2023人教版八年级下学期数学练习

第十八章平行四边形

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

基础过关全练

知识点1矩形的定义

1.在四边形ABCD中,48〃。。,4。〃8。,如果添加一个条件,即可推出该四边形是

矩形,那么这个条件可以是.

知识点2矩形的性质

2.【教材变式•P53例1变式】如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,N

AOB=60°,AC+AB=12,则边AB的长为（）

C.2V3D.4V2

3.【学科素养・模型观念】图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2

的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O处.

若AB=30cm,则BC的长为cm（结果保留根号）.

-9,O<P23：

87654

4.如图，延长矩形4BCO的边BC至点、E,使连接AE,^ZADB

=36°，则ZE=°.

B

5.在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点垂足为£,且AE平分N840.

⑴求NAQB的度数；

⑵若AB=2cm,求矩形ABCD的面积.

知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

6.笔直的公路A3,ACIC如图所示,AC,3C互相垂直,A3的中点。与点。被建筑物

隔开,若测得AC的长为6km,BC的长为8km,则C,D之间的距离为（）

A.4kmB.5kmC.6kmD.7km

7.如图，点0是矩形ABCD的对角线AC的中点交AD于点M若

OM=3,8C=10,则OB的长为

C今D.V34

8.1构造斜边中线】（2022云南昆明八中期中）如图，在△A8C中,AO是高线,C£是

中线,于点G.

⑴求证:G是CE的中点；

⑵若N8=70。，求/BCE的度数.

知识点4矩形的判定

9.(2022湖南郴州期末)如图,在平行四边形ABCO中,对角线AC、BD相交于点O.

下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是

XAD=BC,AB//CDB.AC=BD

C.ZBAD=ZADCD.ZABC=90°

10.【一题多变】如图，在四边形A3CO中，两条对角线AC、BD交

于点O,已知A3〃CD,且A3=C。.请添加一个条件:(WZBAD=90",(2)

AC=BD中任选一个，填序号)，使四边形ABCD为矩形，并证明你的结论.

AR

［变式］如图，在四边形ABC。中，两条对角线AC、8D交于点O,已知43〃8,且

点E是AD延长线上一点，连接EC,若£C=CA,且CD平分NECA求证:四

边形ABCD是矩形.

11.【新素材・科普】2021年4月13日，第七届全国青年科普创新实验暨作品大

赛（江西赛区）在江西省科技馆圆满落下帷幕.如图，矩形ABCD的两边AB.CD是

风帆小车的两条赛道,48=240cm,BC=80cm,风帆小车P从A开始沿AB边以40

cm/s的速度移动，风帆小车Q从C开始沿CQ边以20cm/s的速度移动，如果风帆

小车P,Q分别从A.C同时出发，当其中一车到达终点时，另一车也随之停止运动,

设运动时间为rs,那么当，为何值时,四边形QPBC为矩形？

12.如图，在平行四边形ABC。中，点。是A8的中点，且OC=OD.

⑴求证:平行四边形ABCD是矩形；

(2)若A0=3,NCO0=6O°,求矩形A8CD的面积.

13.【新考法】如图，在△ABC中,平分NA8C交AC于点。七为A3的中点，过

点A作AF//BD,^DE延长线于点£连接BF.

⑴求证：AF=8D

⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ARBQ是矩形？请证明你的结论.

A

E

B

能力提升全练

14.（2022安徽中考£,★☆☆）两个矩形的位置如图所示，若Nl=a，则N2=

A.a-90B.a-45D.270°-a

15.(2021新疆中考？★☆☆)如图，在RtZXABC中,NAC8=90°,NA=

30°,AB=4,CDLAB于点D,E是AB的中点，则DE的长为()

A.lB.2C.3D.4

16.（2021吉林长春实验中学期末,5,★☆☆）如图，已知平行四边形ABCQ的对角线

AC,BD相交于点O,下列条件能使平行四边形ABCD成为矩形的是

AD

;

A.AB=ADB.ZAOB=60°C.AC1BDD.ZOBC=ZOCB

17.【方程思想】（2022福建福州期末，8,★★☆）如图，在矩形ABCD

中,A8=6,3C=8,8E〃。厂且3E与。歹之间的距离等于6,贝！JAE的长是（）

A.-3B.5-C.7-D.10

444

18.【主题教育•社会主义先进文化】（2022湖北十堰中考,13,美丽乡村”

建设使我市农村住宅旧貌变新颜，一农村民居侧面截图如图所示，屋坡A£AG分别

架在墙体的点B,C处，且四边形BDEC为矩形.若测得NF3ZA55°,则N

A=________

19.（2022吉林中考,13,★★☆）如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,

点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且A尸44。,连接EF.若AC=10,则

4

EF=.

20.（2019贵州安顺中考,如图，在RtAABC中，NBAC=90°,且

A4=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DMVAB于点M,DNL

AC于点N,连接MN,则MN的最小值为.

21.（2020云南中考£,★★☆）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD边上的

点，且EA=EC.若AB=6,AC=2"U,贝I]DE的长是.

