湖南省常德市澧县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

年下学期期中考试试题卷九年级数学考生注意：1、本堂考试时量为120分钟，满分120分；2、本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上；3、请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息。考试结束时，只交答题卷。一、单选题（每题3分，共8小题，满分24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列函数中，属于反比例函数的是（）A． B． C． D．3．一元二次方程，下列分解正确的是（）A． B． C． D．4．点分别在的边上，可推出的条件是（）A． B．C． D．5．如图，点在反比函数的图象上，若矩形的面积为4，则的值为（）A．4 B． C．8 D．6．若点都在反比例函数，的图象上，则大小关系是（）A． B． C． D．7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（）A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸8．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（）A．17 B．18 C．19 D．20二、填空题（每题3分，共8小题，满分24分）9．如图，，则__________．10．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为__________．11．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为__________．12．已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为__________．13．若反比例函数的图象经过点，则此函数的解析式为__________．14．如图，，请你补充一个条件：__________，使．15．某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量（件）与销售价（元）的变化关系如下表，写出与之间的函数关系式__________．售价（元）200240250400日销售量（件）3025241516．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且……按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，的面积分别为，则__________．三、解答题（10小题，共72分）17．（5分）已知，如图，中，为边上一点，．求证：．18．（5分）解方程：．19．（6分）如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．（1）画出与关于轴对称的；（2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．20．（6分）如图，点是反比例函数图像上的一个动点，过点作轴的平行线交反比例函数图像于点．（1）若点，求点的坐标；（2）若点是轴上的任意一点，那么的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．21．（7分）如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．（1）求证：；（2）当时，求的长．22．（7分）已知关于的方程．（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；（2）若方程有两实数根分别为和，且，求的值．23．（8分）某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，若三条小路的宽度均为x米，（1）若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度；（2）若修建小路的价格为40元/平方米，求修建小路的总造价．24．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点．（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；（2）直接写出关于的不等式的解集；（3）求的面积．25．（10分）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．（1）作函数图象；（2）①当反比例函数的图象与直线有唯一交点时，周长的值为__________；②交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．③解决问题：若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为__________．26．（10分）【问题背景】（1）如图1，．求证：；【变式迁移】（2）如图2，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值；【拓展创新】（3）如图3，是内一点，，，直接写出的长．2022年下学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准选择题（每题3分，共8小题，满分24分）题号12345678答案DBABADBC1．D【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A、含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；B、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；C、方程整理得，含有未知数的项的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；D、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是＋bx＋c＝0（a≠0）．2．B【分析】把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断．【详解】解：A、当k=0时，则不是反比例函数，故不符合题意；B、是反比例函数，其中比例系数是，故符合题意；C、是一次函数，故不符合题意；D、函数解析式不是分式形式，故不是反比例函数，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的识别，掌握反比例函数的定义是关键．注意比例系数k非零．3．A【分析】把的左边按照十字乘法分解因式为：，从而可得答案．【详解】解：，，故选：A．【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握利用十字的乘法分解因式是解题的关键．4．B【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：当＝或＝时，DE∥BC，B选项中，＝，＝，∴＝，∴DE∥BC，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5．A【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可．【详解】∵点A在反比函数的图象上，且矩形ABOC的面积为4，∴．∵该反比例函数图象位于第一象限，∴．故选A．【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数的图象上任一点，作x轴、y轴的垂线形成的矩形的面积为是解题关键．6．D【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】∵在反比例函数中，，∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大，∵，∴点在第二象限，点、在第四象限，∴，∴，，的大小关系为．故选：D．【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x寸， 竹竿的影长=150寸，标杆长=15寸，影长=5寸， ,解得：．答：竹竿长为450寸， 故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．8．C【分析】根据日历上数字的特点，用含中间数的代数式表示出最小的数a和最大的数i，根据最大的数与最小的数乘积是297列一元二次方程，解方程即可．【详解】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，则，，，，∵最大的数与最小的数乘积是297，∴，解得，取正数，．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是用含中间数的代数式表示出a和i．填空题（每题3分，共8小题，满分24分）410.11.202212.13.14.（答案不唯一）15.16.详解：9．4【分析】根据平行线分线段成比例定理得到对应边成比例，然后利用比例性质求出DE．【详解】∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．m####【分析】根据方程有实数根，得出≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：根据题意得＝﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m，故答案为：m．【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．11．【分析】把所求一元二次方程变形，再与原一元二次方程比较即可求出答案．【详解】解：∵有一根为，将一元二次方程变形得，∴，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的变形，掌握一元二次方程未知数的变化规律是解题的关键．12．【分析】根据在每个象限内，随自变量的增大而增大，可得，即可求解．【详解】解：根据题意，得，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而增大是解题的关键．13．【分析】把点（-2，）代入，求出k，即可求解．【详解】解：把点（-2，）代入，得：，解得：，∴此函数的解析式为．故答案为：【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．14．（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定问题，由题意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一对应角相等即可．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，∴添加的条件为∠B＝∠D．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的性质及判定定理是解题的关键．15．【分析】根据表中数据可得：售价与日销售量的乘积为定值，得出，进行变形即可得出函数解析式．【详解】解：根据表中数据可得：售价与日销售量的乘积为定值，即：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意，根据表中数据得出售价与日销售量的乘积为定值是解题关键．16．【分析】先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶=，即可求解．【详解】解：当x=1时，，∴点，∴，∴，∵根据题意得：，∴∽∽∽∽……∽，∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，∵，，，，……，∴，，，……，，∴∶∶∶∶……∶=，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．解答题(共10小题，满分72分）17．（5分）【详解】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴，………3分又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．………5分18．（5分）【详解】解：，移项得：，配方得：，合并得：，开方得：，解得．………5分19．（6分）（1）如图，为所作．………3分（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．………6分20．（6分）（1）∵MNy轴，∴点M、N的y值相等，将y=3代入，得，∴；………3分（2）不变，………4分如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上，∴，∴，∴S△PMN=5，∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．………6分21．（7分）（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠BCA，∵∠ACD=∠ABE，∴∠BCA=∠ABE，∵∠BAC=∠EAB，∴△ABC∽△AEB；………4分（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴，∵AB=3，AC=2，∴∴AE=4.5．………7分22．（7分）（1）证明：①当k+2≠0时，∵，∴方程总有实数根；………3分②当k+2=0时，k=-2，原方程化为-3x-3=0，方程的解为x=-1．∴无论k为何实数，方程总有实数根．………4分（2）解：由题意得：，，∵，∴，即，解得．………7分23．（8分）（1）解：由三条小路的宽度均为x米，根据题意得，，整理得，解得（不合题意舍去）∴修建的小路的宽度为5米；………4分（2）修建的小路的面积为平方米，∴修建小路的总造价为元．………8分24．（8分）（1）解：将代入，