机器人坐标系统课件

第三章机器人坐标系统

张远辉机械电子所20148/7/20231第三章机器人坐标系统张远辉机械电子所机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果。8/7/20232机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各3.1位置与姿态

3.2正交坐标系

3.3运动坐标表示

3.4齐次坐标变换

3.5机器人坐标系统

为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。

8/7/202333.1位置与姿态为了系统地、精确地描述各

要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。

如果H为手坐标系，用以描述手的姿态，那再加上手的位置就构成了手的位姿。3.1位置与姿态

一般姿态的描述可以用横滚（Roll）、俯仰（Pitch）和侧摆（Yaw）三轴的转角来实现。

绕坐标系H各轴转动yawProllpitchHXHZHYH8/7/20234要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三从二维坐标系说起BHP如果已知P点在H坐标系下的坐标为[1,1]^T,则P在B下的坐标?8/7/20235从二维坐标系说起BHP如果已知P点在H坐标系下的坐标为[1,BHP坐标系重合的情况（旋转）θ8/7/20236BHP坐标系重合的情况（旋转）θ7/31/20236正交基之间的变换8/7/20237正交基之间的变换7/31/20237带入后坐标写成列向量8/7/20238带入后坐标写成列向量7/31/20238旋转矩阵R8/7/20239旋转矩阵R7/31/20239仅仅只有平移BHPH坐标系的原点，在B坐标系中的坐标是[a,b]^T，则8/7/202310仅仅只有平移BHPH坐标系的原点，在B坐标系中的坐标是[a,仅仅只有平移BHP8/7/202311仅仅只有平移BHP7/31/202311先平移+后旋转BHH’8/7/202312先平移+后旋转BHH’7/31/202312先旋转+后(相对于B平移[a,b])BHB’8/7/202313先旋转+后(相对于B平移[a,b])BHB’7/31/202有加法和乘法--》整合8/7/202314有加法和乘法--》整合7/31/2023143.2正交坐标系3.2.1正交坐标系及矢量的基础知识

右图是所谓的正交坐标系B(x,y,z)，用来表示机器人的基坐标，其中,,分别是三个坐标轴的单位向量。

B系中有另外一个坐标系H（xH，yH，zH），用来表示手坐标,其中,,分别是H系三个坐标轴的单位向量。

zyxBHHzHxHyanoijkP端点P相对于机器人手坐标系H及基座坐标系B的定位8/7/2023153.2正交坐标系3.2.1正交坐标系及矢量的基础知识3.2.1.1正交坐标系的性质

单位矢量,,在基坐标系中可表示为

根据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢量，，有

对于单位矢量,,也有同样的性质。

8/7/2023163.2.1.1正交坐标系的性质单位矢量,,

令矩阵R称为正交坐标变换矩阵。

当用列向量表示单位矢量时，有于是，变换矩阵R可以表示为：当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有8/7/202317当用列向量表示单位矢量时，有于是，变换矩阵R可以表示为：当用3.2.1.2正交坐标变换矩阵R的性质

显然由上式可得

从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。于是可得1-=RRT8/7/2023183.2.1.2正交坐标变换矩阵R的性质显然3.2.1.3正交坐标变换矩阵的几何意义

,上式可写成其中

考虑到

上式表明正交坐标变换矩阵R实现了由手坐标系H到基坐标系B的正交坐标变换，它可以将一组3个相互正交的单位矢量变换为另一组3个相互正交的单位矢量，每一组单位矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵R称为正交坐标变换矩阵的原因。在机器人学中经常要用到这种正交坐标变换。8/7/2023193.2.1.3正交坐标变换矩阵的几何意义,上式可写成3.2.2位置的描述

一旦建立起一个坐标系，我们就可以用3维的位置矢量来确定该空间内任一点的位置。其中，x、y、z是p点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。3.2.3

