课时规范练34　基本不等式

课时规范练34基本不等式基础巩固组1.(2021福建厦门双十中学高三开学考试)函数y=ex+e-x(x∈R)的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:因为ex>0,e-x>0,所以y=ex+e-x≥2ex·e-x=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,取等号,所以函数y=ex+e-x(x∈2.(2021山东龙口模拟)已知函数y=x+4x-1(x>A.42 B.42+1 C.5 D.9答案:C解析:因为x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5,当且仅当3.(2021江苏扬州高邮中学高三月考)设x>0,则y=3-3x-1x的最大值为(A.3 B.3-32 C.3-23 D.-1答案:C解析:∵x>0,∴y=3-3x-1x≤3-23x·1x=3-23,当且仅当3x=1x,即x=33时,等号成立4.(2021四川宜宾诊断测试)已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是()A.3 B.22 C.2 D.答案:B解析:由基本不等式可得x+y≥2xy=22,当且仅当x=y=2时,等号成立.因此x+y的最小值是225.(2021福建福清西山学校高三月考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-A.10 B.12 C.14 D.16答案:B解析:由题意,a+b=10,c=6,p=a+b+c2=8,三角形满足a+c>b,即a+6>10-a,即a>2,则b=10-a<8,8-b>所以S=8(8-a)(8-b)(86.(2021河南信阳高中检测)已知函数f(x)=mex-2+n的图像过点(2,1),若对于任意的正数m,n,不等式1m+4n≥AA.9 B.3+22 C.7 D.42答案:A解析:由函数的图像过定点(2,1),可得m+n=1,又因为m>0,n>0,所以1m+4n=(m+n)×1m+4n=5+nm+4mn≥5+24=9,当且仅当m=13,n=27.(2021山西吕梁模拟)函数y=x2-4x+4A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(-∞,0] D.[0,+∞)答案:D解析:y=x2-4x+4x-1=x2-因为x>1,所以x-1>0,所以y≥2(x-1)·1x-1-2=0,当且仅当x-1=所以函数y=x2-4x+4x-1(8.(2021广东惠州一模)已知a,b∈R,若a-3b=2,则2a+18b的最小值为答案:4解析:2a+18b=2a+2-3b≥2×2a×2当且仅当2a=2-3b,a-3b=29.(2021上海青浦二模)已知函数f(x)=3x+a3x+1的最小值为53,则答案:16解析:因为函数f(x)=3x+a3x+1有最小值,所以因为3x+1>1,所以f(x)=3x+a3x+1=3x+1+a3x+1-1≥2(3因为函数f(x)=3x+a3x+1所以2a-1=53解得a=169,当且仅当x=-1时取等号,满足题意10.(2021广西南宁三中高三月考)若x>0,y>0,xy=10,则2x+5y答案:2解析:由x>0,y>0,xy=10,则2x+5y当且仅当x=2时取等号,即2x+511.(2021浙江绍兴一中高三期末)若实数a,b满足2a2+2b2=1,则1a2+4答案:6解析:实数a,b满足2a2+2b2=1,即a2+b2=12,所以a2+(b2+1)=3则1a2+4b2+1=23×[a2+(b2+1)]1a2+4b2+1=23×1+4当且仅当b2+1a2=4a2b2+1,12.(2021广东广州模拟)若4x>y>0,则y4x-y答案:5解析:因为4x>y>0,所以4x-y>0,则y4x-y+x当且仅当4x-y=2y,即当3y=4x时,等号成立,所以y4x综合提升组13.(2021山东泰安一中模拟)若对任意x>0,xx2+3x+1≤A.15,+∞ B.15,+∞C.-∞,15 D.-∞,15答案:A解析:由题意,有xx当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,即xx2又对任意x>0,xx2+3x+1≤a即a的取值范围为15,+∞.14.(2021四川广元模拟)新冠病毒疫情期间,某灾区物资紧缺,一批口罩、食物等救灾物资随41辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长360km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2900km(车长忽略不计),要使这批物资尽快全部到达灾区,则v=(A.70km/h B.80km/h C.90km/h D.100km/h答案:C解析:由题意,第一辆汽车到达用360v最后一辆汽车到达的时间为360+40×v2要使这批物资尽快全部到达灾区,即就是最后一辆汽车到达的时间最短,即求360v+2v45最小时汽车的速度,360v+2v45≥2360v15.(2021山东滨州一模)已知a>0,b>0,向量m=(a+2b,-9),n=(8,ab),若m⊥n,则2a+b的最小值为()A.9 B.8 C.54 D答案:B解析:由题意m·n=8(a+2b)-9ab=0,又a>0,b>0,所以8(a所以2a+b=8(a+2b)(2a当且仅当ba=ab,即所以2a+b的最小值为8.16.(2021云南昆明模拟)若正实数a,b满足a+b=ab,则a+ba+64ab答案:15解析:由题设知1+ba=b,即ba∴a+ba+64ab=a+b-1+64a+b≥2(当且仅当a+b=ab=8时,等号成立.故a+ba+64创新应用组17.(2021江苏扬中高三开学考试)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为,xy的最大值为.

答案:26-38-43解析:∵正实数x,y满足xy+2x+y=4,∴y=4-2x∴x+y=x+4-2xx+1=x+6-(2+2x)x+1=(x+1)+6x+1当且仅当x=6-1时取等号.故x+y的最小值为26-3.由4-xy=2x+y≥22xy,化简得(xy)2-16xy+16≥0,当且仅当2x=y,即x=3-1,y=23-2时,等号成立,∴xy≥8+43(舍)或xy≤8-43故xy的最大值是8-4318.已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若对于任意的x∈N+,f(x)≥答案:-83,+∞解析:对任意x∈N