概率论与数理统计模型（数学建模课件）

报童售报概率论与数理统计模型知识点售报问题的提出售报问题分析模型建立与求解一、问题的提出在日常生活中，经常会遇到一些季节性强、更新快、不易保存等特点的物品。海鲜产品水果蔬菜报纸一、问题的提出产生这样一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失；订货量少，有可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确定订货策略呢？以报童售报为例。报童每天清晨从报社进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每天购进报纸太多，卖不完会赔钱，购进太少，不够卖，会少挣钱，试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。二、问题分析相关因素每份报纸的购进价每份报纸的零售价退回一份报纸的价格报纸的需求量卖报时间卖报地点确定因素随机因素地点的人流量二、问题分析目标变量：每天总收入设计变量：每天购进报纸的份数寻找关系约束条件二、问题分析寻找关系

若每天购进0份收入为0若每天购进1份售出：收入为退回：收入为若每天购进2份售出1份：收入为售出2份：收入为退回：收入为二、问题分析收入与每天的购进份数，每天的需求量有关，而每天的需求量是随机的，则每天的收入也是随机的。考虑他长期（几个月，一年）卖报的日平均收入。利用概率的思想，相当于报童每天收入的期望值（均值），称为日平均收入

三、模型建立与求解

三、模型建立与求解收入函数的期望值（均值）为

三、模型建立与求解

三、模型建立与求解

三、模型建立与求解

三、模型建立与求解

在管理实践中，我们会发现，与报童问题类似的问题非常多，这样我们就可以将报童问题的研究方法运用到实践中，通过科学的调查、计算，把过去经验的管理方法，上升到科学的管理方法。

小结介绍了报童售报问题的提出。1介绍了售报问题的分析。2介绍了模型的建立与求解。3利用模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？思考题考试成绩的标准分概率论与数理统计模型知识点问题的提出标准分的定义标准分的应用一、问题的提出如何衡量两科成绩的高低？在某次考试中，小赵的同学数学95分，语文80分，问该同学是数学好还是语文好?发现：根据卷面分无法判断两个成绩的好坏，也无法判断该同学的成绩高低。二、标准分的定义原始分标准分定义：标准分是从原始分转化而来的分数，又称为Z分数。是将原始数据与其所在数据组的平均数之差除以所在数据组的标准差所得之商。

三、标准分的应用

小赵的同学数学95分，语文80分，问该同学是数学好还是语文好？平均分：数学85，语文70标准差：数学10，语文5小赵同学语文更好三、标准分的应用

三、标准分的应用根据标准分就能较准确判断任一考试成绩在考生群体中的位置。若，说明考试成绩低于平均分若，说明考试成绩等于平均分若，说明考试成绩高于平均分三、标准分的应用根据标准分来判断考试成绩在全体考生中的位置

三、标准分的应用高等学校的招生考试从1993年起在部分省、市试行“将原始分数换算为标准分，并公布标准分为录取的依据”，在试验成功的基础上，参考、借鉴国外的先进做法，当时的国家教委制定了《普通高校全国统一考试建立标准分数制度实施方案》，并逐步推向全国。高考标准分三、标准分的应用

三、标准分的应用

某一同学的高考成绩的标准分如下：

假设高考每科成绩的标准分都服从均值500，标准差100的正态分布，请问该学生每科成绩的排名为多少？科目语文数学英语综合标准分622735635606三、标准分的应用

分析：由假设高考每科成绩的标准分都服从均值500，标准差100的正态分布，通过线性变换，将标准分变换成标准正态分布，再查表，得到概率值。

解：语文的标准分622

说明：他所在省语文考试成绩高于该同学的约占考生总数的12%，如果该省有1000名考生，则该同学在语文成绩在该省排名121.三、标准分的应用

说明：他所在省数学考试成绩高于该同学的约占考生总数的1%，英语考试成绩高于该同学的约占考生总数的9%，综合考试成绩高于该同学的约占考生总数的15%.使用标准分数以后，考生很容易得知自己的总成绩和各科成绩所处的位置。三、标准分的应用

小结介绍了问题的提出。1介绍了标准分的定义。2介绍了标准分的应用。3

思考题男大学生身高分布概率论与数理统计模型知识点问题的提出问题分析模型建立与求解一、问题的提出考虑我国在校大学生中男性的身高分布问题，根据有关统计资料表明，在校男大学生群体的平均身高约为170cm，且该群体中约有99.7%的人身高在150cm至190cm之间.试问该群体身高的分布情况是怎样的呢？一、问题的提出进一步地将[150190]等分成20个区间，在每一高度区间上，研究相应人数的分布情况。特别是中等身高（165cm至175cm）的人占该群体的百分比能超过60%吗？150152188190154156158cm………………二、问题分析在现实生活中，某一类人群具有某种身高的人数会有多少呢？研究这类问题的常用方法之一是利用正态分布函数对问题进行分析。根据已知问题的数据，“在校男大学生群体的平均身高约为170cm”。

