高一第一学期期末考试数学试卷含答案(word版)

高一第一学期期末考试数学试卷含答案(word版)2018-2019学年上学期高一期末数学考试试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.[2018·五省联考]已知全集U=R，则下列能正确表示集合M={0,1,2}和N={(x,y)|x^2+2x=y}关系的韦恩图是（）。A.B.C.D.2.[2018·三明期中]已知函数f(x)=x+1，当x≤-1时，f(x)=-x^2+2x，则f(f(-1))=（）。A.-2B.C.1D.-13.[2018·重庆八中]下列函数中，既是偶函数，又在(-∞,0)内单调递增的是（）。A.y=x^2+2xB.y=2xC.y=2x-2D.y=log2(1/(x-1))4.[2018·大庆实验中学]已知函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是（）。A.(-1,2)B.C.(-1,7)D.(-1,∞)5.[2018·金山中学]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）。A.B.C.1D.6.[2018·黄山八校联考]若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）。A.若α⊥β，m⊥β，则m//αB.若m//α，n⊥m，则n⊥αC.若m//α，n//α，m⊂β，n⊂β，则α//βD.若m//β，m⊂α，αβ=n，则m//n7.[2018·宿州期中]已知直线l1:mx-y+3=0与l2:y=-x+2垂直，则m=（）。A.-11/22B.C.-2D.28.[2018·合肥九中]直线l过点(0,2)，被圆C:x^2+y^2-4x-6y+9=0截得的弦长为23，则直线l的方程是（）。A.y=4x/3+2B.y=-x+2/3C.y=2/3D.y=x+2或y=2/39.[2018·南宁模拟]如图，棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M为BC中点，直线D'M与平面ABCD所成角的正切值为（）。A.B.C.D.210.已知圆C的方程为$x^2+y^2=4$，直线$l$的方程为$x+y=m(m\inR)$，设圆C上到直线$l$的距离为1的点的个数为$S$，当$-2\leqm<3$时，则$S$的可能取值共有（）。解析：直线$l$的斜率为$-1$，所以$l$的法线斜率为$1$，即过$l$上任意一点$(a,b)$的法线方程为$x-y=a-b$。设圆C上到$l$的距离为1的点为$(x_0,y_0)$，则有$\dfrac{|x_0-y_0-m|}{\sqrt{2}}=1$，即$(x_0-m)^2+(y_0-m)^2=2$。又由圆的标准方程和直线的方程可知，$x_0+y_0=m$。将$x_0$和$y_0$用$m$表示，代入$(x_0-m)^2+(y_0-m)^2=2$中得到$m^2-2m-1\leq0$，即$-2\leqm<3$。此时，圆C与直线$l$的交点分别为$(\dfrac{m+\sqrt{2}}{2},\dfrac{m-\sqrt{2}}{2})$和$(\dfrac{m-\sqrt{2}}{2},\dfrac{m+\sqrt{2}}{2})$，所以$S$的可能取值为2或4，故选项（A）。11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=$\dfrac{1}{2}$。则下列结论中正确的个数为（）。解析：如图所示，连接$A_1E$和$A_1F$，则$A_1EF$平面与$ABCD$平面垂直，所以$AC\perpBE$，即结论①成立。又因为$EF\parallelA_1B_1\parallelCD$，所以$EF\parallelABCD$，即结论②成立。由于$EF=\dfrac{1}{2}$，所以$A_1EF$和$B_1EF$是等腰直角三角形，且$\angleA_1EF=\angleB_1EF=45^\circ$，故$\angleA_1EB_1=90^\circ$。又因为$A_1E=B_1E$，所以$\triangleA_1EB_1$为等腰直角三角形，故$A_1B_1=EB_1\sqrt{2}$。又因为$EF=\dfrac{1}{2}$，所以$A_1F=A_1E+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$。故$\triangleA_1EF$和$\triangleB_1EF$的高分别为$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{1}{2}$，故$S_{\triangleAEF}=\dfrac{9}{8}$，$S_{\triangleBEF}=\dfrac{1}{8}$。又因为$\angleAEF=\angleBEF=45^\circ$，所以$\triangleAEF\cong\triangleBEF$，故结论④成立。