2021-2023年高考数学真题分类汇编专题11 平面向量（解析版）

专题11平面向量知识点目录知识点1：平面向量线性运算知识点2：数量积运算知识点3：求模问题知识点4：求夹角问题知识点5：平行垂直问题知识点6：平面向量取值与范围问题近三年高考真题知识点1：平面向量线性运算1．（2022•新高考Ⅰ）在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．2．（2023•天津）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<03．（2023•上海）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．4．（2022•天津）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，如图：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．知识点2：数量积运算5．（2022•上海）若平面向量SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，由同角三角函数的基本关系得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2023•上海）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】4．【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．7．（2021•上海）如图正方形SKIPIF1<0的边长为3，求SKIPIF1<0．【答案】9【解析】由数量积的定义，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：9．【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．8．（2021•浙江）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定相等，故SKIPIF1<0不能推出SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的不充分条件；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要条件．综上所述，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．9．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】法一、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误．故选：SKIPIF1<0．法二、如图建立平面直角坐标系，SKIPIF1<0，作出单位圆SKIPIF1<0，并作出角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使角SKIPIF1<0的始边与SKIPIF1<0重合，终边交圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0，终边交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0，交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量的模与数量积可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0错误．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．10．（2023•乙卷（文））正方形SKIPIF1<0的边长是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】SKIPIF1<0【解析】正方形SKIPIF1<0的边长是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．11．（2022•乙卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边平方得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．12．（2022•甲卷（文））设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】11【解析】由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：11．【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中等题．13．（2021•新高考Ⅱ）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】方法1：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．方法SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．14．（2021•北京）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则SKIPIF1<0．【答案】0．【解析】以正方形网格左下角顶点为原点，以横向线段所在直线为SKIPIF1<0轴，向右为正方向，以纵向线段所在直线为SKIPIF1<0轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知识点3：求模问题15．（2023•新高考Ⅱ）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．16．（2021•甲卷（理））若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】由题意，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．17．（2023•北京）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题．18．（2022•乙卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．3 C．4 D．5【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．知识点4：求夹角问题19．（2022•新高考Ⅱ）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．6【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得实数SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（2023•甲卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题．21．（2023•甲卷（理））向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．知识点5：平行垂直问题22．（2022•甲卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．23．（2023•新高考Ⅰ）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．24．（2021•乙卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．25．（2021•甲卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．26．（2021•乙卷（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．知识点6：平面向量取值与范围问题27．（2022•北京）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，如图：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为6，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．28．（2023•上海）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为空间中三组单位向量，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为空间任意一点，且SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最大值为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．29．（2022•浙江）设点SKIPIF1<0在单位圆的内接正八边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】以圆心为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．30．（2022•上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】建立平面直角坐标系如下，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线上，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．31．（2021•天津）在边长为1的等边三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0且交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0