【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 用二次函数解决实际问题(解析版)

用二次函数解决实际问题考点一用二次函数解决增长率问题考点二用二次函数解决销售问题考点三用二次函数解决拱桥问题考点四用二次函数解决喷水问题考点五用二次函数解决投球问题考点六用二次函数解决图形问题考点七用二次函数解决图形运动问题考点一用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造产量年均增长率为x已知2020年产量为1万件那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．【答案】【解析】【分析】因为产量的平均增长率相同所以2021的产量为2022年的产量为由此即可知道2022年的产量y（万件）与x间的关系式．【详解】解：∵2020年产量为1万件且产量年均增长率为x．∴2021年产量为；2022年的产量为．∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为．故答案为：【点睛】本题考查二次函数的实际问题能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定那么y与x之间的关系式应表示为________．【答案】或【解析】【分析】根据平均增长问题可得答案．【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．故答案为：y＝2（x+1）2．【点睛】本题考查了函数关系式利用增长问题获得函数解析式是解题关键注意增加x倍是原来的（x+1）倍．2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设改善民生优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造如果计划改造300户计划投入改造费用平均20000元/户且计划改造的户数每增加1户投入改造费平均减少50元/户求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【解析】【分析】（1）设平均增长率为x根据题意列式求解即可；（2）设多改造y户最高投入费用为w元根据题意列式然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x则x>0由题意得：解得：x=0.2或x=-2.2（舍）答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a户最高投入费用为w元由题意得：∵a=-50抛物线开口向下∴当a-50=0即a=50时w最大此时w=612500元答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用解题的关键是正确读懂题意列出式子然后根据二次函数的性质进行求解．考点二用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品平均每天可售出20件每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利该店采取了降价措施在每件盈利不少于25元的前提下经过一段时间销售发现销售单价每降低1元平均每天可多售出2件．(1)若降价3元则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x元每天销售利润为w元由题意可列出函数关系式进而问题可求解．(1)解：由题意得：平均每天销售数量为（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x元每天销售利润为w元由题意得：∵每件盈利不少于25元∴解得：∵-2＜0对称轴为直线∴当时w有最大值答：当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时每天的销售量为250件销售单价每上涨1元每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？【答案】x＝35时w最大值2250元【解析】【分析】设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）利用每件利润×销量＝总利润进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）＝﹣10x2+700x﹣10000；∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250∴当x＝35时w取到最大值2250即销售单价为35元时每天销售利润最大最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500在销售过程中销售单价不低于成本价而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元）求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】(1)w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元张明每月的单价定为30元(3)当销售单价定为32元时每月可获得最大利润最大利润是2160元【解析】【分析】（1）由题意得每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数利润=（定价-进价）×销售量从而列出关系式；（2）把2000元代入上述二次函数关系式根据函数性质确定单价；（3）首先确定二次函数的对称轴然后根据其增减性确定最大利润即可．(1)解：由题意得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）；(2)由题意可知：-10x2+700x-10000=2000解这个方程得：x1=30x2=40．由（1）得20≤x≤32∴如果张明想要每月获得的利润为2000元张明每月的单价定为30元；(3)对于函数w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线x==35．又∵a=-10＜0抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时w随着x的增大而增大∴当x=32时w=2160答：当销售单价定为32元时每月可获得最大利润最大利润是2160元．【点睛】此题考查了二次函数的应用还考查抛物线的性质另外将实际问题转化为求函数最值问题从而来解决实际问题．考点三用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥当拱顶离水面2米时水面宽6米水面下降________米水面宽8米．【答案】##【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系通过代入A点坐标（30）求出二次函数解析式再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系设横轴x通过AB纵轴y通过AB中点O且通过C点则通过画图可得知O为原点由题意可得：AO=OB=3米C坐标为（02）通过以上条件可设顶点式y=ax2+2把点A点坐标（30）代入得∴∴∴抛物线解析式为：；当水面下降水面宽为8米时有把代入解析式得；∴水面下降米；故答案为：；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥当拱顶高距离水面2m时水面宽4m如果水面上升1.5m则水面宽度为________．