按指数函数求导公式按幂函数求11求的导数.解:求的导数.解:122)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两13又如,

对x求导两边取对数又如,对x求导两边取对数14二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:

消参困难或无法消参如何求导?二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难15若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,16若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.17例5解例5解18例6解例6解19所求切线方程为所求切线方程为20?例7.设,且求已知解:练习:

解:注意:对谁求导?

求?例7.设,且求已知解:练习:解:注意:对谁求导?21例8.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,得故例8.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导22内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导231.

设由方程确定,解:方程两边对x求导,得且存在，求思考与练习1.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得且24解解得解解得25作业P821(2)(3);2;4(2)(4);5(1)(2);6(2);8第五节作业P821(2)(3);2;4(2)26求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导思考题1.设求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求27,求解：方程组两边同时对t求导,得2.

设,求解：方程组两边同时对t求导,得2.设283.设求提示:分别用对数求导法求答案:3.设求提示:分别用对数求导法求答案:29练习题一、

填空题：1、

设01552223=+-+-yxyyxx确定了y是x的函数，则)1,1(dxdy=________.2、

曲线733=-+xyyx在点（1，2）处的切线方程是___________.3、

曲线îíì==ttyttxsincos在2p=t处的法线方程________.4、

已知îíì==teytexttsincos,则dxdy=______；3p=tdxdy=______.5、

设yxexy+=,则dxdy=________.练习题一、填空题：1、设01552223=+-+30二、

求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd：1、

；2、

；3、

yxxy=

)00(>>yx，.三、

用对数求导法则求下列函数的导数：1、

2xxy=；2、

54)1()3(2+-+=xxxy；3、

xexxy-=1sin.二、求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd：1、31四、

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1、îíì==tbytaxsincos

；2、îíì-¢=¢=)()()(tftftytfx

设)(tf¢¢存在且不为零.五、

求由参数方程îíì-=+=ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的

二阶导数22dxyd.六、设)(xf满足xxfxf3)1(2)(=+，求)(xf¢.四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1、32练习题答案一、1、34；

2、02311=-+yx3、022=+-ppyx；4、32,sincoscossin---+tttt；5、yxyxexye++--.二、1、；2、-)(cot)(csc232yxyx++；

3、322)1(ln)1(ln)1(ln++-+yxyxxyy.练习题答案一、1、34；2、02311=-+yx33三、1、)1ln2(12++xxx；2、]1534)2(21[)1()3(254+---++-+xxxxxx；