【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 二次函数的定义(解析版)

二次函数的定义考点一二次函数的识别考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三根据二次函数的定义求参数考点四列二次函数关系式考点一二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A、是一次函数故此选项不符合题意；B、是二次函数故此选项符合题意；C、不是二次函数故此选项不符合题意；D、未知数的最高次为3不是二次函数故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式()是解题的关键．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】①是二次函数；②是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数；这六个式子中二次函数有①②③故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义即一般地形如（abc是常数）的函数叫做二次函数．2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义函数式为整式且自变量的最高次数为2二次项系数不为0逐一判断．【详解】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x2自变量次数为3不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=函数式为分式不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2二次项系数不为0”是解题关键．考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量a、b、c是常量a是二次项系数b是一次项系数c是常数项作答．【详解】解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义关键是注意在找二次项系数一次项系数和常数项时不要漏掉符号．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设abc分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项则（

）A．a＝﹣1b＝3c＝0 B．a＝﹣1b＝0c＝3C．a＝﹣1b＝3c＝3 D．a＝1b＝0c＝3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1一次项系数是b＝0常数项是c＝3；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式关键是注意在找二次项系数一次项系数和常数项时不要漏掉符号．2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2则二次项系数a＝___一次项系数b＝___常数项c＝___．【答案】

3

-5

1【解析】【分析】形如：这样的函数是二次函数其中二次项系数为一次项系数为常数项为根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2则二次项系数a＝3一次项系数b＝﹣5常数项c＝1故答案为：3﹣51．【点睛】本题考查了二次函数的定义熟记二次函数的定义是解题关键．考点三根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式则m的值为_____．【答案】-1【解析】【分析】若y＝+2x﹣3是二次函数式则二次项系数不等于零可得答案；【详解】解：由题意得：解得：m=-1故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义理解二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数那么的值____．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义中未知数x的指数为2系数不为0列式计算即可．【详解】解：∵是关于的二次函数∴且∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的定义熟练掌握形如y=ax2+bx+c（abc是常数且a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数则的值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次函数求出m的值即可解决问题．【详解】解：∵是关于x的二次函数∴m2-m=2m+1≠0解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．考点四列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒某医药公司一月份的产值为1亿元若每月平均增长率为第一季度的总产值为（亿元）则关于的函数解析式为________________．【答案】【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值然后相加即可求解．【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元若每月平均增长率为∴二月份的为三月份的为第一季度的总产值为（亿元）则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的应用根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品该商店可以自行定价若每件商品的售价为元则可卖出件那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．【答案】【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元所以：故答案为：【点睛】本题考查的是列二次函数关系式掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图和是边长分别为5和2的等边三角形点、、、都在直线上固定不动将在直线上自左向右平移．开始时点与点重合当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为两个三角形重叠部分的面积为请写出与之间的函数关系式_________．【答案】【解析】【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时两个三角形重叠部分为的面积当时两个三角形重叠部分为的面积当时两个三角形重叠部分为的面积分别求解即可．【详解】当时如图1所示两个三角形重叠部分为的面积由题意得和是边长分别为5和2的等边三角形是边长x的等边三角形过点D作DE⊥BC于点E即；当时如图2所示两个三角形重叠部分为的面积由题意得过点作于点E即；当时如图3所示两个三角形重叠部分为的面积由题意得和是边长分别为5和2的等边三角形是等边三角形且过点D作DE⊥BC于点E即；综上写出与之间的函数关系式为．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质列二次函数解析式勾股定理平移与三角形面积问题熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．一、选择题1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地形如、、是常数的函数叫做二次函数进行分析．【详解】解：A、是一次函数故此选项错误；B、当时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数定义解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数首先是要看它的右边是否为整式若是整式且仍能化简的要先将其化简然后再根据二次函数的定义作出判断要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式解不等式即得答案．【详解】解：由题意得：则．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的定义属于基础题型掌握二次函数的概念是关键．3．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数则m的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．m为全体实数【答案】C【解析】【分析】根据二次函数定义列式求解即可．【详解】解：∵函数是二次函数∴m-2≠0解得：m=-2．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次函数．4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（

