第6章-最优控制课件

《最优控制》

线性二次型最优控制

西华大学电气信息学院《最优控制》

线性二次型最优控制

西华大学电气信息学院什么是最优控制？寻找容许控制作用（规律），使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）取最大（最小）值。

什么是最优控制？寻找容许控制作用（规律），使动态系统（受控对

现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面：线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。系统辨识：根据输入、输出观测确定系统的数学模型。最优控制：寻找最优控制向量u(t)最佳滤波（卡尔曼滤波）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出估计状态变量。适应控制：参数扰动情况下，控制器的设计1.最优控制理论的发展现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主先期工作：1948年，维纳(N.Wiener)发表《控制论》，引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了相对于某一性能指标进行最优设计的概念。

1954年，钱学森编著《工程控制论》，作者系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。

其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发展。

最优控制的发展简史：先期工作：最优控制的发展简史：1953~1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。

为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。

1956~1958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。

它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩—图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。理论形成阶段：1953~1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立经典控制理论设计控制方法

幅值裕量、相位裕量（频率指标）

上升时间、调节时间、超调量（时域指标）特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试凑方法，不是最优结果。经典控制理论设计控制方法幅值裕量、相位裕量

最优化(optimization)技术是研究和解决最优化问题的一门学科,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如下两个问题：（1）如何将最优化问题表示为数学模型（2）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解

最优控制(optimalcontrol)是控制理论中的优化技术。寻找在某种性能指标要求下最好的控制。最优化(optimization)技术是研究和解决最现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所需工时如下表所示，且每台机器每周最多只能工作40小时。若产品A的单价为200元，产品B的单价为500元，应如何安排生产计划，即A、B各应生产多少可使总产值最高。解：设该车间每周应生产产品A、B的件数分别为X1、X2,由于每台机器工作时间有限制，则有约束条件：在这些约束条件下选择X1、X2,使总产值达到最大。第一道工序第一道工序产品A1.5h2h产品B5h4h

例0-1生产计划安排问题现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器

设有一盛放液体的连续搅拌槽。如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器J，使液体经常处于完全混合状态。槽中原放0℃的液体，现需将其温度经1小时后升高到40℃。为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(t)，出口处流出等量的液体，以便保持槽内液面恒定。试寻找u(t)的变化规律，使槽中液体温度经1小时后上升到40℃，并要求散失的热量最小。解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x(t)表示其温度。由热力学可知，槽中液体温度的变化率与温差[u(t)一x(t)]成正比，为简便计，令比例系数为1，于是有

在1小时内散失掉的热量可用下式表示：其中g和r都是正的常数。因此在目前情况下，最

优控制问题是：找u(t)的变化规律．使槽中液体

经I小时后从0℃上升到40℃，并要求散失的热

量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。

例0-2搅拌槽的温度控制设有一盛放液体的连续搅拌槽。如下图所示。槽内装有不停

静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则称为静态最优化(参数最优化)问题。

解决方法：线性规划和非线性规划法。

动态最优化问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化，

即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题。

解决方法：动态规划和最大值原理。

其它分类：无约束与有约束

确定性和随机性

线性和非线性

2.最优化问题的分类静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则称3.最优化问题的解法1)间接法(又称解析法)对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学解析表达式的最优化问题，通常可采用间接法(解析法)来解决。其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法(求导数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。间接法(解析法)

无约束法有约束法经典微分法极大值法经典变分法库恩-图克法3.最优化问题的解法1)间接法(又称解析法)间接法无约2)直接法(数值解法)对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题，通常可采用直接法(数值解法)来解决。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过—系列的迭代以产生点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验或试验而得到的。直接法(数值解法)

区间消去法(一维搜索)

爬山法(多维搜索)

菲波纳奇（Fibonacci）法黄金分割(0.618)法函数逼近法（插值法）变量加速法步长加速法方向加速法单纯形及随机搜索法2)直接法(数值解法)直接法区间消去法爬山法菲波3)以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方法。4)网络最优化方法。以网络图作为数学模型，用图论方法进行投索的寻优方法。3)以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方4.最优控制问题最优控制问题的实质，就是求解给定条件下给定系统的控制规律，致使系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值。控制装置受控对象要求状态初始状态控制作用性能最好限制条件4.最优控制问题最优控制问题的实质，就是求解给定条1.最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型)(2)末值型性能指标（梅耶型）(3)综合性能指标（鲍尔扎型）1.最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(2)末2.最优控制问题的数学模型用以下4个方程来描述(1)给定系统的状态方程(3)给定性能指标(2)状态方程的边界条件(4)允许控制域u(t)