【答案】2m【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系设出抛物线的解析式从而可以求得水面的宽度增加了多少本题得以解决．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y=ax2由已知可得点（2-2）在此抛物线上则-2=a×22解得∴当y=-0.5时解得x=±1此时水面的宽度为2m故答案为：2m．【点睛】本题考查二次函数的应用解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件建立合适的平面直角坐标系．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞桥洞离水面的最大高度为跨度为如图所示把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图在对称轴右边处桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)(2)在对称轴右边1m​处桥洞离水面的高是m【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式然后根据抛物线过点代入即可求解；（2）根据对称轴为：得出对称轴右边1m处为：代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为设抛物线解析式为：∵抛物线过点∴解得：∴这条抛物线所对应的函数关系式为：．(2)解：对称轴为：则对称轴右边1m处为：将代入可得：解得：答：在对称轴右边1m处桥洞离水面的高是m．【点睛】本题考查了二次函数的应用解答此题的关键是明确题意求出抛物线的解析式．考点四用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系并设抛物线的表达式为其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方且距喷水头P水平距离3m身高1.6m的小红在水柱下方走动当她的头顶恰好接触到水柱时求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)(2)2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点设抛物线的表达式为将点代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式求得的值进而求与点的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为设抛物线的解析式为将点代入得解得抛物线的解析式为(2)由令得解得爸爸站在水柱正下方且距喷水头P水平距离3m当她的头顶恰好接触到水柱时她与爸爸的水平距离为(m)或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图水池中心点O处竖直安装一水管水管喷头喷出抛物线形水柱喷头上下移动时抛物线形水柱随之竖直上下平移水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现喷头高时水柱落点距O点；喷头高时水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时水柱落点距O点．【答案】8【解析】【分析】由题意可知在调整喷头高度的过程中水柱的形状不发生变化则当喷头高2.5m时可设y=ax2+bx+2.5将（2.50）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时可设y=ax2+bx+4将（30）代入解析式得9a+3b+4=0联立可求出a和b的值设喷头高为h时水柱落点距O点4m则此时的解析式为y=ax2+bx+h将（40）代入可求出h．【详解】解：由题意可知在调整喷头高度的过程中水柱的形状不发生变化当喷头高2.5m时可设y=ax2+bx+2.5将（2.50）代入解析式得出2.5a+b+1=0①喷头高4m时可设y=ax2+bx+4将（30）代入解析式得9a+3b+4=0②联立可求出设喷头高为h时水柱落点距O点4m∴此时的解析式为将（40）代入可得解得h=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用重点是二次函数解析式的求法直接利用二次函数的平移性质是解题关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形其水平宽度竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为高出喷水口灌溉车到的距离为（单位：）．(1)若；①求上边缘抛物线的函数解析式并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带求的取值范围；(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带请直接写出的最小值．【答案】(1)①；②；③(2)【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带则上边缘抛物线至少要经过F点下边缘抛物线计算即可；（2）当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点恰好分别在两条抛物线上设出D、F坐标计算即可．(1)（1）①如图1由题意得是上边缘抛物线的顶点设．又∵抛物线经过点∴∴．∴上边缘抛物线的函数解析式为．当时∴（舍去）．∴喷出水的最大射程为．

图1②∵对称轴为直线∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的即点是由点向左平移得到则点的坐标为．③如图2先看上边缘抛物线∵∴点的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点时．解得∵∴．当时随着的增大而减小∴当时要使则．∵当时随的增大而增大且时∴当时要使则．∵灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带∴的最大值为．再看下边缘抛物线喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是∴的最小值为2．综上所述的取值范围是．(2)的最小值为．由题意得是上边缘抛物线的顶点∴设上边缘抛物线解析式为．∵上边缘抛物线过出水口（0h）∴解得∴上边缘抛物线解析式为∵对称轴为直线∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的∴下边缘抛物线解析式为．当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点恰好分别在两条抛物线上∵DE=3∴设点∵D在下边缘抛物线上∴∵EF=1∴∴解得代入得．所以的最小值为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．考点五用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图以地面为x轴一名男生推铅球铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【解析】【分析】成绩就是当高度y=0时x的值所以解方程即可求解本题．【详解】解：当y=0时解得：x1=10x2=-2（不合题意舍去）所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题主要考查二次函数的应用把函数问题转化为方程问题来解渗透了函数与方程相结合的解题思想．