最短路径问题设计课件

最短路径问题

伊旗第四中学王秀清数学专题最短路径问题伊旗第四中学王秀清数学专1前言

求最短路径问题是历年数学中考的常见题型,在选择、填空和解答题中均有体现,其考查形式灵活多变,且较易与其他知识融合.通常以求几条线段之和最小值的形式出现,并以特殊三角形、特殊四边形和函数图象等初中数学中的核心知识为载体,以考查学生灵活运用转化、化归等数学思想方法为目的,通过操作探究、推理论证、灵活求解的方式来解决问题.此类问题的解决是以基本事实“两点之间线段最短”、“垂线段最短”为依据,以探寻转化方法为核心,实现对学生综合运用数学知识解决问题能力的全面考查。此类题目充满了探究性和思辨性,常常在中档题和压轴题中出现。前言求最短路径问题是历年数学中考的常见题型,在选2

常见类型两点一线两线一点两点两线三线一点

类型1

类型2

类型3

类型4常见类型两点一线两线一点两点两线三线一点3类型1两点一线

代表题型：将军饮马问题类型1两点一线代表题型：将军饮马问题4问题一位将军从图中的A

地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B

地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？类型1两点一线—将军饮马问题如图所示，点A、点B在直线l同侧，在直线上找一点P，使PA+PB值最小.l问题一位将军从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，5ABl点A、点B在直线l同侧，在直线上找一点P，使PA+PB值最小.B′作法总结1.过点A或点B（定点）作对称点2.动点所在直线一般就是对称轴3.对称点与另一定点连接4.交点就是所求点PP关键是要利用轴对称性质实现定点的转化ABl点A、点B在直线l同侧，在直线上找一点P，使PA+PB6基本作法：利用轴对称性质作出定点的对称点，实现点的转化解题依据：两点之间，线段最短基本作法：解题依据：7类型2两线一点型类型2两线一点型8某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图AO、BO）,AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先拿桔子，再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走的路线，使其所走的路程最短？类型2两线一点某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图AO、BO）9C′C″MNOA坐在C处的小明先到OA，再到OB，然后回到点D，小明怎样走路线最短？C′D′MN已知：如图C是∠AOB内部任意一点，在∠AOB的两边OA,OB上各找出一点M,N，组成△CMN，使△CMN周长最小.找定点、作对称、连对称点C′C″MNOA坐在C处的小明先到OA，再到OB，然后C′D10类型3--两点两线代表题型：造桥选址问题类型3--两点两线代表题型：造桥选址问题11如图，A,B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）类型3两点两线—造桥选址问题如图，A,B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥12基本作法：类型3两点两线—造桥选址问题2.连接平移后的点与另一定点；3.与河边的交点就是桥的一端.1.将其中一定点沿垂直河的方向平移桥长的距离；基本作法：类型3两点两线—造桥选址问题2.连接平移后13类型4—三线一点代表题型：费马点问题类型4—三线一点代表题型：费马点问题1424.（本题满分12分）（2018鄂尔多斯）（1）【操作发现】如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，连接BD，则∠ABD=

度.（2）【类比探究】如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA,PB,PC.求证：以PA,PB,PC的长为三边必能组成三角形.（3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC=90°,∠BPC=120°.求△APC的面积.（4）【拓展应用】如图是A,B,C三个村子位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点，连接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.一.为什么要研究费马点？费马问题24.（本题满分12分）（2018鄂尔多斯）一.为什么要研究15结论1对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点就是到三角形各边的张角都是120°的点；费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.二.什么是费马点?结论1对于一个各角都费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最16费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.二.什么是费马点?结论2对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点费马点是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.二.什么是费马17三.费马问题

如何找到点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小，这就是费马问题.让学生在探索找点P的过程中体会转换思想，建模思想，将所探究的结论进行运用、拓展.（4）【拓展应用】如图是A,B,C三个村子位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°P为△ABC内的一个动点，连接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.三.费马问题如何找到点P使它到△ABC三个顶点的距离之和18线段和最小值对称变换平移变换旋转变换线段和对称变换平移变换旋转变换191.求最短路径经常会利用转化思想、构造思想、数形结合的思想，进而构造出“两点之间，线段最短”模型，让学生体会学习数学新知的一般过程：认知——论证——应用.2.我市自2017年起，中考最