）A．正方体集装箱的体积ym3棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元烤鸭的重量y斤单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海行驶xh距上海ykm【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A．正方体集装箱的体积ym3棱长xm则y=x3故不是二次函数；B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3底面圆半径xm则y=14πx2故是二次函数；C．妈妈买烤鸭花费86元烤鸭的重量y斤单价为x元/斤则故不是二次函数；D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海行驶xh距上海ykm则y＝南京与上海之间的距离-108x故不是二次函数．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义解答本题的关键是明确题意写出相应的函数解析式利用二次函数的定义去判断．5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数那么m的值是（

）A．3 B． C．2 D．2或3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义列方程计算即可；【详解】∵是关于x的二次函数∴且∴且∴；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解准确计算是解题的关键．6．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（

）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：①符合二次函数的定义故①是二次函数；②符合二次函数的定义故②是二次函数；③符合二次函数的定义故②是二次函数；④不符合二次函数的定义故④不是二次函数．所以是二次函数的有①②③故选：C．【点睛】本题考查了二次二次函数的定义熟记概念是解题的关键．二、填空题7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．【答案】2【解析】【分析】首先把二次函数化为一般形式再进一步求得二次项系数．【详解】解：y=2x（x-1）=2x2-2x．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量a、b、c是常量a是二次项系数b是一次项系数c是常数项．8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数则m＝___．【答案】﹣4【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数∴|m|﹣2＝2m﹣4≠0解得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量a、b、c是常量a是二次项系数b是一次项系数c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）也叫做二次函数的一般形式．9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数那么m的值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】∵是y关于x的二次函数∴且解得：．故答案为：4【点睛】本题主要考查了二次函数的定义熟练掌握形如（abc是常数且）的函数叫做二次函数是解题的关键．10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．【答案】0【解析】【分析】分别得出二次项系数一次项系数和常数项相加即可；【详解】∵∴二次项系数为一次项系数为0常数项为1∴；故答案是0．【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的认识准确分析判断是解题的关键．11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2【答案】③【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数据此判断即可．【详解】解：①必须满足a≠0才为二次函数故①不一定是二次函数；②等号右边为分式故②不是二次函数；③是二次函数故③是二次函数；④时该式不是二次函数；⑤该式不是二次函数；故答案为：③．【点睛】本题考查了二次函数的识别熟知二次函数的定义是解本题的关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图在长方形中点从点出发点沿线段运动点沿线段运动（其中一点停止运动另一点也随之停止运动）．若设阴影部分的面积为则与之间的关系式为______．【答案】y=-+48【解析】【分析】先求出进而即可得到答案．【详解】由题意得：∴阴影部分的面积=6×8-即：y=-+48．故答案是：y=-+48．【点睛】本题主要考查列二次函数解析式解题的关键是掌握割补法求面积．三、解答题13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．（1）若这个函数是一次函数求的值（2）若这个函数是二次函数求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；【详解】解：（1）由题意得解得；（2）由题意得解得且．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义解题的关键是熟练掌握基本概念（1）根据二次项的系数等于零一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零可得方程根据解方程可得答案．14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数求m的值；（2）若这个函数是二次函数求m的取值范围.【答案】（1）；（2）且．【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零一次项的系数不等于零即可解决问题；（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零可得方程根据解方程可得答案即可解决问题；【详解】（1）由题意得解得m=；（2）由题意得m2-2≠0解得m≠且m≠-.【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义解题的关键是熟练掌握基本概念．15．（2021·全国·九年级课时练习）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆长方体的长和宽相等高比长多．（1）长方体的长和宽用表示长方体的表面积的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元油漆每个长方体所需费用用y（元）表示那么y的表达式是什么？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）长方体有6个面然后根据长方形的面积公式即可得到再去括号整理即可；（2）把（1）中的除以5即可得到