姿态的描述

物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在空间中除了有参考坐标系B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正交坐标系H，且H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那么就可以H系的三个坐标轴的单位矢量相对于B系的方向来表示H系和B系的姿态。

8/7/2023203.2.2位置的描述一旦建立起一个坐标系，我们就8/7/2023217/31/202321

假设为H坐标系中某轴的单位向量，即它在B坐标系的方向可以与B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图。

因此正交坐标变换矩阵R为一方向余弦矩阵，也被称之为旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。

故有根据前面的推导可得jlgxyzkBllalbi

矢量的方向矢径表示8/7/202322假设为H坐标系中某轴的单位向量，即它在B坐标系的3.3运动坐标表示

3.3.1平动的坐标表示

设手坐标系H与基坐标系B具有相同的姿态，但H系坐标原点与B系的原点不重合。用矢量来描述H系相对于B系的位置（如右图所示），称为H系相对于B系的平移矢量。如果点p在H系中的位置为，那么它相对于B系的位置矢量可由矢量相加得出，即称其为坐标平移方程。r0rHxPHzyxHyHzBpr

表示移动的坐标变换8/7/2023233.3运动坐标表示3.3.1平动的坐标表示设手坐

下面以绕z轴转动角为例来研究绕坐标轴转动某个角度的表示法。设H系从与B系相重合的位置绕B系的z轴转动角，H系与B系的关系如右图所示。3.3.2转动的坐标表示

(1)绕坐标轴转动某个角度的表示法

naHxxyzHzHyHB,ozqzq

H系相对B系绕z轴转动θz角的坐标关系8/7/202324下面以绕z轴转动角为例来研究绕坐标轴转动某个角度的表

若将H系的3个单位矢量表示在B系中，则有，，实现两个坐标系之间的转动关系的矩阵，又叫转动矩阵R，可表示为

上面的分析说明了R矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动，这表征了R矩阵的另一种几何意义。8/7/202325若将H系的3个单位矢量表示在B系中，则有，，实现两个

设B系与H系的z轴相重合，B系绕z轴转动角就得H系，如下图所示。

(2)两个坐标系的投影之间的关系xyHy),(HBzqzqzqHxyxACuP¢v

矢径BP'在H系与B系的投影关系O8/7/202326设B系与H系的z轴相重合，B系绕z轴转动角就得H已知矢径在H系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知

由上式可见，R矩阵可以将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上的投影，这表征了R矩阵的又一种几何意义。于是有（Ｒ）8/7/202327已知矢径在H系三轴投影分别为u,v,w。则由上(3)具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系

设矢量在坐标系Bxy的投影为u，v，w；将矢量绕z轴转动角，得到矢量，设矢量在同一坐标系的投影为x,y,z，如下图所示。

xyHy¢),(HBzqzqHx¢yuP¢vxQ关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的投影O8/7/202328(3)具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系设矢量

如果注意到在x,y轴的投影相当于在轴的投影，再对比１５页和１７页的两个图所示的相同几何关系，便可得式（Ｒ）相同结果，只是此时的u，v，w与x，y，z同前面讨论的情况的几何含义不同。这时矩阵R用来表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之间的关系，这表征了R矩阵的最后一种几何意义。

至此，归纳了R矩阵的四种几何意义，这对于认识R矩阵的本质，研究机器人的坐标系统很有帮助。8/7/202329如果注意到在x,y轴的投影相当于3.3.3复合运动的坐标表示

设H相对于B的位置矢量为，由H到B的坐标变换矩阵是。在H中有一点P，点P相对于H的位置矢量为，如右图所示。

基坐标系B和手坐标系H的原点不重合，而且两坐标系的姿态也不相同的情况。zyxBHr0rHzHxHyanoPP¢AuvwHr

表示转动和移动的坐标变换8/7/2023303.3.3复合运动的坐标表示设H相对于B的位置矢

对于任意一点P在B和H系中的描述有以下的关系其中，是p点相对于B系的位置矢量。

至此，我们由浅入深地介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表示方法，这是我们学习机器人复杂运动的最基本的数学工具。在后续章节中会频繁地用到。再由式（3-9），可得复合变换

