函数的孤立奇点及其分类课件

1

从上一章可以看出,利用将函数f(z)在其解析的环域R1<|z-z0|<R2内展开成Laurent级数的方法,根据该级数的系数的积分表达式可以计算右端的积分.这类积分非常广泛,其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭曲线.C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多个奇点.

有时将函数展开成Laurent级数,求系数C-1很麻烦.这就需要介绍一种求C-1的新方法：用留数计算积分的方法.1从上一章可以看出,利用将函数f(z)在其解12例计算积分解：先分析函数的解析性。显然它的奇点值满足的，其奇点构成了实轴上的区间，因此它在环域内解析。于是令，利用得它在环域内的Laurent级数的展开式于是取

，得其积分值2例计算积分2第五章留数及其应用§5-1函数的孤立奇点及其分类§5-2留数和留数定理§5-3留数在定积分计算中的应用§5-4*对数留数与幅角原理第五章留数及其应用§5-1函数的孤立奇点及其分类34§5-1函数的孤立奇点及其分类一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型四*、函数在无穷远点的性态4§5-1函数的孤立奇点及其分类一Δ、函数孤立奇点的概念及45定义如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注:

孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.一、函数孤立奇点的概念及其分类5定义如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处56例2

指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以6例2指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域67例3指出函数的孤立奇点解：z=0是函数f(z)的奇点,zk=2/[(2k+1)π](k为整数)是它的孤立奇点.由于当时，，因此,z=0是它的奇点而不是孤立奇点.另外,f(z)在环域内解析，

是它的孤立奇点.7例3指出函数的孤立奇点解：z=0是78讨论函数在孤立奇点的情况的孤立奇点，设为则在去心邻域

可以展开成Laurent级数:下面根据cn的不同情况,对孤立奇点分类：其中,C为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭路。8讨论函数在孤立奇点的情况的孤立奇点，设为则在去心89定义

若级数中含(z-z0)的负幂项的项数分别为零个,有限个,无穷多个,则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点.且当z0为极点时若级数中负幂的系数则称z0为它的m级极点,一级极点又称为简单极点.根据展开式可能出现的不同情况，将f(z)的孤立奇点作如下分类：9定义若级数中含(z-z0)的负幂项的项数分别为零个,9101可去奇点如果Laurent级数中不含的负幂项,则称孤立奇点称为的可去奇点.定义其和函数在处解析.二、函数各类孤立奇点的充要条件101可去奇点如果Laurent级数中不含1011无论在是否有定义,可补充定义则函数在解析.反过来，若在解析，且存在，则必是的可去奇点。事实上：存在，由在的某邻域有界。11无论在是否有定义,可补充定义则函数在解析.反过来，若在1112即这样得到下面的结论：12即这样得到下面的结论：1213由定义判断:的Laurent级数无负在如果幂项,由极限判断：若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.则为的可去奇点的充要条件为为

的可去奇点.则注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点,且规定13由定义判断:的Laurent级数无负在如果幂项,1314如果补充定义:时,那末在解析.例4中不含负幂项,是的可去奇点.14如果补充定义:时,那末在解析.例4中不含负幂项,是的可去1415例5

说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解的可去奇点.为15例5说明为的可去奇点.解所以为的可去奇点.无负幂项15162极点其中关于的最高幂为即级极点.那么孤立奇点称为函数的定义

如果Laurent级数中只有有限多个的负幂项,162极点其中关于的最高幂为即级极点.那么孤立奇点称为函1617则由极点的定义17则由极点的定义1718注意到:的极点的充要条件是为函数例6有理分式函数是二级极点,是一级极点.由此得：18注意到:的极点的充要条件是为函数例6有理分式函数是二级1819的Laurent展开式中含有的负幂项为有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且由定义判别：由定义的等价形式判别：由极限判别：判断.19的Laurent展开式中含有的负幂项为有限项.在点1920练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案20练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案20213本性奇点则孤立奇点称为的本性奇点.若Laurent级数中含有无穷多个的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.213本性奇点则孤立奇点称为的本性奇点.若Laurent级2122综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为22综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent22234.函数的零点例6234.函数的零点例62324242425m

级零点的判别方法零点的充要条件是如果在解析,那末为的级推论

若点z0为函数fk(z)的mk级零点(k=1,2),则z0为函数f1(z)f2(z)的m1+m2级零点；当m1>m2时,z0为函数f1(z)/f2(z)的m1-m2级零点.25m级零点的判别方法零点的充要条件是如果在解析,那末为的2526m

级零点的判别方法零点的充要条件是证(必要性)由定义:设的Taylor级数展开为:如果在解析,那末为的级如果为的级零点26m级零点的判别方法零点的充要条件是证(必要性)由2627其中展开式的前m项系数都为零,由Taylor级数的系数公式知:并且充分性证明略.27其中展开式的前m项系数都为零,由Taylor级数的系数2728(1)由于知是的一级零点.

练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解

(2)由于答案例7

求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数.求28(1)由于知是的一级零点.练习是五级零点,是二级零点2829定理如果是的m级极点,的m级零点.证明如果是的m级极点,则有当时,函数在解析且就是那末反过来也成立.三、用函数的零点判断极点的类型29定理如果是的m级极点,的m级零点.证明如果是2930由于只要令

那末的m级零点.就是反之如果

的m级零点,是那末当时,解析且所以是的m级极点.30由于只要令那末的m级零点.就是反之如果的m3031说明简便的方法.例8

函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解

函数的奇点是使的点,这些奇点是孤立奇点.的一级极点.即此定理为判断函数的极点提供了一个较为31说明简便的方法.例8函数有些什么奇点,如果是极点,3132解

解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点?思考例9

问是的二级极点吗?注:不能以函数的表面形式作出结论.32解解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点3233例10．求下列函数孤立奇点的类型，指出极点级数(1)解：z=1和-1为函数f2(z)的奇点，取和，z=1和-1分别为f2(z)的二级极点和二级极点。33例10．求下列函数孤立奇点的类型，指出极点级数解：z=13334(2)解：点z0=0为f(z)=z的一级零点；函数的零点为，且在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数的一级零点。由定理2的推论2，z=0为函数的二级零点，又由推论1，它为f4(z)的二级极点，同理，为f4(z)的简单极点34(2)解：点z0=0为f(z)=z的一级零点；函数34定义设函数f(z)在无穷远点去心邻域内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换t=1/z,于是在去心邻域:四*、函数在无穷远点的性态定义设函数f(z)在无穷远点去心邻域设点∞为f(z)的孤立35

(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域

N-{∞},有扩充z’平面上的原点的去心邻域;

(2)在对应点z与z’上,函数(3)或两个极限都不存在.定义

若z’=0为的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将展成洛朗级数:(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域(2)在对应点z36则有其中上式为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:0≤r<|z|<+∞内的洛朗展式.对应在z’=0的主要部分.为f(z)在z=∞的主要部分.我们称则有其中上式为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:0≤r<37定理

f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在的主要部分为零;(2)(3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.定理f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是38定理

f(z)的孤立奇点z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分为(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成其中在z=∞的邻域N内解析,且(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(z)=0).定理f(z)的孤立奇点z=∞为m级极点的充要条件是下列三条39定理

f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理

f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条