【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）圆的有关性质(解析版)

圆的有关性质考点一圆的基本概念考点二利用垂径定理求值考点三垂径定理的实际应用考点四垂径定理的推论考点五圆周角概念辨析考点六同弧或等弧所对的圆周角相等考点七直径所对的圆周角是直角考点八90°的圆周角所对的弦是直径考点九圆内接四边形对角互补考点一圆的基本概念例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（

）A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧【答案】A【解析】【分析】利用圆的有关定义分别判断即可．【详解】解：A、半圆是弧正确符合题意；B、过圆心的弦是直径故原命题错误不符合题意；C、直径是弦但弦不一定是直径故原命题错误不符合题意；D、在同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧故原命题错误不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了圆的认识解题的关键是了解圆的有关定义及性质．【变式训练】1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦经过圆心的弦叫直径圆上任意两点间的部分叫圆弧简称弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧每条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧小于半圆的弧叫做劣弧进行分析．【详解】解：直径是圆中最长的弦说法正确符合题意；经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆不符合题意；圆有无数条对称轴符合题意；没有强调是在同圆或等圆中不符合题意；正确的说法有2个故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的认识关键是掌握直径、弧的定义注意在同圆或等圆中优弧的长度一定大于劣弧的长度．2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（

）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧故不一定相等则⑤不正确．综上所述正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．考点二利用垂径定理求值例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图⊙O的直径CD=20AB是⊙O的弦AB⊥CD垂足为MOM：OC=3：5则AB的长为（

）A．8B．12C．16D．2【答案】C【解析】【分析】连接OA先计算OM=根据垂径定理得到直角三角形AOM利用勾股定理计算AM根据垂径定理得到AB=2AM判断选择即可．【详解】连接OA∵⊙O的直径CD=20AB⊥CDOM：OC=3：5∴AO=OC=10OM=AM=MB∴AM==8∴AB=2AM=16故选C．【点睛】本题考查了圆的垂径定理勾股定理熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·三模）已知的直径是的弦垂足为且则的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】先画好一个圆标上直径CD已知AB的长为8cm可知分为两种情况第一种情况AB与OD相交第二种情况AB与OC相交利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；【详解】连接ACAO∵圆O的直径CD=10cmAB⊥CDAB=8cm∴AM=AB=×8=4cmOD=OC=5cm当C点位置如图1所示时∵OA=5cmAM=4cmCD⊥AB∴OM==3cm∴CM=OC+OM=5+3=8cm∴AC=cm；当C点位置如图2所示时同理可得OM=3cm∵OC=5cm∴MC=5−3=2cm在Rt△AMC中AC=cm．故选C．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理根据题意正确画出图形进行分类讨论熟练运用垂径定理是解决本题的关键．2．（2022·湖南长沙·一模）如图在直径为10cm的⊙O中AB=8cm弦OC⊥AB于点C则OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根据垂径定理可将AC的长求出再根据勾股定理可将OC求出．【详解】解：如图连结OA则由垂径定理可得：OC⊥AB且AC=BC=AB=4cm在Rt△ACO中AC=4OA=5由勾股定理可得OC==3cm故答案为3．【点睛】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．考点三垂径定理的实际应用例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后截面如图所示若水面宽水的最大深度为16cm则圆柱形容器的截面直径为（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【答案】D【解析】【分析】如图记圆柱形容器的截面圆心为O过O作于D交圆于C设圆的半径为r而再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：如图记圆柱形容器的截面圆心为O过O作于D交圆于C则设圆的半径为r而解得：圆柱形容器的截面直径为52cm．故选D【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块其中一块如图所示测得弦长20厘米弓形高为2厘米则镜面半径为____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圆O的半径为OB=r则OC=r-2根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2进而求出半径．【详解】解：如图由题意得OD垂直平分AB∴BC=10cm令圆O的半径为OB=r则OC=r-2在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2∴（r-2）2+102=r2解得r=26．故答案为：26．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1水车又称孔明车是我国最古老的农业灌溉工具是珍贵的历史文化遗产．如图2圆心O在水面上方且被水面截得的弦AB长为8米半径为5米则圆心O到水面AB的距离为_______米．【答案】3【解析】【分析】过O作OD⊥AB于D连接OA由垂径定理得AD=BD=AB=4（米）然后在Rt△AOD中由勾股定理求出OD的长即可．【详解】解：过O作OD⊥AB于D连接OA如图所示：则AD=BD=AB=4（米）在Rt△AOD中由勾股定理得：OD=（米）即圆心O到水面AB的距离为3米故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．考点四垂径定理的推论例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（