综上所述，正确的结论有3个，故选项（C）。12.点$A$、$B$、$C$、$D$在同一个球的球面上，$AB=BC=AC=3$，若四面体$ABCD$体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）。解析：设球心为$O$，半径为$R$，则球面上的四面体$ABCD$的体积为$\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdotR$，其中$S_{ABCD}$为四面体$ABCD$的面积。又因为$AB=BC=AC=3$，所以$\triangleABC$为等边三角形，故$\angleAOB=\angleBOC=\angleCOA=120^\circ$。设$\angleAOB=\angleBOC=\angleCOA=\theta$，则$\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$，故$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。又因为$\triangleABC$为等边三角形，故$\cos\angleBAC=-\dfrac{1}{2}$，故$\angleBAC=120^\circ$。设$AD=r$，则有$BD=CD=\sqrt{3^2-r^2}$。由余弦定理可得$r^2+3^2-2\cdot3\cdotr\cdot\cos120^\circ=3^2-r^2$，解得$r=1$。故四面体$ABCD$的体积为$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot\sqrt{3}=1$，所以球的表面积为$4\piR^2=16\pi$，故选项（A）。13.已知$f(x+1)=x^2-4$，则$f(x)$的解析式为__________。解析：令$t=x+1$，则$f(t)=f(x+1)=(x+1)^2-4=t^2-4t+1-4=t^2-4t-3$。故$f(x)=f(x+1-1)=(x+1-1)^2-4(x+1-1)-3=x^2-4x-6$。14.已知点$A(2,1)$，$B(-2,3)$，$C(0,1)$，则$\triangleABC$中，$BC$边上中线所在的直线方程为__________。解析：$BC$边中点为$M(-1,2)$，故中线$AM$的斜率为$\dfrac{2-1}{-1-2}=-\dfrac{1}{3}$，故中线$AM$的方程为$y-1=-\dfrac{1}{3}(x-2)$。又因为中线$AM$和中线$BC$的交点为$\dfrac{1}{2}(0-1,-2+1)=(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$，故中线$BC$的斜率为$\dfrac{3+\frac{1}{2}}{-2+\frac{1}{2}}=-\dfrac{7}{4}$，故中线$BC$的方程为$y-1=-\dfrac{7}{4}(x-0)$。故$BC$边上中线所在的直线方程为$y-1=-\dfrac{7}{4}(x-0)+\dfrac{1}{3}(x-2)$，化简得$7x+12y=31$。15.设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________。主视图左视图俯视图解析：如图所示，该几何体为一个棱长为2的正方体和一个棱长为2的正方形棱锥拼接而成。正方体的表面积为$6\times2^2=24$，正方形棱锥的底面积为$2^2=4$，侧面积为$\dfrac{1}{2}\times4\times2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。故该几何体的表面积为$24+4+4\sqrt{2}=28+4\sqrt{2}$。16.若函数$f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2$在区间$[0,2]$上有两个零点，则实数$a$的取值范围是__________。解析：由题意可知，方程$4x^2-4ax+a^2-2a+2=0$在区间$[0,2]$上有两个不同的实根。设这两个实根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=\dfrac{a}{2}$，$x_1x_2=\dfrac{a^2-2a+2}{4}$。又因为$x_1$和$x_2$均为非负数，故$x_1\geq0$，$x_2\geq0$。由于$x_1$和$x_2$是方程$4x^2-4ax+a^2-2a+2=0$的实根，故$\Delta=16a^2-16(a^2-2a+2)\geq0$，解得$2\leqa\leq6$。又因为$x_1$和$x_2$是区间$[0,2]$上的实根，故$x_1,x_2\in[0,2]$，即$\dfrac{a}{2}\in[0,2]$，解得$0\leqa\leq4$。