复变函数幂级数课件

§4.2

幂级数1、幂级数的敛散性2、幂级数的收敛半径的求法3、幂级数的和函数的解析性4、例题5、小结§4.2幂级数1、幂级数的敛散性1.1

幂级数的定义：形式的复函数项级数称为幂级数,其中c0,c1,c2,…,a都是复常数.幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.1、幂级数的敛散性具有若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式1.1幂级数的定义：形式的复函数项级数称为幂定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:|z-a|<|z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.证:设z是所述圆内任意点.因为(n=0,1,2,…),注意到|z-a|<|z1-a|,故级数

a收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使收敛定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则其次,对K内任一闭圆在圆K上有收敛的优级数因而它在K上一致收敛.再由定理4.8,此级数必在圆K内内闭一致收敛.在圆K内绝对收敛.上的一切点来说,有:

a其次,对K内任一闭圆在圆K上有收敛的优级数因而它在K推论4.11若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.

az1z2推论4.11若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.收敛圆周特别,..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.收敛与幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实变数.则有定理4.11

设的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：2.幂级数的敛散性讨论与幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实变数.则有定理4.1注解1和数学分析中一样，定理的称为此级数的收敛半径；而称为它的收敛圆盘.时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面..当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点注解1和数学分析中一样，定理的称为此级数的收敛半径；而称为定理4.12如果幂级数(4.3)的系数cn合于或或2、幂级数的收敛半径的求法则幂级数的收敛半径为:R=1/l(l≠0,l≠+∞)0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)定理4.12如果幂级数(4.3)的系数cn合于或或2、幂级例1求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为4、典型例题例1求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有原级数成为交错级数解所以例2求的收敛半径.解所以例2求的收敛注解2(1)处处收敛;(2)既有收敛点,又有发散点;(3)处处发散一个幂级数在其收敛圆上的敛散性有如下三种可能例如注解2(1)处处收敛;(2)既有收敛点,又有发散点;(3)定理4.13(1)幂级数(4.5)的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.3、幂级数的和函数的解析性

(2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即：(p=1,2,…)(4.6)(3)(p=0,1,2,…).(4.7)定理4.13(1)幂级数(4.5)的和函数f(z)在其收(4)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即(4)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级例3

求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以4、典型例题例3求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以例4

计算解例4计算解例5

求级数的收敛半径与和函数.解例5求级数的收敛半径与和函数.解5、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数和函数的性质.思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?5、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔资料Born:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),Norway

Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbel阿贝尔资料Born:5Aug1802inFrind阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格