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文档简介

大连理工大学2005攻读硕士研究生考试试题

数学分析试题解答

一、计算题

1>求极限：lim4+2生其中lima”=a

n—><x>">oo

解：

2、求极限：lime-，（1+1/

XTOOX

解：

3、证明区间（0,1）和（0,+8）具有相同的势。

证明：构造一一对应y=arctanx。

4、计算积分[（一—dxdy,其中D是x=0,y=l,y=x围成的区域

oy+x

解：

5、计算第二类曲线积分：/=]>-叫-苧,UV+22=1方向为逆

Jcx2+y2

时针。

解：

x=cos6

1.心力£。2乃)

-4=sin20——Leos20

r-ydx-xdy换元)・2万cos2。__

Jcx2+y2d0=-------------dO

011，c3+cos20

—+—cos-0

22

2

1-xT(2+尤2)—3(1+

x=tan6l+%2

darctanx=-4A/2f-----------二---dx

万能公式代换2l—JJe(2+X2)(1+X2)

3+——v

l+x-

I—r+oo1r+86，

-4V2[—^rdx+\-----------2d-7=-+67r

J-=°l+XJ-8V2

1+

Q+l

6、设a>0,b>0,证明:

b+1)

证明：

二、设f(x)为为b］上的有界可测函数,且J产(X)办=0,证明:f(x)

M］

在［a,b］上几乎处处为0。

证明:

反证法，假设A={x|f(x)70},那么mA>0。

三、设函数f(x)在开区间(0,+8)内连续且有界，是讨论f(x)

在(0,+3)内的一致连续性。

讨论：非一致连续，构造函数:

讨论函数的连续性和可微性。

四、设/(演y)=\yjx4+y2,(x,y-(0,0),

0,(x,y)=(0,0)

解:

1)连续性：连续

2)可微性：可微

五、设f(x)在(a,b〕内二次可微，求证：

证明：

六、f(x)在R上二次可导，VxGR,f"(x)>0,3x0eR,f(x0)<0

Hm/'(x)=a<0,limf\x)=p>Q,证明：f(x)在R上恰有两个零点。

XT-CO^―>+<»

证明：

七、设函数f(x)和g(x)在［a,b］内可积,证明:对［a,b］内任意分割

证明：

八、求级数：名㈡

±3〃+1

解：

+00

九、讨论函数项级数£>(氏-//一(〃—0-•修)在(0,1)和(1,+8)的

n=l

一致收敛性

了00

讨论：Tx(n2e-nV-(n-1)2e-(n-1)2)=xhm(n2e~"2x2)

nf8

n=\

1)0<x<l

2)x>l

十、vf*x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中Z为圆锥曲面z?=x?+V被平

面z=0,z=2所截局部的外侧。

解：

十一、设f(x)在［0,1］上单调增加，f(O)>=O,f⑴<=1,证明:

*€［0,1］,/4)=发

证明:

十二、设f（x）在［0,+8］上连续，J：9（x）小绝对收敛，证明:

证明：

十三、设4>0,证明：

当下极限liminf蚂3>1时

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