综上所述，$a$的取值范围是$2\leqa\leq4$。解析：7.解析：对于A，若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故A错误；对于B，若m//α，n⊥m，则n⊥α或n⊂α或n与α相交，故B错误；对于C，若m//α，n//α，m⊂β，n⊂β，则α//β或α、β相交，故C错误；对于D，若m//β，m⊂α，则α⊥β，故D正确，故选D。11.解析：很明显直线的斜率存在，直线方程即y=mx+3，y=-x+2，由直线垂直的充分必要条件可得：-1/m=-1，解得m=2。本题选择D选项。8.解析：因为直线l被圆C：x^2+y^2-4x-6y+9=(x-2)+(y-3)=4截得的弦长为23，所以圆心到直线距离为4-（23/8）=9/8，即直线l的方程是y=x+2或y=2，故选D。9.解析：连接DM，因为几何体是正方体，所以∠DMD1就是直线DM与平面ABCD所成角，tan∠DMD1=DD1/a25，故选C。10.解析：因为圆C上到直线l的距离为m^2/55a^2，m∈[0,3)，所以当m^2/55a^2=1时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3；当m^2/55a^2∈(1,3)时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2；当m^2/55a^2∈[0,1)时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4；因此S的可能取值共有3种，故选B。11.解析：连结BD，则AC⊥平面BBD1D，BD∥BD1D，所以AC⊥BE，EF∥平面ABCD，从而①②正确，又△BEF面积为定值，A到平面BBD1D距离为定值，所以三棱锥A-BEF的体积为定值，从而③正确，因为A到BD1的距离不等于BB1，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，④错误，故选C。12.解析：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为√3/4，圆心为Q，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=3√3/4，∴DQ=4/3，外接圆的半径为1，小圆的半径为1/3，故选B。设球心为O，半径为R，则在直角三角形△AQO中，根据勾股定理可得：$OA^2=AQ^2+OQ^2$，即$R^2=\frac{1}{2}^2+(4-R)^2$，解得$R=\frac{2}{\sqrt{17}}$。由此可得该球的表面积为$S=4\piR^2=\frac{2289\pi}{136}$，因此选B。13.已知$f(x+1)=x^2-4$，令$x+1=t$，则$x=t-1$，代入原式得$f(t)=(t-1)^2-2(t-1)-3=x^2-2x-3$，因此$f(x)=x^2-2x-3$，答案为$f(x)=x^2-2x-3$。14.设BC中点为D$(x,y)$，已知B$(-2,3)$，C$(0,1)$，则D$(-1,2)$，因为$\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2-(-1)3}=-1$，所以BC边上中线所在的直线方程为$x+3y-5=0$。15.该几何体是一个长、宽、高分别为4、2、2的长方体截去一个三棱锥D-ACD'后剩下的部分，如图所示。由三视图可知，$\triangleADC$的三边长分别为2、2、5，因此$S_{\triangleADC}=\frac{1}{2}\times2\times2\times\sqrt{3^2-1^2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。故该几何体的表面积$S=4\times2+2\times2+4\times2+\frac{1}{2}\times4\times2+2\times3\sqrt{3}=36$。16.要使函数$f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2$在区间$[0,2]$上有两个零点，即$f(0)f(2)<0$。又因为$f(1)=(2-a)^2>0$，所以$f(0)f(2)<0$等价于$f(0)f(1)<0$和$f(1)f(2)<0$同时成立。即$\begin{cases}f(0)f(1)<0\\f(1)f(2)<0\end{cases}$。将$f(x)$代入即可得到$\begin{cases}a^2-2a+2<0\\-2a+2<0\end{cases}$，解得$a\in\left(1,\frac{5}{7}\right)\cup\left(\frac{7}{5},2\right)$，因此答案为$\left\{1,\frac{5}{7},\frac{7}{5},2\right\}$。