）A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦所以D选项为真命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的这样的真命题叫做定理也考查了垂径定理的性质．【变式训练】1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（

）

①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；垂直于弦的直径平分弦说法正确；圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故③说法不正确；平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧故④说法不正确；半圆的弧长是圆的弧长的一半不是圆中最长的弧故⑤说法不正确；不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆故⑥说法正确∴不正确的语句有4个故选：B【点睛】本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理正确理解题意是解题的关键.2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧C．等弧所对的圆心角相等所对的弦相等D．圆是轴对称图形其对称轴是任意一条直径【答案】C【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．【详解】解：A、在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所以本选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧所以本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等所对的弦相等所以本选项正确；D、圆是轴对称图形其对称轴是任意一条直径所在的直线所以本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．考点五圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．【详解】解：根据圆周角的定义可知选项中的角是圆周角．故选：．【点睛】本题考查圆周角的定义解题的关键是理解圆周角的定义属于中考基础题．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理垂径定理的推论圆心角、弧、弦的关系对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A.

同弧或等弧所对的圆周角相等所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧所以B选项错误；C、在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所以C选项错误；D.圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形垂径定理圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见解析(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角【解析】【详解】解：(a)∠1顶点在⊙O内两边与圆相交所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外两边与圆相交所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上两边均与圆相交所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上一边与圆相交另一边与圆不相交所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上两边与圆均不相交由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【点睛】本题主要考查了圆周角的定义熟练掌握顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．考点六同弧或等弧所对的圆周角相等例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图⊙是的外接圆是⊙的直径点P在⊙上若则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理得到然后利用互余计算出∠A的度数从而得到的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的直径∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理解题的关键是掌握在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图是的两条半径点C在上若则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】∵是的两条半径点C在上∴∠C==40°故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或者在等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．2．（2022·四川广安·二模）如图四边形ABCD的外接圆为⊙OBC＝CD∠DAC＝36°∠ACD＝44°则∠ADB的度数为（）A．55° B．64° C．65° D．70°【答案】B【解析】【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°∠ABD＝∠ACD＝44°然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．【详解】解：∵BC＝CD∴∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是∴∠BAC＝∠DAC＝36°∵∠ABD＝∠ACD＝44°∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．考点七直径所对的圆周角是直角例题：（2022·广西梧州·二模）如图AB、CD分别是⊙O的直径连接BC、BD如果弦且∠CDE＝62°则下列结论错误的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【答案】D【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可判断A根据圆周角定理可判断B选项根据圆周角与弧的关系可判断C根据判断D选项．【详解】解：∵AB、CD分别是⊙O的直径∴CB⊥BD故A选项正确如图连接且∠CDE＝62°故BC选项正确BDDE故D选项不正确故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理直径所对的圆周角是直角掌握圆周角定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图AB是⊙O的直径C是⊙O上一点D是AB另一侧半圆的中点若CD=BC=4则⊙O的半径长为（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】连接AD过点B作BE⊥CD于点E证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接AD过点B作BE⊥CD于点E∵AB是⊙O的直径D是的中点∴∠ADB=90°AD=DB∴△ADB是等腰直角三角形∴∠A=∠ABD=45°∴∠C=∠A=45°∴△EBC是等腰直角三角形∵BC=4∴EC=EB=2∵CD=∴DE=∴BD=在等腰直角△BDA中AB=∴⊙O的半径长为故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理等腰直角三角形的判定和性质勾股定理等解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．