确定一个最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)，转移到终端状态x(tf)，并使性能指标J(u)具有极大（极小）值。2.最优控制问题的数学模型用以下4个方程来描述(1)给第5章线性二次型的最优控制本章主要内容：

6.1线性二次型问题

6.2状态调节器

6.3输出调节器

6.4跟踪器线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）第5章线性二次型的最优控制本章主要内容：线性二次型问题的6.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为正定二次型

半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。加权矩阵总可化为对称形式。求最优控制，使下列二次型性能指标最小。6.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：假设控制向性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：

Q(t)可开始取值小，而后取值大性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。

线性二次型问题的三种重要情形：

线性二次型问题的本质：线性二次型问题的三种重要情形：6.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。6.2.1有限时间状态调节器问题物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。

6.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿最优轨线有：（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：写成矩阵形式：其解为：下面思路：确定与的关系，带入（5-6）形成状态反馈解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：（5-13）-（5-12）*F可得横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联可实现最优线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大R-1(t)BT(t)B(t)A(t)1/sP(t)x(t)x(t0)u(t)可实现最优线性反馈控制下面思路：R-1(t)BT(t)B(t（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）与（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)边界条件：

（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.在MATLAB中，命令可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。在约束方程条件下达到极小的反馈控制律在MATLAB中，命令可解连续时间的线性二次型调节器问题，并另一个命令

也可计算相关的矩阵黎卡提方程的唯一正定解P。如果为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或的特征值。

对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，命令不能求解，详见MATLABPrgram6.1。另一个命令也可计算相关的矩阵黎卡提方程的唯一正定解P。如例[5-1]已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)为黎卡提方程的解最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）例[5-1]已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的利用matlab进行最优控制系统仿真利用matlab进行第6章-最优控制ppt课件第6章-最优控制ppt课件设线性定常系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。6.2.1无限时间状态调节器问题说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应设线性定常系统的状态方程为假设控制最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值可以证明：

P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值可以例[5-1]研究如图所示的系统。假设控制信号为试确定最优反馈增益矩阵K，使得下列性能指标达到极小式中

由图可看出，被控对象的状态方程为式中例[5-1]研究如图所示的系统。假设控制信号为试确定最优反馈以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解(6.26），将其重写为注意到A为实矩阵，Q为实对称矩阵，P为实对称矩阵。因此，上式可写为该方程可简化为以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计由上式可得到下面3个方程将这3个方程联立，解出且要求P为正定的，可得参照式(6.25）,最优反馈增益矩阵K为由上式可得到下面3个方程将这3个方程联立，解出且要求P为正定因此，最优控制信号为注意，由上式给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能得出最优结果。图6.8是该系统的方块图。因此，最优控制信号为注意，由上式给出的控制律对任意初始状态在在MATLAB中，命令可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。在约束方程条件下达到极小的反馈控制律在MATLAB中，命令可解连续时间的线性二次型调节器问题，并另一个命令

也可计算相关的矩阵黎卡提方程的唯一正定解P。如果为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或的特征值。

对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，命令不能求解，详见MATLABPrgram6.1。另一个命令也可计算相关的矩阵黎卡提方程的唯一正定解P。如MATLABProgram6.1%——Designofquadraticoptimalregulatorsystem——%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic%optimalcontrol*****%*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[-11;02]B=[1;0];%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformanceQ=[10;01];R=[1];%*****Toobtainoptimalfeedbackgainmatrix,K,enterthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaN%*****lfweenterthecommand[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R).then*****[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)Warning;Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaNP=-lnf-lnf-lnf-lnfE=-2.0000-1.4142MATLABProgram6.1%——Designof[例6.13]考虑系统的状态空间表达式为式中在确定最优控制律时，假设输入为零，即r=0。

