山东省莱芜市实验中学(老一中)2021年高三数学文期末试题含解析

山东省莱芜市实验中学(老一中)2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

若，当，时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是(

).，

.，

.，

.，

参考答案：D2.函数的图像如图所示，为得到的图像，则只要将的图象（

）A．向右平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：B3.（10）将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C4.已知集合，.则（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略5.已知“∈R，则“a=2”是“复数z=（a2—a—2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的A．充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C6.已知、是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是A． B． C．

D．【解析】因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.参考答案：因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.【答案】B7.已知向量,向量,则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.关于函数有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；③若是函数的一个极值点,则函数极小值为-1.其中正确判断的个数有(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案：C【分析】函数的零点个数即的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.【详解】因为，方程，，所以关于的方程一定有两个实根，且两根之积为-1，所以恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；，，对于，，所以恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为，所以②错误；若是函数的一个极值点,，则，，，，，所以函数的增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，所以③正确.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.9.函数的图像

Ａ．关于y轴对称

Ｂ．关于x轴对称

Ｃ．关于直线y=x对称

Ｄ．关于原点对称参考答案：D略10.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则在四面体的面BCD上的的射影可能是（

）A.① B.② C.③ D.④参考答案：C【分析】由题意可知四面体为正四面体，根据正四面体的特点可求得在平面上的射影点在中线上，且，又平面，可得射影三角形，从而得到结果.【详解】四面体各棱长相等，可知四面体为正四面体取中点，连接，如下图所示：作平面，垂足为，由正四面体特点可知，为中心，且作平面，垂足为，可知，且为中点，则即在平面上的射影点为又平面即为在平面上的射影，可知③正确本题正确选项：【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤1+e【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案为：﹣1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．12.在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为

．参考答案：【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【分析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．13.已知满足约束条件则的最小值是__________．参考答案：

试题分析：画出可行域及直线，如图所示.平移直线，当经过点时，其纵截距最大，所以最小，最小值为.考点：简单线性规划.14.对于函数，给出下列命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R；③当a>0时，f(x)在区间上有反函数；④若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围是.上述命题中正确的是

。(填上所有正确命题序号).参考答案：②③15.设，且，若，，则的取值范围为

.参考答案：16.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2=x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出的最小值即可【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物y2=x的线准线x=﹣，P到y轴距离S=||=﹣=﹣，∴﹣≥﹣=2﹣=，当且仅当M，N过F点时取等号，故答案为：．17.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】判断双曲线的m＞0，求出a，b，c，由离心率公式e=，建立方程，解方程可得m的值．【解答】解：双曲线（m＞0），的a=，b=2，c==，由题意可得e===，解得m=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）参考答案：见解析【考点】导数的综合运用【试题解析】解：（Ⅰ）因为,所以，当时，.令，得，所以随的变化情况如下表：极大值极小值所以在处取得极大值，在处取得极小值.函数的单调递增区间为，,的单调递减区间为.（Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1.因为，令，得. 因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；当时，随的变化情况如下表：

↘极小值↗

所以函数在区间上的最大值为或.此时,，所以.

综上，当时，关于的不等式在区间上无解.19.如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）求点到平面的距离；（2）点为线段上一点（含端点），设直线与平面所成角为，求的取值范围.参考答案：(1)过点作,由平面平面可知,即点到面的距离,在正中,,即点到平面的距离为.(2)∵,所以点到平面的距离即点到平面的距离,而,所以.20.(本小题满分12分） 已知抛物线y2=2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4． (1)求t，p的值；(2)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．(ⅰ)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；(ⅱ)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．参考答案：（1）p=2（2）

96【知识点】抛物线及其几何性质H7（1）由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.（2）(ⅰ)设直线AB的方程为，、， 联立得，则，. 由得：或（舍去）， 即，所以直线AB过定点； (ⅱ)由(ⅰ)得， 同理得， 则四边形ACBD面积 令，则是关于的增函数， 故.当且仅当时取到最小值96.【思路点拨】根据抛物线性质求出方程，直线和抛物线联立求出最小值。21.已知等差数列为递增数列，满足，又数列，在等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