【变式训练】1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为其中y是实心球飞行的高度x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为则实心球飞行的水平距离OB的长度为（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【解析】【分析】根据题意待定系数法求解析式再令即可求解．【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为点A的坐标为∴解得令即解得（舍去）故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用待定系数法求解析式求二次函数与坐标轴的交点掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图球在点A处离手且．第一次在点D处落地然后弹起在点E处落地篮球在距O点的点B处正上方达到最高点最高点C距地面的高度点E到篮球框正下方的距离篮球框的垂直高度为．据试验两次划出的抛物线形状相同但第二次的最大高度为第一次的以小明站立处点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框他应该向前走多少米？（结果精确到）（参考数据：）【答案】(1)(2)篮球第二次的落地点E到点O的距离为23m；(3)小明想一次投中篮球框他应该向前走15.3m．【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为将代入即可求解；（2）将向下平移两个单位得令得进而即可求解；（3）令得解得：由即可求解．(1)解：由题意知设抛物线的函数解析式为；将代入表达式得解得：；∴；令得∴抛物线的函数解析式为；(2)由题意将向下平移两个单位得令得解得：∴∴∴∴(3)令得解得：∴小明想一次投中篮球框他应该向前走15.3m．【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．考点六用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图利用一面墙（墙长26米）用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门设栅栏BC长为米．(1)AB＝米（用含的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能请求出最大面积；如果不能请说明理由．【答案】(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能最大面积为【解析】【分析】（1）设栅栏BC长为x米根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门即可用含x的代数式表示出AB的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米∵栅栏的全长为49米且中间共留两个1米的小门∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米）故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意得：（51﹣3x）x＝210整理得：x2﹣17x+70＝0解得：x1＝7x2＝10．当x＝7时AB＝51﹣3x＝30＞26不合题意舍去当x＝10时AB＝51﹣3x＝21符合题意答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,∵-3<0∴当x=时S有最大值最大值为即最大面积为∵>210∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用列代数式以及根的判别式解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大应该如何设计长与宽．【答案】(1)．(2)当矩形场地长为10米宽为5米时矩形的面积最大．【解析】【分析】（1）由可得出由墙长10米可得出关于的一元一次不等式组解之即可得出的取值范围再利用矩形的面积公式即可得出关于的函数关系式；（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解．(1)解：．又墙长10米．．(2)解：由（1）可知：∴当时矩形的场地面积最大最大值为50；答：当矩形场地长为10米宽为5米时矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成已知城门宽度为4米最高处距地面6米．如图1所示现以O点为原点OM所在的直线为x轴OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米高4.5米的消防车需要通过该城门请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD该“装饰门”关于抛物线对称轴对称如图2所示其中ABADCD为三根承重钢支架A、D在抛物线上BC在地面上已知钢支架每米70元问搭建这样一个矩形“装饰门”仅钢支架一项最多需要花费多少元？【答案】(1)(2)能正常进入理由见解析(3)910元【解析】【分析】（1）根据所建坐标系知顶点和与y轴交点E的坐标可设解析式为顶点式进行求解由城门宽度为4米知x的取值范围是0≤x≤4；（2）根据对称性当车宽3米时x＝求此时对应的纵坐标的值与车高4.5米进行比较得出结论；（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和再运用性质求最大值可设点B的坐标表示三段的长度从而得出表达式．(1)解：由题意知抛物线的顶点设抛物线的表达式为抛物线过点抛物线的表达式为即；(2)解：由题意知当消防车走最中间时进入的可能性最大即当时消防车能正常进入；(3)解：设B点的横坐标为m的长度为l由题意知即当时l最大l最大费用为（元）答：仅钢支架一项最多需要花费910元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．考点七用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1在中已知点P在直角边AB上以的速度从点A向点B运动点Q在直角边BC上以的速度从点B向点C运动．若点PQ同时出发当点P到达点B时点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点）根据相关信息计算线段AC的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得出在中根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系利用顶点式得出当时有最大值为从而求出运动时间是求出根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设运动时间则在中则当时有最大值为解得即根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知抛物线与轴交于和两点即运动时间是在中根据勾股定理可得故选：B．