确定状态反馈增益矩阵K（t），使得性能指标达到极小。这里假设控制信号u为[例6.13]考虑系统的状态空间表达式为式中在确定最优控制为了得到快速响应，与和R相比必须充分大。为了利用MATLAB求解，可使用命令在该例中，选取MATLABProgram6.4A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]Q=[10000;010;001];R=[1];为了得到快速响应，与和R相比必须充分大。为了利用MATLAB%--------Designofquadraticoptimalcontrolsystem——%*****ToobtaintheoptimalstatefeedbackgainmatrixK,%enterthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)k=100.000053.120011.6711k1=K(1),k2=K(2),k3=K(3)k1=100.0000k2=53.1200k3=11.6711%--------Designofquadratico采用确定的矩阵K来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。所设计的系统的状态方程为

输出方程为为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令式中采用确定的矩阵K来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。所

MATLABProgram6.5可求出该系统对单位阶跃的响应。图6.10画出了输出y对时间t的响应曲线，图6.11在同一张图上画出了,和对t的响应曲线。

MATLABProgram6.5A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]K=[100.000053.120011.6711];K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);C=[100];D=[0];AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;MATLABProgram6.5可求出该系统对单位阶跃t=0:0.01:8;[y,x,t]=step[AA,BB,CC,DD);%*****Toplottheunit-stepresponsecurvey(=xl)versust,%enterthefollowingcommand*****plot(t,y)gridtitle(‘Unit-StepResponseofQuadraticOptimalControlSystem’)ylabel(‘Outputy=xl’)%*****Toplotcurvesx1,x2,x3versustononediagram,enter%thefollowingcommand*****plot(t,x)gridtitle(‘ResponseCurvesx1,x2,x3,versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x1,x2,x3’)text(2.6,1.35,’x1’)text(1.2,1.5,’x2’)text(0.6,3.5,’x3’)t=0:0.01:8;二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线对t的响应曲线二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线对t的响应曲线例[5-2]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性例[5-2]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的展开整理得到三个代数方程

P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之利用矩阵P正定的性质展开整理得到三个代数方程P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系与给定条件矛盾，故假设不成立下面用反证法证明不是所求的根最优控制为：利用矩阵P正定的性质与给定条件矛盾，故假设最优状态调节器闭环系统结构图闭环系统传递函数闭环极点为

a>2,实根，过阻尼a<2,复根，衰减震荡1/s1/sa+1Gx1(t

)u*(t)x1(t)最优状态调节器闭环系统结构图闭环系统传递函数闭环利用matlab计算和仿真A=[01;00]B=[0;1]a=2b=1Q=[1b;ba]R=1K=lqr(A,B,Q,R,0)利用matlab计算和仿真A=[01;第6章-最优控制ppt课件6.3输出调节器6.2.1有限时间输出调节器问题设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。

物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。

根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题

6.3输出调节器6.2.1有限时间输出调节器问题设将（5-29）代入（5-30）

若是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：可以证明，如果系统完全可观测，则是半正定的。将（5-29）代入（5-30）若有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。（2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。R-1(t)BT(t)B(t)A(t)1/sP(t)x(t)x(0)u(t)C(t)y(t)有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：R-1(t)B(t)6.2.2无限时间输出调节器问题设线性定常系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。

与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：

6.2.2无限时间输出调节器问题设线性定常系统的状态例[5-3]（学生自己看）已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能观性例[5-3]（学生自己看）已知二阶系统的状态方程为求使性能指展开整理得到三个代数方程

P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控且完全能观，故最优控制为：解之利用矩阵P正定的性质展开整理得到三个代数方程P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变1/s2r-1/2+2y(t

)u(t)r-1/4s闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的利用matlab计算和仿真A=[01;00]B=[0;1]C=[10]D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)利用matlab计算和仿真A=[01;第6章-最优控制ppt课件6.4跟踪器（学生自己看）设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）

假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为求最优控制，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。

6.4.1线性时变系统的跟踪问题6.4跟踪器（学生自己看）设线性时变系统的状态方程为（系解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵形式：因控制不受约束，故沿最优轨线有：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵横截条件给出了终端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：其解为：横截条件给出了终端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-4（5-43）对时间求导2.应用系统特性求解p(t)，g(t)（5-45）与（5-46）相等，可得（