2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 正多边形与圆（基础）（解析版）

正多边形与圆目录正多边形求线段长度 1正多边形求角度 4正多边形求面积 6正多边形与坐标轴 10正多边形与规律 13综合运用 16正多边形求线段长度正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。正多边形的有关计算(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r，正多边形的中心角α，正多边形的边长a。

(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。如图正方形ABCD内接于⊙O点E为BC上一点连接BE若∠CBE＝15°BE＝5则正方形ABCD的边长为（）A．7 B．52 C．10 D．【解答】解：连接OAOBOE∵正方形ABCD内接于⊙O∴OA＝OB＝OE∠AOB=360°4=90°AB＝BC∠ABC＝∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝45∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°∵∠CBE＝15°∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°∴△OBE是等边三角形∴OB＝BE＝5∴OA＝5∴AB=OA2∴正方形ABCD的边长为52．故选：B．如图面积为18的正方形ABCD内接于⊙O则⊙O的半径为（）A．32 B．322 C．3 【解答】解：如图连接OAOB则OA＝OB∵四边形ABCD是正方形∴∠AOB＝90°∴△OAB是等腰直角三角形∵正方形ABCD的面积是18∴AB=18=3∴OA＝OB=22AB故选：C．如图正六边形ABCDEF内接于⊙O⊙O的半径为1则边心距OM的长为（）A．3 B．32 C．12 D【解答】解：连接OB∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形∴∠BOM=360°6×2=∴OM＝OB•cos∠BOM＝1×3故选：B．如图在正六边形ABCDEF中点G是AE的中点若AB＝4则CG的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如图连接ACEC．∵ABCDEF是正六边形∴△ACE是等边三角形∵AB＝4∴AC＝CE＝AE＝43∵AG＝GE＝23∴CG⊥AE∴CG=A故选：B．正多边形求角度如图在同一平面内将边长相等的正六边形、正方形的一边重合则∠1的度数为（）A．18° B．25° C．30° D．45°【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°正六边形的每个内角的度数是(6-2)×180°6=120∴∠1＝120°﹣90°＝30°故选C．如图正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形则∠BOM的度数是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【解答】解：如图连接AO．∵△AMN是等边三角形∴∠ANM＝60°∴∠AOM＝2∠ANM＝120°∵ABCDE是正五边形∴∠AOB=360°5=∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．故选：C．如图正六边形ABCDEF内接于⊙O点M在AB上则∠CME的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°【解答】解：连接OCODOE∵多边形ABCDEF是正六边形∴∠COD＝∠DOE＝60°∴∠COE＝2∠COD＝120°∴∠CME=12∠COE＝60故选：D．如图在正六边形ABCDEF中MN分别为边CDBC的中点AN与BM相交于点P则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠ABC＝∠BCD=(6-2)×1806=120°AB＝BC∵MN分别为边CDBC的中点∴BN＝CM∴△ABN≌△BCM（SAS）∴∠BNP＝∠CMB∵∠CBM＝∠PBN∴∠BPN＝∠BCD＝120°∴∠APM＝120°故选：B．正多边形求面积如图正六边形ABCDEF中点MN分别为边BCEF上的动点则S空白A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：连接AD作FP⊥AD于点PEQ⊥AD于点Q∵正六边形各内角为120°∴∠EAP＝60°设各边长为a则AF＝a∴AP＝QD=12∴AD＝2aFP=AF∴S四边形AMDN＝AD•FP＝2a×32a=3S正六边形=332∴S阴影＝S正六边形﹣S四边形AMDN=332a2-∴S空白故选：A．如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成若圆的半径为4则图中阴影部分的面积为（）A．83 B．123 C．16 D．【解答】解：如图连接OB交AC与点H．由题意△ABC是等边三角形OB＝4OH＝BH＝2∵OB⊥AC∴CH＝AH=BH∴AC＝2CH=4∴阴影部分的面积＝6×34×（433）故选：A．如图边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起已知正方形面积是2那么非阴影部分面积是（）A．