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点看懂题意将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图在矩形ABCD中BC＞CDBC、CD分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根连接BD并过点C作CN⊥BD垂足为N点P从B出发以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动到点A为止点P与点M同时出发设运动时间为t秒（t＞0）．(1)求线段CN的长；(2)在整个运动过程中当t为何值时△PMN的面积取得最大值最大值是多少？【答案】(1)(2)当时【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC=4CD=2然后利用等积法求出CN；（2）分0＜t≤和＜t≤4两种情况列出函数解析式利用二次函数的性质求出最大值．(1)解：解得∵∴∵四边形ABCD是矩形∴∴∴；(2)由题可知①当时过点M作MH⊥BD垂足为H设△PMN的面积为S则∵∴当时②当时此时S随t的增大而增大∴当时综合①②知当t=4时△PMN的面积取得最大值最大值是．【点睛】本题考查利用二次函数解决面积最大问题解决问题的关键是根据t值分情况列出函数解析式．2．（2021·北京·九年级期中）如图中．动点分别从两点同时出发点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动当到达终点时运动停止．设运动时间为．(1)①当运动停止时的值为．②设之间的距离为则与满足（选填“正比例函数关系”“一次函数关系”“二次函数关系”．(2)设的面积为①求的表达式（用含有的代数式表示）；②求当为何值时取得最大值这个最大值是多少？【答案】(1)①②一次函数关系；(2)①；②的值最大为6【解析】【分析】（1）①由已知可得当运动停止时t的值为6÷3=8÷4=2②由已知可得CP=6-3t即y=-3t+6即可得到答案；（2）①由已知可得：CP=-3t+6CQ=4t即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6即可得t=1时S的值最大为6．(1)①点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动当运动停止时的值为故答案为：2；②由已知可得；而是一次函数故答案为：一次函数关系；(2)①由已知可得：；②且时的值最大为6．【点睛】本题考查了函数的综合应用涉及动点问题、三角形面积等知识解题的关键是用含的代数式表示、的长度．一、选择题1．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）某服装店购进单价为15元的童装若干件销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件而当销售价每降低2元平均每天能多售出4件为使该服装店平均每天的销售利润最大则每件的定价为（

）A．21元 B．22元 C．23元 D．24元【答案】B【解析】【分析】设每天的销售利润为元每件的定价为元则每件的利润为元平均每天售出件根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式即可求解．【详解】解：设每天的销售利润为元每件的定价为元则每件的利润为元平均每天售出件根据题意得：∵∴当时最大即每件的定价为22元时每天的销售利润最大．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的应用明确题意准确列出函数关系式是解题的关键．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图一抛物线型拱桥当拱顶到水面的距离为2m时水面宽度为4m．那么水位下降1m时水面的宽度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系然后设出解析式利用点的坐标求得解析式再将代入解析式求得相应的x的值进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系如图：∴设抛物线解析式为：∵观察图形可知抛物线经过点∴∴∴抛物线解析式为：∴当水位下降米后即当时有∴∴水面的宽度为：．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水水流呈抛物线如果抛物线的最高点M离墙1米离地面3米那么水流落点B与墙的距离OB是（

）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【答案】C【解析】【分析】根据题意可以求得抛物线的解析式从而可以求得点B的坐标本题得以解决．【详解】解：由题意可得抛物线的顶点坐标为（13）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+32.25=a（0-1）2+3解得a=-0.75∴y=-（x-1）2+3当y=0时-（x-1）2+3=0解得x1=-1x2=3∴点B的坐标为（30）∴OB=3答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用解答本题的关键是明确题意求出相应的函数解析式利用二次函数的性质解答．4．（2022·河南·辉县市城北初级中学一模）如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形他们的边BCEF在同一条直线l上点CE重合现将△ABC沿着直线l向右移动直至点B与点F重合时停止移动在此过程中设点B移动的距离为x两个三角形重叠部分的面积为y则y随x变化的函数图像大致为(

)

A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式于是可求得问题的答案．【详解】解：如图1所示：当0＜x≤2时过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形∴△GEJ为等边三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x∠GEJ＝60°∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x∴y＝EJ•GH＝x2当x＝2时y＝且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ•GH＝（4﹣x）2函数图象为抛物线的一部分且抛物线开口向上．故选：A．【点睛】本题主要考查的是动点问题的函数图象求得函数的解析式是解题的关键．二、填空题5．（2022·上海宝山·九年级期末）据了解某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨2021年的蔬菜产量为万吨如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为那么关于的函数解析式为_________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得2020年的蔬菜产量为2021年的蔬菜产量为2021年的蔬菜产量为y万吨由此即可得．【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为2021年的蔬菜产量为∴故答案为：．【点睛】题目主要考查二次函数的应用理解题意熟练掌握增长率问题是解题关键．6．（2021·广东揭阳·九年级期末）用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示）那么这个窗户的最大透光面积是___________（中间横框所占的面积忽略不计）【答案】【解析】【分析】设窗户竖着的边长长为米面积为进而得出横着的边长为米再运用矩形的面积公式可得再运用二次函数的性质即可求解．