22.【新考法】（2022山西中考,17,如图,在矩形ABCQ中,AC是对角线.

⑴实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O,交边AD于点E,交

边8c于点网要求:尺规作图并保留作图痕迹，不写作法,标明字母）；

⑵猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.

素养探究全练

23.【推理能力】长与宽之比为鱼：1的矩形纸片被称为标准纸，请思考并解答下

列问题:

⑴将一张标准纸对开，如图所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸,

请给予证明.

ADA

⑵在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片A3CQ（A3<3C）进行如下操作：

第一步:沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处,折痕为AE（如图甲）；

第二步:沿过。点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处,折痕为QG（如图乙）,

此时E点恰好落在AE边上的点M处;

第三步:沿直线DM折叠（如图丙），此时G点恰好与点N重合.

请你探究:矩形纸片ABCD是不是标准纸？并说明理由.

⑶不难发现，将一张标准纸按如图所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片

都是标准纸.现有一张标准纸问:第5次对开后所得标准纸的

周长是多少？探索并直接写出第2020次对开后所得标准纸的周长.

第1次对开第2次对开第3次对开

答案全解全析

基础过关全练

1.答案ZA=90。（或N8=90°或NC=90°或N0=9O°）

解析,.,A8〃OC,A3〃3G.,.四边形ABCD是平行四边形，根据定义有一个角是

直角的平行四边形是矩形添加条件，需要加一个直角，即

ZA=90°或NB=90°或NC=90°或NQ=90

2.B•.•四边形43CD是矩形，

：.AC=BD,OA=OC,OD=OB,：.OA=OB,

NAOB=60°,...△AOB是等边三角形，

：.AO=AB,：.AC=2AO=2AB,

'：AC+AB=2AB+AB=12,AB=4,B.

3.答案30V3

解析过O点作O£_LCD0E_LA。,垂足分别为E,F,

由题意知NEOD=2N0QE,

ZFOD+ZDOE=90°,ZDOE=30°,NFOD=60°,

在矩形48CQ中,NC=90°,

OE//BC,：.ZDBC=ZDOE=30°,

*/CD=AB=30cm,.,.BD=2CD=60cm,

：.BCZ6。2-302=30acm).

4.答案18

解析连接AC(图略)，

,/四边形ABCD是矩形,NAQ8=36°,

：.AD//BE,AC=BD,^.ZCAD=AADB=36°,

...ZE=ZDAE,

又\'BD=CE,「.CE=AC,：.ZE=ZCAE,

'：ZCAD=ZCAE+ZDAE,

，ZE+ZE=36°ZE=18°.

5.解析(1)二•四边形A8CQ是矩形，

：1

.AO=BO=2-BD,，

由AE_L8D,且AE平分NBAO,易证△AOE也△A8£,：.AO=AB,

：.AB=BO=AO,：.^AOB是等边三角形，

NAOB=60°.

(2)由(1)知△AOB是等边三角形，

NBAO=60°,ZACB=30°,：.AB=^AC,

.,.AC=2AB=4cm,BC=V42-22=2V3(cm),

，矩形ABCD的面积=2X2遮=4次(cn?).

6.B在RtAABC中AB^AC^+CB2,

VAC的长为6km,8c的长为8km,AA^IOkm,

。点是AB的中点,：.CD=^AB=5km.

7.D连接0。(图略),•.•四边形ABC。是矩形，

ZADC=ZBAD=90°,：OM//AB,：.0MLAD,

0是矩形ABCD的对角线AC的中点，

1

，OD=-AC=OA,：.AM=DM,

2，

OM是△AOC的中位线,，DC=2OM=6,

'：AD=BC=10,AAC=y/AD2+CD2=2后，

NA3c=90°,AO=CO,：.BO=^AC=后，故选D.

8.解析⑴证明:连接。瓦

VAD1BC,AZADB=90",

；E是A3的中点,I.DE=^AB=BE,

,:DC=BE,：.DC=DE,

,：DG.LCE,，G是CE的中点.

⑵•：DE=BE,/B=7b°,：＞/BDE=/B=7U°,

,:DE=DC,二ZBCE=ZDEC=^ZBDE=35°.

9.A根据一组对边相等，另一组对边平行,不能判定平行四边形ABCD为矩形，故

选项A符合题意;根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD

为矩形，故选项B不符合题意；•••四边形ABCD是平行四边形，.•./氏4。+/

ADC=180",

又ZBAD=ZADC,：.ZBAD=ZADC=90°,

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故选

项C、D不符合题意.故选A.

10.解析（答案不唯一）添加条件①.

证明:：48〃CQ,且AB=CD,

.••四边形A8CO是平行四边形.

又ZBAZ)=90°,...四边形ABCD是矩形.

［变式］证明•.••〃。。且43=8,

...四边形A8CQ是平行四边形.

VEC=CA,>CD平分NECA,

，C3_LAE,即ZADC=90°,四边形ABCD是矩形.