6 B．6+2 C．2+42 D【解答】解：∵正方形面积是2∴其边长为：2如图将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD∵正八边形的每个内角为180°-360°8=∴∠AEF＝45°∴△AEF为等腰直角三角形在Rt△AEF中AE＝EF•sin45°=2∴AB=2+1×2∴正八边形的面积为：S正方形ABCD﹣4S△AEF=(2=4+42∴非阴影部分面积是S正八边形﹣S正方形=4+42-2＝2故选：C．如图所示的正八边形的边长为2则对角线AB的长为（）A．22+2 B．4 C．2+2 D【解答】解：∵多边形是正八边形∴∠ACD＝∠BDC=(8-2)×180°8=过C作CE⊥AB于E过D作DF⊥AB于F则四边形CEDF是矩形∴CD＝EFAC＝BD＝2∠DCE＝∠CEA＝∠CEF＝90°∴∠ACE＝45°∴AE＝BF=22×∴AB=2+2+2故选：A．正多边形与坐标轴如图正六边形ABCDEF的半径OA＝2则点B的坐标为（）A．（-31） B．（﹣13） C．（﹣2-3） D．（-3【解答】解：连接OB∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2∴OB＝OA＝AB＝2∠ABO＝∠60°∴∠OBH＝60°∴BH=12OB＝1OH＝OBcos∠OBH=3∴B（-31）故选：A．如图正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上边CD∥x轴若点E坐标为（32）则点B的坐标为（）A．（3﹣2） B．（﹣32） C．（﹣3﹣2） D．（2﹣3）【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称所以点E和点B关于y轴对称∵点E的坐标为（32）∴点B的坐标为（﹣32）故选：B．如图ABCDEF是中心为原点O顶点AD在x轴上半径为4的正六边形则顶点F的坐标为（）A．（223） B．（﹣22） C．（﹣223） D．（﹣13）【解答】解：连接OF．∵∠AOF=360°6=60°OA∴△AOF是等边三角形∴OA＝OF＝4设EF交y轴于G则∠GOF＝30°．在Rt△GOF中∵∠GOF＝30°OF＝4∴GF＝2OG＝23．∴F（﹣223）．故选：C．如图边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合AF∥x轴将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次每次旋转60°当n＝100时顶点A的坐标为（）A．（﹣223） B．（﹣2﹣23） C．（2﹣23） D．（223）【解答】解：连接OA∠AOH＝30°AH＝2∴OH=OA2∵六边形ABCDEF是正六边形∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置100÷6＝16…4∴当n＝100时顶点A的坐标为（﹣2﹣23）故选：B．正多边形与规律如图是一长条型链子其外型由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有59个黑色六边形则此链子上的白色六边形个数为（）A．348 B．238 C．354 D．355【解答】解：根据题意分析可得：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻．即每增加一个黑色六边形则需增加4个白色六边形．若链子上有59个黑色六边形则链子共有白色六边形6+58×4＝238（个）．故选：B．如图一组有规律的正多边形各正多边形中的阴影部分面积均为a按此规律则第n个正多边形的面积为（）A．n+13a B．n+12a C．n(【解答】解：n＝1时S＝a；n＝2时过A作AE⊥BD于E则∠ABE＝30°设正六边形的边长为2x则AE＝xBE=3xBD＝23x即a＝2x･23x＝43x2又正六边形面积为6×12×2x･3x＝63x2n＝3时作AD⊥BE于DFG⊥BE于G则∠ABD＝45°设正八边形的边长为2x则BD＝AD=2x△ABD的面积为x2四边形ABEF面积为（2+22）x2则a＝2x･（2+22）x＝（4+42）x2正八边形面积为2a．通过计算可以看出第n个正多边形的面积为n+12故选：B．如图将几个全等的正八边形进行拼接相邻的两个正八边形有一条公共边围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1则该图形外轮的周长为20；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形且相邻的两个正多边形有一条公共边设正三角形的边长为1则该图形外轮廓的周长是27．