线性代数初步-矩阵（高等数学课件）

矩阵的初等变换与秩（二）线性代数初步1.矩阵的秩的概念知识点讲解2.矩阵的行等价显然，矩阵的阶子式共有个。矩阵的秩的概念定义1在矩阵中，任取行列（），位于这些行列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的阶行列式，称为矩阵的一个阶子式.显然，矩阵的阶子式共有个.显然，矩阵的阶子式共有个。矩阵的秩的概念定义2在矩阵中，一切非零子式的最高阶数称为矩阵的秩.即矩阵中至少有一个阶子式不等于零，且所有阶子式（若有的话）都等于零，则称为矩阵的秩，记做.注

（1）零矩阵的秩是零；

（2）.当时，称为满秩矩阵；

当时，称为降秩矩阵.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。用初等变换求矩阵的秩定理1一元函数，但在自然科学和工程两矩阵经过初等变换后其秩数不变.凡是行阶梯形矩阵，它的非零子式的最高阶数都等于它的非零行的行数，即行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数.例题一元函数，但在自然科学和工程两求矩阵的秩.例题解故课程小结本节介绍了矩阵的秩的概念及利用初等变换求解矩阵的秩.矩阵的初等变换与秩（一）线性代数初步1.矩阵的初等变换概念知识点讲解2.矩阵行等价问题导入

回顾中学学习的用消元法求解线性方程组的具体作法，就是对方程反复实施以下三种变换：1.交换某两个方程组的位置；2.用一个非零数乘以某一个方程的两边；3.用一个非零数乘以某一个方程的两边加到另一个方程上去.对应的矩阵是否也有类似的变换？若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的初等变换概念定义1对矩阵的行（列）施行下列三种变换，称为矩阵的初等行（列）变换：（1）交换矩阵的第，两行（列），记做

；（2）用数乘以矩阵的第行（列），记做

；矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.（3）用数乘以矩阵的第行（列）加到第行（列）上，记做.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的行等价定义2一元函数，但在自然科学和工程两若一个矩阵中每个非零行的首元素（第一个非零元素）出现在上一行非零首元素右边，同时没有一个非零行出现在零行之下，则称这个矩阵为行阶梯形矩阵.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的行等价定义3一元函数，但在自然科学和工程两每一个非零行的非零首元素为1，且包含非零首元素的列中，其他元素均为零的行阶梯形矩阵，称为行最简阶梯形矩阵.例题一元函数，但在自然科学和工程两用行初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简阶梯形矩阵

.例题解即课程小结矩阵的初等变换是线性代数的基本运算，熟练地掌握矩阵的初等变换是至关重要的.对矩阵进行初等变换后，新矩阵与原来矩阵不再相等.故原矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接.矩阵的行阶梯形矩阵不是唯一的，但矩阵的行最简阶梯形矩阵是唯一的.矩阵的定义与运算线性代数初步1.矩阵的定义知识点讲解2.矩阵的运算问题导入在物资调运中，往往要考虑如何调运物资使得总运费最低，某地区某物资调运方案如下表：其中表示产地到销地的数量，其实能反应问题实质的是其中的数据，这个表可以简单表示，在数学上称之为矩阵.若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的定义定义1称为一个行列矩阵，简称矩阵.其中横排称行，纵排称列，

是位于矩阵第行第列的元素.通常用大写字母表示矩阵.可记做或，也可简记做或

.若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的定义定义2若矩阵与满足：

若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的运算定义3矩阵的加法设有两个矩阵和将它们对应元素相加（减）而得到的矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差），即.注意

只有两个矩阵具有相同行数和相同列数时，两个矩阵才可以相加减.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的运算定义4数与矩阵的乘法设有矩阵，为任意实数，实数与的每一个元素相乘所得的矩阵，称为数与矩阵的乘积，记做，即.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的运算矩阵的加减法和数乘矩阵满足以下规律：（1）交换律：;（2）结合律：,;（3）分配律：，;（4）,,.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的运算定义5矩阵乘法设矩阵矩阵则由元素

(

;

)构成矩阵，称为矩阵与的乘积，记做即.注意1、只有矩阵的列数等于矩阵的行数时，矩阵才有意义.2、若，则的行数等于的行数，列数等于的列数.若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。矩阵的运算矩阵运算规律：（1）结合律：;（2）分配律：,;（3）（为常数）.课程小结本节内容主要介绍了矩阵的定义和运算.矩阵的逆及其求法线性代数初步1.逆矩阵的定义知识点讲解2.逆矩阵的求法问题导入一元函数，但在自然科学和工程两在数的运算中，数，存在唯一的一个数，使或.对于矩阵，是否也存在类似的计算？显然，矩阵的阶子式共有个。逆矩阵的概念定义1一元函数，但在自然科学和工程两对于阶方阵，若存在一个阶方阵,使得

，则称是可逆的，并称是的逆矩阵，记做.显然，矩阵的阶子式共有个。逆矩阵的概念定义2由阶方阵的行列式各个元素的代数余子式所构成的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵.

显然，矩阵的阶子式共有个。定理1

阶方阵可逆的充要条件是，有（为的伴随矩阵）.定理2如果阶方阵可逆，则经过若干次的初等变换将可化为阶单位矩阵.逆矩阵的求法若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。逆矩阵的求法用初等变换求逆矩阵的方法（1）阶方阵和阶单位矩阵，构成矩阵;（2）对进行行初等变换，初等变换将化为单位矩阵时，

就变成了，即.例题一元函数，但在自然科学和工程两例一求矩阵的逆矩阵.例题解,故存在.又因为;;;;;;;;.

例题因此