【详解】解：设窗户竖着的边长长为米横着的边长为米当时取得最大值为6故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的运用列出函数关系式是解题的关键．7．（2022·湖北襄阳·一模）如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2则小球飞出______s时达到最大高度．【答案】2【解析】【分析】根据函数关系式求出抛物线的对称轴即可解决．【详解】解：h=-5t2+20ta=-5b=20∴t=-则小球在2s时达到最大高度．故答案为2．【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．8．（2022·山西·一模）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究将变阻器R的滑片从一端滑到另一端绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示该图象是经过原点的一条抛物线的一部分则变阻器R消耗的电功率P最大为__________W．【答案】220【解析】【分析】先利用待定系数法求抛物线的解析式根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分过（1165）和（40）点∴抛物线的对称轴为I=2设抛物线的解析式为∴解得∴∵a=-55<0∴抛物线有最大值为220即变阻器R消耗的电功率P最大为220W故答案为220【点睛】本题考查了二次函数的应用涉及到用待定系数法求解析式和二次函数的性质掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题9．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚其中一面靠墙墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形。为了方便学生出行学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。(1)求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？(2)如图2在（1）的结论下为了方便学生取车施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路使得停放自行车的面积为70平方米那么小路的宽度是多少米？【答案】(1)最大面积为96平方米此时米米；(2)小路的宽为1米【解析】【分析】（1）设为x米则为米列出车棚面积的函数表达式求出x的取值范围再求出函数的最大值同时求出AD和AB的长即可；（2）设小路宽为m米．根据题意列出方程解方程即可．(1)解：设为x米则为米根据题意得：由题意得解得0<x≤12∵开口向下∴当时S随x的增大而增大∵∴当时S有最大值此时AD＝x＝12AB＝＝8答：最大面积为96平方米此时米米．(2)解：设小路宽为m米．根据题意得解得（舍）答：小路的宽为1米．【点睛】此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用读懂题意列出函数表达式和一元二次方程是解题的关键．10．（2022·浙江宁波·八年级期末）“燃情冰雪一起向未来”北京冬奥会于2022年2月4日如约而至某商家看准商机进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元且不高于60元．销售期间发现当销售单价定为44元时每天可售出300个由于销售火爆商家决定提价销售．经市场调研发现销售单价每上涨1元每天销量减少10个．(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时商家每天获利2640元；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【答案】(1)当每个纪念品的销售单价是52元时商家每天获利2640元(2)当纪念品的销售单价定为57元时商家每天销售纪念品获得的利润w最大最大利润是2890元【解析】【分析】（1）设每件纪念品销售价上涨x元根据题意列出一元二次方程解出方程根据销售单价不高于60元即可求解．（2）根据题意列出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式根据函数的增减性即可求解．(1)解：设每件纪念品销售价上涨x元由题意得：（x+4）（300–10x）＝2640整理得：x2﹣26x+144＝0即（x–8）（x–18）=0解得：x1＝8x2＝18∵销售单价不高于60元∴x＝8答：当每个纪念品的销售单价是52元时商家每天获利2640元．(2)根据题意得：w＝（x+4）（300–10x）＝–10x2+260x+1200＝–10（x–13）2+2890∵–10＜0二次函数图象开口向下对称轴为直线x=13∴当x＝13时w最大且最大值为2890∵所以当纪念品的销售单价定为57元时商家每天销售纪念品获得的利润w最大最大利润是2890元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用根据题意找准等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键．11．（2022·河南开封·二模）如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门也叫安远门有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②上部分可看作是抛物线形下部分可看作是矩形边AB为16米BC为6米最高处点E到地面AB的距离为8米．(1)请在图②中建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式．(2)该主门洞内设双向行驶车道正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶不能压双黄线并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）．试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后宽3.7米高6.6米能否安全通过该主门洞？并说明理由．【答案】(1)；(2)该车能安全通过．【解析】【分析】（1）以CD为x轴垂直于CD中点的线为y轴构建直角坐标系然后根据对称轴是y轴设解析式再将C点坐标代入即可求出解析式；（2）先根据条件算出0.6÷2＋3.7＝4再将x=4代入解析式即可求出y值再减去0.6的安全距离就可以算出实际高度再与车高进行对比就可以判断是否安全通过；(1)建立如图所示的平面直角坐标系由题意知设抛物线解析式为∵矩形ABCD的边BC＝6mAB＝16m

∴把代入得：∴抛物线解析式为：(2)该车能安全通过．理由如下：∵0.6÷2＋3.7＝4∴当x＝4时∵7.5－0.6＝6.916÷2＝8又∵∴该车能安全通过．【点睛】本题考查二次函数的实际应用熟练掌握二次函数的解析式求法并能根据二次函数的图象与性质解决实际问题是解答本题的关键．12．（2021·云南玉溪·一模）某商场进购了一款新包装的牛奶牛奶的成本价为元盒试营销发现每天的销售量盒与销售单价元盒存在如图所示的函数关系．(1)求与之间的函数关系式；(2)设每天销售总利润为元商场的营销部门结合上述情况提出了两种营销方案：方案一：该牛奶的销售单价高于进价且不超过元；方案二：每天销售量不少于盒且每盒牛奶的利润至少为元．试比较哪种方案的最大利润更高并说明理由．【答案】