11.解析根据题意得CQ=20/cm,AP=4(kcm,

贝ij8P=(240-40/)cm,

,Z四边形ABCD是矩形,二.ZB=ZC=90°,CD//AB,

...只有CQ=BP时,四边形QPBC是矩形，

即20U240-401,解得U4,

故当U4时,四边形QP3C是矩形.

12.解析(1)证明:•..四边形48CQ是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,：.ZA+ZB=\^O°,

•••点0是A3的中点,OA=OB,

(0A=0B,

在△AOD和△BOC中=BC,

0D=0C,

：.△AO。0△BOC(SSS),\ZA=ZB=90°,

平行四边形A3co是矩形.

(2)由(1)得△AOO0/\BOC,：.ZAOD=ZBOC,

ZCOD=60°,；・ZAOD=ZBOC=6Q°,

ZA=90°,，ZADO=30°,OD=2OA,

'：O^+AD^OD2,：.OA2+32=(2OA)2,

OA=b(舍负),：.AB=2OA=2V3,

二.矩形ABCD的面积=48•AD=243x3=6A/3.

13.解析(1)证明:'：AF//BD,：.ZFAE=ZDBE,

为AB的中点,.•.£A=EB,

Z-FAE=Z.DBE,

在AAE尸和中,ZE=BE,

\Z-AEF=/.BED,

六△AEF^ABED(ASA),：.AF=BD.

⑵本题结合条件探究，考查了矩形的判定.

当△ABC满足AB=CB时,四边形AFBD是矩形.

证明:由⑴可知AF=BD,

\'AF//BD,...四边形AFBD是平行四边形，

•：AB=CB,BD平分NA3C,：.BDLAC,

：.N3Z)A=90°••平行四边形AFBQ是矩形.

能力提升全练

14.C如图,N1=9O°+Z3,

'：Zl=a,：.Z3=a-9Q°,

,：Z3+Z2=90°,.•・Z2=90°-Z3=900-(*90°)=90°-a+90°=180故选

C.

1

15.A•/ZACB=90°,ZA=30°NB=60°,

：E是A3的中点,AB=4,，CE=BE=AB=2,

，ABC£为等边三角形,：.BC=CE.

'：CDLAB,：.DE二BDmBE=1,故选A.

16.D四边形ABCD是平行四边形,，OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,'：ZOBC=Z

OCB,：.OB=OC,：.AC=BD,：.平行四边形ABCD是矩形，故选D.

17.C如图,过点。作DGLBE交BE的延长线于G,

贝I」GD=6=AB,ZG=90°,

•.•四边形A3CD是矩形,

.,.AD=BC=8,ZA=90°=NG,

Z.AEB=乙GED,

在和△GE。中，乙4=4G,

AB=GD,

：.AAEBW△GED(AAS),：.AE=GE.

设A£=£G=%,贝ljED=S-x,

在RtAPEG中,由勾股定理得ED2=EG2+GD2,

...(8-%)2=/+62,解得x=^,A£=：.故选C.

18.答案110

解析,/四边形BDEC为矩形,，ZDBC=90°,

ZFBD=55°,

，ZA5C=1800-ZDBC-ZFBD=35°,

'：AB=AC,：.ZACB=ZABC=35°,

.,.NA=180°-NABC-NAC3=110°,故答案为110.

19.答案|

解析在矩形ABCD中,AO=OC=lGAC=8Z）=10,

11

,/AF^ACAO^AC,：.点尸为AO的中点，

又\•点E为边4。的中点,EF为△AOQ的中位线，

EF=1OD=\BD=1.故答案为|.

20.答案f

解析连接（图略）,：N84C=90"且BA=3,AC=4,

：.BC=y/BA2+AC2=5,

'：DM±AB,DN±AC,：.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

...四边形DMAN是矩形,：.MN=AD,

当AQ_L8C时,AZ）的值最小，

此时△ABC的面积-AC=•AD,

.•.A3=呼=::.MN的最小值为1

BC55

21.答案|或穿

解析如图，

4-------巨------^0

AB

•.•四边形ABC。是矩形，

：.CD=AB=6,AD=BC,ZABC=ZADC=9G°,

：.BC=y/AC2-AB2=V40-36=2,：.AD=2.

当点£在CD上时，

,,222222

.A£=Z)E+AD=EC)DE+4=(6-DE),：.DE=1;

当点£在AB上时，

VCE^BE^+BC^E'A2,：.(6-AE')2+4=AEQ,.,.AE,=y,

/.DE'=yJAD2+AE'2=卜+詈=竽.

综上所述或学.

22.解析利用尺规作图一一线段垂直平分线的作法,结合线段的垂直平分线的性

质，考查矩形的性质.

(1)如图.

⑵AE=CE证明如下:

四边形ABCD是矩形,：.AD//BC,

：.NEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

•/EF是AC的垂直平分线,：.AO=CO,

Z.AEO=乙CFO,

在△AOE和△COF'中,乙£;40=乙FCO,

AO=CO,

，AAOE^ACOF(AAS),：.AE=CF.

素养探究全练

23.解析⑴证明：•.•矩形纸片ABCD是标准纸，且AB<BC,：.=V2.

1

G