【解答】解：由拼图可知每个正八边形有5条边在“外围”因此周长为5×4＝20若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形且相邻的两个正多边形有一条公共边可知这个正多边形为正十二边形如图则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27故答案为：20如图边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中边AB在x轴正半轴上顶点F在y轴正半轴上将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转每次旋转60°那么经过第2025次旋转后顶点D的坐标为(-3【解答】解：如图连接ADBD在正六边形ABCDEF中∵AB＝1AD＝2∠ABD＝90°∴BD=A在Rt△AOF中AF＝1∠OAF＝60°∴∠OFA＝30°OA=12AF∴OB＝OA+AB=12+∴点D的坐标为（32故答案为：（32∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转每次旋转60°∴6次一个循环∵2025÷6＝337……3∴经过第2025次旋转后顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同∵D与D3关于原点对称∴D3（-32∴经过第2025次旋转后顶点D的坐标（-3综合运用阅读与思考请阅读下列材料并完成相应的任务：克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年）是希腊数学家天文学家地理学家和占星家．在数学方面他还论证了四边形的特性即有名的托勒密定理托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1若四边形ABCD内接于⊙O则有AB•CD+AD•BC＝AC•BD．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为AB•CD+AD•BC＝AC•BD．（2）如图2正五边形ABCDE内接于⊙OAB＝2求对角线BD的长．【解答】解：（1）根据托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD故答案为：AB•CD+AD•BC＝AC•BD；（2）如2图连接AD、AC．∵五边形ABCDE是正五边形∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS）∴设BD＝AC＝AD＝x．在圆内接四边形ABCD中由托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD即2×2+x•2＝x2解得：x1＝1+5x2＝1-∴对角线BD的长为1+5（1）如图1△ABC为等边三角形点M是BC上一点点N是CA上一点BM＝CNBN、AM相交于点Q求∠BQM的度数；（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点其余条件不变分别确定∠BQM的度数并直接将结论填入下表：正多边形正方形正五边形正六边形…正n边形∠BQM的度数90°108°120°…(n【解答】解：（1）在△ABM与△BCN中AB=∴△ABM≌△BCN（SAS）∴∠BAM＝∠NBC∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ＝∠NBC+∠ABQ＝∠ABM＝60°∴∠AQN＝60°．（2）由（1）可知∠AQN＝各个多边形的一个角的大小所以正方形中∠AQN＝90°正五边形中∠AQN＝108°正六边形中∠AQN＝120°…正n边形中∠AQN=(故答案为：90°108°120°(n一．选择题（共8小题）1．如图在拧开一个边长为的正六角形螺帽时扳手张开的开口则这个正六边形的面积为A． B． C． D．【解答】解：如图：作于由正六边形得．由得．即解得这个正六边形的面积故选．2．有一个正边形的中心角是则为A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：故选：．3．如图与正六边形的边分别交于点点为劣弧的中点．若．则点到的距离是A．4 B． C． D．【解答】解：连接过作于正六边形点为劣弧的中点故选：．4．如图点、、分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点则的周长为A．6 B． C． D．9【解答】解：分别过正六边形的顶点作于于则的周长故选：．5．一个圆的内接正多边形中一条边所对的圆心角为则该正多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：设正多边形的边数为．由题意可得：故选：．6．已知一个正多边形的中心角为则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由于一个正多边形的中心角为所以这个正多边形的边数为如图以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有共3个故选：．7．如图正六边形内接于为的中点连接若的半径为2则的长度为A． B． C．2 D．1【解答】解：连接、、如图所示：正六边形内接于为的中点；故选：．8．如图正五边形内接于则正五边形中心角的度数是A． B． C． D．【解答】解：五边形是的内接正五边形五边形的中心角的度数为故选：．二．填空题（共4小题）9．如图如果、分别是圆的内接正三角形和内接正方形的一条边一定是圆的内接正边形的一条边那么12．【解答】解：连接、、如图分别为的内接正四边形与内接正三角形的一边即恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为：12．10．已知边长为2的正三角形能将其完全覆盖的最小圆的面积为．【解答】解：连接、过作于是边长为4的等边三角形能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为：故答案为：．11．如图万名塔