二、问题分析

三、模型建立与求解

三、模型建立与求解方法一：通过变换查找正态分布的数值表

该结果说明，身高（150cm至152cm之间）的大学生占0.22%三、模型建立与求解身高cm分布值身高cm分布值[150,152]0.0021[170,172]0.1179[152,154]0.0047[172,174]0.1078[154,156]0.0097[174,176]0.0902[156,158]0.0181[176,178]0.0690[158,160]0.0309[178,180]0.0483[160,162]0.0483[180,182]0.0309[162,164]0.0690[182,184]0.0181[164,166]0.0902[184,186]0.0097[166,168]0.1078[186,188]0.0047[168,170]0.1179[188,190]0.0021身高的相应分布值表三、模型建立与求解中等身高（165cm至175cm）的人占该群体的百分比是否超过60%。

该结果说明，身高中等（165cm至175cm之间）的大学生占54.67%，不足60%三、模型建立与求解方法二：直接用数值积分（MATLAB的工具箱直接求解积分值）

中等身高（165cm至175cm）的人占该群体的百分比

三、模型建立与求解计算的MATLAB程序如下：clc,clearp1=normcdf([150:2:190],170,20/3)%计算分布函数在各点的取值p2=diff(p1)%计算各区间的概率p3=quadl(@(x)normpdf(x,170,20/3),165,175)%计算积分的数值解p4=quadl(@(x)normpdf(x,170,20/3),164,176)%计算积分的数值解其中p3=0.5467,p4=0.6319，这表明身高中等（165-175）的大学生54.67%，不足60%，如果将范围放宽，如164-176cm，则有63.19%。三、模型建立与求解哪个身高中等区间的大学生人数刚好占60%呢？（通过变换查找正态分布的数值表）

三、模型建立与求解

由于我国在校男大学生人数众多，身高近似服从正态分布是完全合理的。本模型利用正态分布的概率密度函数，解决了我国男大学生的身高分布情况及中等身高所占的比例问题。

本模型也可应用到很多实际问题上，比如我国新生儿的身高分布，一个单位职工的工资分布，一所学校的学生成绩分布等。三、模型建立与求解由于我国在校男大学生人数众多，身高近似服从正态分布是完全合理的。本模型利用正态分布的概率密度函数，解决了我国男大学生的身高分布情况及中等身高所占的比例问题。本模型也可应用到很多实际问题上，比如我国新生儿的身高分布，一个单位职工的工资分布，一所学校的学生成绩分布等。小结介绍了男大学生身高分布的问题提出。1介绍了身高分布的问题分析。2介绍了模型建立与求解。3本模型中，哪个身高中等区间的百分比人数刚好等于70%，80%呢？请你找出这两个区间。思考题一元线性回归模型（一）概率论与数理统计模型知识点回归分析的内容一元线性回归模型的建立一元线性回归模型的参数估计一、回归分析的内容从浩瀚无垠的宇宙到微小的分子、原子，从无机界到有机界，从自然到社会，无一事物不处在与其他事物的联系之中，事物之间不仅存在着相互联系，而且还具有一定的内部规律。一、回归分析的内容通常变量之间的关系一般可以分成两类：完全确定性的关系非完全确定性的关系

人的身高与体重的关系家庭收入与支出的关系一、回归分析的内容变量间既互相联系但又不是完全确定的关系，称为相关关系。回归分析就是研究相关关系的一种数理统计的方法，研究一个变量关于另一个（或一些）变量的具体依赖关系。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计或预测前者均值。回归分析其主要内容包括，一，根据样本观测值对模型参数进行估计，求得回归方程，二，对回归方程、参数估计值进行检验，三，利用回归方程进行分析、评价及预测。一、回归分析的内容

一、回归分析的内容

一元回归多元回归线性非线性二、一元线性回归模型的建立用一个例子来说明如何建立线性回归模型。

二、一元线性回归模型的建立年序积雪深度米）灌溉面积公顷）15.1190723.5128737.1269346.2237358.8326067.8300074.5194785.6227398.03113106.42493为了研究这些数据蕴含的规律，作散点图。

二、一元线性回归模型的建立

二、一元线性回归模型的建立

三、一元线性回归模型的参数估计

如何刻画“接近”程度？三、一元线性回归模型的参数估计

三、一元线性回归模型的参数估计

求解，得

其中三、一元线性回归模型的参数估计于是，所求得线性回归方程为

小结介绍了回归分析的内容。1介绍了一元线性回归模型的建立。2介绍了一元线性回归模型的参数估计。3近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下表，建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。思考题工资总额

x23.827.631.632.433.734.943.252.863.873.4零售总额y41.451.861.767.968.777.595.9137.4155.0175.0表1商品零售总额与职工工资表（单位：亿元）一元线性回归模型（二）概率论与数理统计模型知识点相关性检验与判定系数回归方程的显著性检验一元线性回归应用举例一、相关性检验与判定系数

一、相关性检验与判定系数

一、相关性检验与判定系数

得到正交分解式

等于零一、相关性检验与判定系数

一、相关性检验与判定系数

二、回归方程的显著性检验

这时二、回归方程的显著性检验使用检验统计量

三、一元线性回归应用举例

表1实验数据的观测值x22.023.723.423.525232223.923.8y27.129.729.830.129.228.728.130.430.4x24.22424.125.528.514.423.724.923.6y28.330.330.130.333.330.432.530.929.5x25.824.224.224.223.225.923.624.424.3y33.729.631.729.829.533.530.232.229.8三、一元线性回归应用举例

三、一元线性回归应用举例计算的MATLAB程序如下：clc,cleara=load('gtable5_11.tx