（2022·安徽芜湖·二模）如图正方形ABCD内接于⊙O边长BC=P为弧AD上一点且AP=1则PC=________________．【答案】3【解析】【分析】连接易得为直径在中利用勾股定理算出再在中利用勾股定理算出．【详解】解：连接四边形是正方形是直径．．在中在中．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的内接正多边形直径所对的圆周角的性质解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．考点八90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图的弦垂直于则的半径等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先连接由的弦垂直于即可得是直径又由根据勾股定理即可求得的长则可求得的半径．【详解】解：连接是的直径的半径为：．故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．【变式训练】1．（2022·江西吉安·一模）如图在矩形中为矩形内一点连接则的最小值为（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【解析】【分析】首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上设圆心为点E在圆E上任取一点F连接EF、DF、EP、PD可知当点E、P、D在一条直线上时PD最小再根据三角形三边的关系即可证得最后根据勾股定理即可求ED据此即可求得．【详解】解：点P在以AB为直径的圆上设圆心为点E如图：在圆E上任取一点F连接EF、DF、EP、PD当点E、P、D在一条直线上时PD最小理由如下：EP=EF(当且仅当点F与点P重合时取等号)此时PD最小点E是AB的中点EP是圆的半径在中故PD的最小值为8故选：A【点睛】本题考查了三角形三边的关系最短距离问题勾股定理确定点P的位置是解决本题的关键．2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图Rt△ABC中∠ABC=90°AB=6BC=5P是△ABC内部的一个动点且满足∠PAB=∠PBC则线段CP长的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用已知条件可知∠BPA=90°P点在以AB为直径的圆上如图O为圆心连接OCOC与圆O的交点PCP即为最小值进行计算求值即可．【详解】解：∵∠ABC=90°∠PAB=∠PBC∴∠PBA+∠PBC=90°∠PBA+∠PAB=90°∴∠BPA=90°∴P点在以AB为直径的圆上如图O为圆心连接OCOC与圆O的交点PCP即为最小值∵AB=6∴OB=OP=3∵BC=5∴OC=,∴CP=故答案为：【点睛】本题考查的圆中几何问题的综合运用掌握圆的基础性质进行计算求值是解题的关键．考点九圆内接四边形对角互补例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图点BCD在⊙O上若则的度数是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圆上取一点A连接ABAD根据圆的内接四边形的性质即可得∠BAD+∠BCD=180°即可求得∠BAD的度数再根据圆周角的性质即可求得答案．【详解】解：圆上取一点A连接ABAD∵点A、BCD在⊙O上∠BCD=130°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD=50°∴∠BOD=2∠BAD=100°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单解题的关键是注意数形结合思想的应用注意辅助线的作法．【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中四边形OABC为菱形点D在上则的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】【分析】设则利用菱形性质可得再由圆内接四边形的性质可知：即可求出．【详解】解：设则∵四边形OABC为菱形∴∵四边形ABCD是圆的内接四边形∴即∴即．故选：C【点睛】本题考查菱形的性质圆内接四边形的性质圆周角定理解题的关键是找出．2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形点E为边CD上任意一点（不与点C点D重合）连接BE若∠A=60°则∠BED的度数可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补可求出∠C的度数然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A+∠C=180°∵∠A=60°∴∠C=180°-∠A=120°∵∠DEB是△DCE的一个外角∴∠DEB＞∠C∴∠DEB的度数可能是：125°故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．一、选择题1．（2022·山东威海·九年级期末）如图点ABC都在⊙O上若＝36°则∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°【答案】B【解析】【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB再用等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB＝∠AOB∠ACB＝36°∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB∴△OAB是等腰三角形∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．2．（2022·山西·中考真题）如图内接于AD是的直径若则的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解析】【分析】首先连接CD由AD是的直径根据直径所对的圆周角是直角可求得又由圆周角定理可得再用三角形内角和定理求得答案．【详解】解：连接CD∵AD是的直径∴．∵∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3．（2022·湖北襄阳·一模）如图AB是⊙O的直径⊙O的弦CD＝8且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5则直径AB的长为（

）A．16 B．13 C．10 D．【答案】C【解析】【分析】连接OC可知OC=OB设：OE=3x则OB=OC=5x在中利用勾股定理即可求出OB由此可求出直径AB．【详解】解：如图连接OC则OB=OC∵⊙O的弦CD＝8且CD⊥AB于点E∴CE=DE=4∵OE∶OB＝3∶5设：OE=3x则OB=OC=5x在中由勾股定理得：∴解得：x=1∴OB=5即AB=10．故选：C．【点睛】本题主要考查的是圆的垂径定理以及勾股定理的应用合理利用线段比例关系构建直角三角形是解题的关键．4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图是的两条直径E是劣弧的中点连接．若则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】连接OE由题意易得则有然后可得进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE如图所示：∵OB=OC∴∴∵E是劣弧的中点∴∴；故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图BD是的直径弦AC交BD于点G．连接OC若则的度数为（