可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过渡坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B系保持一致。根据式（Ｒ）可得由H系到过渡坐标系C的坐标变换为其中，是点P在C中的位置矢量。8/7/202331对于任意一点P在B和H系中的描述有以下的关系其中，是p3.4齐次坐标变换

3.4.1齐次坐标的定义和性质

3.4.1.1齐次坐标的概念

用四个数所组成的列向量来表示三维空间中的一点，这两个坐标向量之间的关系是，，则称为三维空间点的齐次坐标。通常情况下取w=1,则的齐次坐标表示为。

8/7/2023323.4齐次坐标变换3.4.1齐次坐标的定义和性质3.3.4.1.2齐次坐标的性质

（1）齐次坐标的不唯一性

所谓不唯一性是指某点的齐次坐标有无穷多点，不是单值确定的。例如是某点的齐次坐标，则也是该点的齐次坐标。

（2）齐次坐标的原点和坐标轴

根据齐次坐标的定义，齐次坐标表示坐标原点，而，，分别表示OX轴、OY轴和OZ轴的无穷远点，即表示直角坐标的OX轴、OY轴和OZ轴。8/7/2023333.4.1.2齐次坐标的性质（1）齐次坐标的不唯一性（2=常量标量设则有其中，（Ａ）8/7/202334=常量标量设则有其中，（Ａ）7/31/2023343.4.2齐次变换和齐次矩阵

在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔标系统表示出了物体复合运动，最后我们得出了的结论，它表示了由到的变换。现在我们利用齐次坐标来表示出上式：

8/7/2023353.4.2齐次变换和齐次矩阵在引入齐次坐标之后，A矩阵称为齐次矩阵（Homogeneousmatrix）,在机器人学中是个重要的术语，它将转动和移动组合在一个4×4矩阵中。其中为3×3的转动矩阵，为1×3的零阵，为表示移动的3×1的列阵。接下来我们将利用齐次矩阵来表示物体的运动。

式中旋转矩阵３×３平移矢量３×１透视变量１×３比例因子１×１齐次矩阵＝齐次矩阵用途很广，更一般形式为：8/7/202336A矩阵称为齐次矩阵（Homogeneousmatr3.4.2.1利用齐次矩阵表示平移变换

设向量，要和向量相加得V，即

（Ｂ）欲求一变换矩阵H，使得U经过H变换之后变成向量V，即

（Ｃ）考虑到式（Ｃ）和式（Ｂ）等效，根据式（Ａ）可知

平移变换就是用于两个向量的相加。8/7/2023373.4.2.1利用齐次矩阵表示平移变换设向量

此变换矩阵有一性质就是它的每一个元素乘上一个非零的元素后不会改变这个变换。

由此可知得8/7/202338此变换矩阵有一性质就是它的每一个元素乘上一个非零的元3.4.2.2利用齐次矩阵表示旋转变换

根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕X，Y，Z轴旋转一个角的相应旋转变换是

8/7/2023393.4.2.2利用齐次矩阵表示旋转变换根据直角坐例如，已知一个向量U绕Z轴旋转90ο变成V，则用旋转矩阵表示为如，一个向量U先后绕X、Y轴分别旋转90ο、60ο得到V，用旋转矩阵表示为8/7/202340例如，已知一个向量U绕Z轴旋转90ο变成V，则用旋转矩阵表示3.4.2.3利用齐次矩阵表示旋转加平移变换

把上述两种变换结合起来用齐次矩阵表示，这时的齐次变换矩阵就是8/7/2023413.4.2.3利用齐次矩阵表示旋转加平移变换把上可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵和表示平移的列阵确实是分离的。注意，一般情况下8/7/202342注意，一般情况下7/31/2023423.4.2.4利用齐次矩阵表示手的转动和移动