17.(1)集合B为$\{\{4,6\},\{1,4,6\},\{2,4,6\},\{1,2,4,6\}\}$；(2)$\lg2-\lg3+\lg5-\log_2\sqrt{9\cdot4}=\lg2-\lg2-2+3\lg5-\log_23-\log_22=\lg2+\lg5^3-1=3\lg10-1=2$。18.(1)设$a$为正整数，根据题意列出不等式：$\begin{cases}a+1>3\\a+1<5\\a+1>7\\a+1<9\end{cases}$，解得$a\in\{4,6\}$，因此集合A为$\{4,6\}$；(2)设$b$为正整数，根据题意列出不等式：$\begin{cases}\frac{1}{b+1}>0.2\\\frac{1}{b+2}>0.1\\\frac{1}{b+3}>0.05\end{cases}$，解得$b\geq4$，因此最小的正整数$b$为1。【解析】（1）证明：设$x_1,x_2\in\mathbb{R}$且$x_1<x_2$，则$$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\frac{(2x_1+1)^2}{2}-\frac{(2x_2+1)^2}{2}\\&=\frac{(2x_1+1)^2-(2x_2+1)^2}{2}\\&=\frac{(2x_1-2x_2)(2x_1+2x_2+2)}{2}\\&=\frac{(x_1-x_2)(2x_1-2x_2+2)}{2}\\&=\frac{(x_1-x_2)(2(x_1-x_2)+2)}{2}\\&=x_1-x_2+1>0\end{aligned}$$因为$y=2x$在$\mathbb{R}$上为增函数，所以$2x_1>2x_2$，即$2x_1-2x_2>0$，所以$2x_1-2x_2+2>0$，因此$f(x_1)-f(x_2)>0$，即$f(x)$在$\mathbb{R}$上为增函数，与$a$的值无关。（2）若$f(x)$为奇函数，则对于任意$x\in\mathbb{R}$，有$f(-x)=-f(x)$。设$a\neq1$，则$$\begin{aligned}f(-a)&=\frac{(2(-a)+1)^2}{2}=-\frac{(2a+1)^2}{2}=-f(a)\end{aligned}$$所以$f(x)$不是奇函数，只有当$a=1$时，$f(x)$为奇函数。（1）由题意可知，$E$为$AB$的中点，$k_{AB}=\frac{2-(-1)}{3-1}=1$，所以$E(3,2)$，且$k_{CE}=-\frac{1-3}{4-2}=-1$，所以$CE$所在直线方程为$y-2=-(x-3)$，即$x-y-1=0$。（2）由$\begin{cases}x-2y+2=0\\x-y-1=0\end{cases}$，得$x=4,y=3$，所以$C(4,3)$，且$AC=BC=2$，$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，所以$AC\perpBC$，$\triangleABC$为等腰直角三角形，所以$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$，$S_{\text{圆}}=\pi(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=2\pi$，所以$S_{\text{圆柱侧}}=2\pi\cdot2=4\pi$，$S_{\text{圆柱侧}}$关于$x$的函数为$S=2\pix(3-3x)$，求导得$S'=6\pi(1-2x)$，令$S'=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，此时$S_{\text{圆柱侧}}$取得最大值$S_{\text{圆柱侧}}^{\max}=4\pi(\frac{1}{2})(\frac{3}{2})=3\pi$。（1）如图所示，取$PD$的中点$G$，连接$AG$，$FG$。因为$F$，$G$分别是$PC$，$PD$的中点，所以$GF\parallelDC$，且$GF=\frac{1}{2}DC$，$E$是$AB$的中点，所以$AE\parallelDC$，且$AE=\frac{1}{2}DC$，所以$GF\parallelAE$，且$GF=AE$，所以四边形$AEFG$是平行四边形，故$EF\parallelAG$。又$AG\perp$平面$PAD$，$EF\nparallel$平面$PAD$，所以$EF\parallel$平面$PAD$。（2）由题意可知，$\triangleABC$为正三角形，所以$AB=BC=CA=2$，设$O$为$\triangleABC$的重心，$D$为$BC$的中点，则$OD=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{3}$，所以$AD=\sqrt{2^2-(\frac{1}{3