2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 等边三角形手拉手模型（强化）（原卷版）

等边三角形手拉手模型【例题精讲】如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延长线上，连接，，相交于点．（1）求证：是等边三角形；（2）直接写出的度数．

如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，．（1）求的度数；（2）试判断与的位置关系，并说明理由；（3）若，，求的长（直接写出结果）．

【题组训练】如图，等边，点为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接．求证：．如图，与为等边三角形，点，，在直线同侧，连接，．（1）求证：；（2）可以看作是经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明．

如图①，和都是等边三角形．（1）若、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，试判断与的数量关系为；度数为；（2）将绕点顺时针旋转，、、不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．如图，为等边三角形，点是线段上一点（点不与，重合），连接，过点作，垂足为点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，延长交于点，求证：为的中点．

如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．如图1，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点，交于点．（1）求出的度数；（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；（3）若将绕点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由．

如图1，等边三角形中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点、，且、、三点在同一直线上．（1）填空：；（2）若过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．与都是等边三角形，连接、．（1）如图①，当点、、在同一条直线上时，则度；（2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：．

如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，．（1）求的度数；（2）试判断与的位置关系，并说明理由；（3）若，，求的长（直接写出结果）．如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？

阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；（3）能力提升如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．

已知：为等边三角形（1）若为外一点，满足，求证：．（2）若为内一点，，，，求的度数（3）若为内一点，，，，则（直接写出答案）

（1）如图1，为等边内一点，平分，为边上一点，且，连接，取中点，连接，，，直接写出与的位置关系，并直接用等式表示与的数量关系；（2）如图2，把图1中的绕点顺时针旋转，其它条件不变，连接，点为中点，连接，，，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

如图，将等边绕点顺时针旋转得到，的平分线交于点，连接、．（1）求度数；（2）求证：．

如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，点是边中点，连结、．（1）求证：是等边三角形；（2）判断与有怎样的数量关系，并说明理由．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．（1）求证：；（2）连接，若，求的度数．如图1，为等边三角形，点为边上一点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到，连接（1）求证：；（2）如图2，当点为中点时，连接交于点，直接写出长度等于的所有线段．为等边内的一点，，，，将绕点顺时针旋转到位置．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的度数．（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求：①旋转角的度数；②线段的长；③求的度数．（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足什么条件时，？请给出证明．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正