手的转动可以表示为绕X轴的侧摆，绕Y轴的俯仰和绕Z轴横滚，依次构成的复合转动，采用简化符号，则有8/7/2023433.4.2.4利用齐次矩阵表示手的转动和移动

上式表示了手的转动运动。如果手除了转动运动以外还可做移动运动，只需将上式中齐次矩阵的第4列用表示移动的矩阵块来代替，便可得到包括3个姿态转动和3个平移的6自由度运动的齐次矩阵。8/7/202344上式表示了手的转动运动。如果手除了转动运动以外还可做3.4.3齐次变换的性质

3.4.3.1变换过程的相对性－相对变换

前面所介绍的所有旋转和平移变换都是相对于参考坐标系B系而言的。例如

上述的变换过程是：手坐标系H首先绕着基坐标系B旋转，然后平移。这种变换的顺序是从右向左进行的。这样的过程也可以以相反的顺序进行，即从左向右进行。此时可以理解为首先手坐标系H在基坐标系B中平移 然后绕当前的手坐标系H的轴旋转。

8/7/2023453.4.3齐次变换的性质3.4.3.1变换过程的相对性一般的变换过程可以分两种情况：

(1)如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，左乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于静止坐标系进行的。(2)如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，右乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于运动坐标系进行的。

真是那么精彩吗?8/7/202346一般的变换过程可以分两种情况：真是那么精彩吗?7/31/203.4.3.2变换过程的可逆性－逆变换

在机器人学中很多时候要用到齐次变换矩阵的逆阵，下面我们将导出齐次变换矩阵的逆阵的求法。由公式易得由此可见将上两式表示成矩阵的形式，即8/7/2023473.4.3.2变换过程的可逆性－逆变换在3.4.3.3变换过程的封闭性--变换方程的建立

在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。

（1）机器人变换Z：参考坐标系U→基坐标系B变换A：基坐标系B→手坐标系H变换E：手坐标系H→加工工具T（2）变位机变换P：参考坐标系U→变位机V

变换Q：变位机V→被加工件WBUHAEPQWT

操作机坐标系及变换过程分析ZV8/7/2023483.4.3.3变换过程的封闭性--变换方程的建立这种联系亦可由一有向变换图表述，见右图。

右图中每一段弧表示一个变换，由参考坐标系向外指向，封闭于物体的某一个点。由于变换Z-A-E与P-Q具有相同的起点与终点，故有

如果我们希望解上述方程，求出变换A，就必须对方程左乘，然后右乘，得到

实际上，可以从封闭的有向变换图的任一变换开始列变换方程。从某一变换弧开始，顺箭头方向为正方向，逆箭头方向为逆变换，一直连续列写到相邻于该变换弧为止（但不再包括该起点变换），如果包括该起点变换，则得到一个单位变换。变换过程的封闭性ZQPEA8/7/202349这种联系亦可由一有向变换图表述，见右图。右3.5机器人坐标系统

3.5.1机器人坐标系统的构成

现在让我们设想完成将一条螺栓拧入螺母这样一项简单的工作。如果是人来完成这件事情，每个人看来都是非常容易的。但是如果让机器人来完成这项工作，机器人必须规划出每个关节的运动过程，最终合成末端执行器的动作。在完成这样的工作时，我们必须为每个关节变量规划出运动轨迹，而这样的轨迹是相对于每个关节所对应的坐标系而言的。由此可见，我们必须为每一个关节定义出一个坐标系。除此之外，为了能与工件相配合完成既定的工作，也需要为工件和周围环境定义出坐标系统。所有上述的坐标系就构成了一个机器人的坐标系统。由上面的分析可以得出这样的坐标系统包括三大部分：（1）机器人自身的坐标系（2）作业工件和变位机的坐标系（3）作为共同参考的世界坐标系其中，世界坐标系是联系前两种坐标系的纽带。下面我们举一个例子来说明如何建立机器人的坐标系统。8