）A．98° B．103° C．108° D．113°【答案】C【解析】【分析】先求出∠COB的度数由圆周角定理求出∠BAC的度数再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°即可得到答案．【详解】解：∵∠COD=126°∴∠COB=54°∴∵BD是圆O的直径∴∠BAD=90°∵∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=45°∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°故选C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理直径所对的圆周角是直角等弧所对的弦相等等腰直角三角形的性质与判定三角形内角和定理等等熟知圆周角定理是解题的关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·三模）如图AB为⊙O的直径CD为⊙O上的两点若则∠C的度数为___________．【答案】36°##36度【解析】【分析】连接AD由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°即可求得∠DAB的度数由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得∠C的度数．【详解】如图连接AD．∵AB是直径∴∠ADB=90°．∴．∴∠C=∠DAB=36°．故答案为：36°．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等掌握这两个知识点是解题的关键．7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图已知AB是⊙O的弦∠AOB＝120°OC⊥AB垂足为COC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角则∠APD的度数是______．【答案】30°##30度【解析】【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD进而求出∠AOD=60°再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【详解】∵OC⊥ABOD为直径∴∴∠AOB=∠BOD∵∠AOB=120°∴∠AOD=60°∴∠APD=∠AOD=30°故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识掌握垂径定理是解答本题的关键．8．（2022·四川·泸县毗卢镇学校九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图）公式中“弦”指圆弧所对弦长“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝16米半径等于10米的弧田按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米．【答案】40【解析】【分析】由题意可知OC⊥AB于D交圆弧于C由垂径定理得到米再由勾股定理得到米求得米然后由弧田面积公式即可得出结果．【详解】解：由题意得：OC⊥AB于D∴AD＝BD＝AB＝8米在中由勾股定理得：OD＝＝＝6（米）∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米）∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米）故答案为：40．【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图在⊙O中半径r＝10弦AB＝16P是弦AB上的动点则线段OP长的最小值是______．【答案】6【解析】【分析】过O点作OH⊥AB于H连接OB如图根据垂径定理得到AH＝BH＝8再利用勾股定理计算出OH然后根据垂线段最短求解．【详解】解：如图过O点作OH⊥AB于H连接OB∴AH＝BH＝AB＝×16＝8在Rt△BOH中由勾股定理可得：∴线段OP长的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段问题熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图是的外接圆的平分线交于点D的平分线交AD于点E连接BD若的直径是则DE的长为_______．【答案】1【解析】【分析】连接CD根据AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC结合圆周角定理和三角形外角性质得出根据直径所对的圆周角为90°结合BD=CD利用勾股定理求出即可求出．【详解】解：连接CD如图所示：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴∴∵为直径且∴∠BDC=90°∴∴∴∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∵∴∴．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义圆周角定理三角形外角的性质等腰三角形的判定勾股定理作出辅助线根据题意证明是解题的关键．三、解答题11．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图AB为圆O直径F点在圆上E点为AF中点连接EO作CO⊥EO交圆O于点C作CD⊥AB于点D已知直径为10OE＝4求OD的长度．【答案】3【解析】【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF由CO⊥EO得到OC∥AF即可得到∠OAE＝∠COD然后通过证得△AEO≌△ODC证得CD＝OE＝4然后根据勾股定理即可求得OD．【详解】解：∵E点为AF中点∴OE⊥AF∵CO⊥EO∴OC∥AF∴∠OAE＝∠COD∵CD⊥AB∴∠AEO＝∠ODC在△AEO和△ODC中∴△AEO≌△ODC（AAS）∴CD＝OE＝4∵OC＝5∴OD＝＝＝3．【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．12．（2022·广东·中考真题）如图四边形内接于为的直径．(1)试判断的形状并给出证明；(2)若求的长度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得ACRt△ADC中由勾股定理求得CD即可；(1)证明：∵AC是圆的直径则∠ABC=∠ADC=90°∵∠ADB=∠CDB∠ADB=∠ACB∠CDB=∠CAB∴∠ACB=∠CAB∴△ABC是等腰直角三角形；(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形∴BC=AB=∴AC=Rt△ADC中∠ADC=90°AD=1则CD=∴CD=．【点睛】本题考查了圆周角定理等腰直角三角形的判定和性质勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．13．（2022·辽宁沈阳·二模）如图四边形ABCD内接于⊙OD是弧AC的中点延长BC到点E使连接BDED．(1)求证：；(2)若⊙O的直径长为．【答案】(