第三节　等比数列

第三节等比数列第六章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.强基础固本增分1.等比数列的概念一般地,如果数列{an}从第

2

项起,每一项与它的前一项之比都等于

同一个常数

q,即,q≠0恒成立,则称数列{an}为等比数列,其中

q

称为等比数列的公比.

2.等比数列的通项公式及其推广若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=

a1qn-1

,该式可推广为an=amqn-m,其中n,m∈N*.

3.等比数列的单调性等比数列{an}的首项为a1,公比为q.(1)当q>1,

a1>0

或0<q<1,

a1<0

时,数列为递增数列;

(2)当q>1,

a1<0

或0<q<1,

a1>0

时,数列为递减数列;

(3)当q=1时,数列为

常数列

;

(4)当q<0时,数列为

摆动数列

.

4.等比中项定义如果x,G,y是等比数列,那么称

G

为x与y的等比中项

关系式

结论在一个等比数列中,中间每一项都是它的前一项与后一项的

等比中项

微点拨1.等比数列的任意一项都不能为零,公比不能为零.这是数列是否为等比数列的一个重要前提2.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中项,即an+1an-1=(n∈N*,n≥2).3.并非任何两个实数都有等比中项,只有同号的两个实数才有等比中项,且等比中项一定有两个,它们互为相反数.微点拨

在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.5.等比数列的前n项和公式首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和6.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).(2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2t,则aman=(m,n,t∈N*).(3)若数列{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为qm的等比数列.(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.

不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(5)当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项和与奇数项和之比等于公比q,

4.若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数列.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.常数列既是等差数列又是等比数列.(

)2.在等比数列{an}中,a2与a6的等比中项为±a4.(

)3.在等比数列{an}中,若aman=apaq,则m+n=p+q.(

)4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.(

)×√××题组二

双基自测6.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少?研考点精准突破考点一等比数列基本量的运算题组(1)(2023·湖北武汉高三月考)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2,则a2=(

)A.4 B.3 C.2 D.1(2)(多选)(2023·湖南郴州高三月考)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是(

)A.q=2B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列答案

(1)A

(2)ABC规律方法

解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q≠1两种情况进行讨论.考点二等比数列的判断与证明例题(2023·安徽安庆高三月考)已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中n∈N*,λ为实数.(1)对于任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.规律方法

对点训练(2023·江西赣州高三月考)已知数列{an}满足an+1+an=2n,且a1=1,bn=an-×2n.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.考点三等比数列的性质及综合应用(多考向探究预测)考向1等比数列的性质题组(1)(2023·江西南昌高三期中)已知数列{an}是公比不等于±1的等比数列,若数列{an},{(-1)nan},{}的前2023项的和分别为m,8-m,20,则实数m的值(

)A.只有1个 B.有2个C.无法确定 D.不存在(2)(2021·全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(

)A.7 B.8 C.9 D.10答案

(1)B

(2)A(2)(方法1)设等比数列的公比为q,由题意知q≠-1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.引申探究1(变条件变结论)在本题组(2)中,若将条件改为“记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S2=4,S6=7”,则S4的值等于

.

答案

6解析

设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1,则由等比数列的性质知,S2,S4-S2,S6-S4构成公比为q2的等比数列,因此(S4-4)2=4(7-S4),解得S4=6或S4=-2.当S4=-2时,数列S2,S4-S2,S6-S4即为4,-6,9,其公比为q2=-,不合题意,舍去;经检验S4=6符合题意,故S4=6.引申探究2(变条件)在本题组(2)中,若条件改为“记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S3=4,S9=7”,则S6的值等于

.

答案

6或-2解析

设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1,则由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6构成公比为q3的等比数列,因此(S6-4)2=4(7-S6),解得S6=6或S6=-2.当S6=6或S6=-2时,数列S3,S6-S3,S9-S6即为4,2,1或4,-6,9,其公比为q3=或q3=-,均符合题意,故S6的值等于6或-2.规律方法

等比数列性质应用易错警示(1)在等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同,在运用等比数列性质求某一项的值时,注意根据这一性质进行判断取舍;(2)公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也构成等比数列,且公比为qn,若n为偶数,则等比数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…的公比qn>0,注意根据这一隐含条件对所得结果进行分析判断并取舍.考向2等比数列与等差数列的综合问题例题(2023·湖南长沙高三月考)已知集合A={x|x=2k1,k1∈N*},B={x|x=,k2∈N*},将A∪B中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an},设数列{an}的前n项和为Sn,若am=27,则m的值等于

,S50的值为

.

答案

16

2282解析

因为am=27,所以{an}的前m项中含有A中的元素为2,4,6,…,26,共有13项,含有B中的元素为3,9,27,共有3项,所以m=16.因为2×50=100,34=81<100,35=243>100,所以{an}的前50项中含有B中的元素为3,9,27,81共有4项,含有A中的元素为2×1,2