第四章 实数单元检测卷（含解析）

第第页第四章实数单元检测卷（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台

第4章《实数》单元检测卷

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2023春民权县期末）下列实数中是无理数的是（）

A．﹣1B．C．0D．3.1415

2．（2023春福田区校级期末）在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，﹣，0这些数中，无理数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

3．（2022秋合川区校级期末）数轴上点A，O，B，C分别表示实数﹣4，0，2，3，点M，N分别从A，O出发，沿数轴正方向移动，点P从B出发，在线段BC上往返运动（P在B，C处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点M，N，P的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点M，N重合时，运动停止．当点P为线段MN的中点时，运动时间t为（）

A．2B．C．D．或

4．（2023大庆三模）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）

A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0

5．（2022秋邗江区期中）如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2023的点与正方形上的数字对应的是（）

A．0B．2C．4D．6

6．（2023春大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）

A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333

7．（2023秋青神县期末）已知a1为实数，规定运算：，，，，…，an＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于（）

A．B．C．D．

8．（2022秋莱西市期末）如图，根据图中标注在点A所表示的数为（）

A．﹣B．﹣1+C．﹣1﹣D．1﹣

9．（2022秋朝阳区校级期中）在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（）

A．﹣1B．2﹣C．﹣2﹣D．﹣2﹣1

10．（2022春遵义期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2023高新区校级模拟）的算术平方根是．

12．（2023春长沙县期末）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，2）与（15，7）表示的两数之积是．

13．（2022秋宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为．

14．（2023春南昌县期中）若（2x﹣4）2+＝0，则x+2y＝．

15．（2023春西城区校级期中）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后，变为2的所有正整数中，最大的正整数是．

16．（2022秋裕华区校级期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数．

17．（2023沙坪坝区校级开学）设m＝，那么m+的整数部分是．

18．（2022秋驻马店期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为．

19．（2022春南谯区期末）已知a1为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于．

20．（2022春樊城区期末）如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为．

三．解答题（共8小题，满分60分）

21．（6分）（2023春江北区期末）计算：（π﹣2023）0+（﹣2）2+3﹣1．

22．（6分）（2023春东莞市期末）观察下列等式，解答下列问题：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

……

（1）请直接写出第5个等式：；（不用化简）

（2）根据上述规律，猜想第n个等式，并给予证明．

23．（8分）（2023春鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．

请解答：

（1）的整数部分是，小数部分是

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．

24．（8分）（2023春民权县期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某出资商，该出资商为减小固定资产出资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．

（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？

（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？

25．（8分）（2023春雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．

（1）实数m的值是；

（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；

（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．

26．（8分）（2022春霞山区校级期中）阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答：

（1）你能帮我求一下的整数部分和小数部分．

（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，请你帮我确定一下x﹣y的相反数的值．

27．（8分）（2022南京模拟）如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．

（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；

（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；

（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？

28．（8分）（2023春罗山县期末）阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答：已知10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．

解析卷

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2023春民权县期末）下列实数中是无理数的是（）

A．﹣1B．C．0D．3.1415

解：由题意得，﹣1，0，3.1415是有理数，是无理数，

故选：B．

2．（2023春福田区校级期末）在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，﹣，0这些数中，无理数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

解：无理数有，，共2个，

故选：A．

3．（2022秋合川区校级期末）数轴上点A，O，B，C分别表示实数﹣4，0，2，3，点M，N分别从A，O出发，沿数轴正方向移动，点P从B出发，在线段BC上往返运动（P在B，C处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点M，N，P的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点M，N重合时，运动停止．当点P为线段MN的中点时，运动时间t为（）

A．2B．C．D．或

解：移动后点M所表示的数为﹣4+2t，点N所表示的数为t，

所以MN的中点所表示的数为，

由于点P为线段MN的中点，而点P在线段BC上往返运动，而点B所表示的数为2，点C所表示的数为3，

即2＜＜3，

所以＜t＜，

而选项中只有t＝符合题意；

故选：B．

4．（2023大庆三模）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）

A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0

解：由题意得：a＜b，

∴﹣2a＞﹣2b，

∴1﹣2a＞1﹣2b，

∴A选项的结论成立；

∵a＜b，

∴﹣a＞﹣b，

∴B选项的结论不成立；

∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，

∴|a|＜|b|，

∴a+b＞0，

∴C选项的结论不成立；

∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，

∴|a|＜|b|，

∴|a|﹣|b|＜0，

∴D选项的结论不成立．

故选：A．

5．（2022秋邗江区期中）如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2023的点与正方形上的数字对应的是（）

A．0B．2C．4D．6

解：从点﹣1到点2023共2023个单位长度，

正方形的边长为8÷4＝2（个单位长度），

2023÷8＝252余4，

故数轴上表示2023的点与正方形上表示数字4的点对应，

故选：C．

6．（2023春大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）

A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333

解：∵≈1.333，

∴＝≈1.333×10＝13.33．

故选：C．

7．（2023秋青神县期末）已知a1为实数，规定运算：，，，，…，an＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于（）

A．B．C．D．

解：a1＝3，

a2＝1﹣＝1﹣＝，

a3＝1﹣＝1﹣＝，

a4＝1﹣＝1﹣＝3，

..．

∴2022÷3＝674，

∴a2022＝，

故选：C．

8．（2022秋莱西市期末）如图，根据图中标注在点A所表示的数为（）

A．﹣B．﹣1+C．﹣1﹣D．1﹣

解：如图，在Rt△PBQ中，由勾股定理得，

PQ＝＝＝，

而PA＝PQ＝，

∴点A到原点的距离为+1，

∴点A所表示的数为﹣（+1）＝﹣1﹣，

故选：C．

9．（2022秋朝阳区校级期中）在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（）

A．﹣1B．2﹣C．﹣2﹣D．﹣2﹣1

解：∵数轴上点A表示的数为﹣1，点B表示的数为，

∴BA＝﹣（﹣1）＝+1，

∵点B关于点A的对称点为点C，

∴BA＝AC，

设点C表示的数为x，则

+1＝﹣1﹣x，

∴x＝﹣2﹣；

∴点C的坐标为：﹣2﹣．

故选：C．

10．（2022春遵义期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

解：根据题意得，a2﹣2ab+b2＝0，b﹣c＝0，

解得a＝b，b＝c，

所以，a＝b＝c，

所以，△ABC的形状是等边三角形．

故选：B．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2023高新区校级模拟）的算术平方根是2．

解：＝4，4的算术平方根是2．

故答案为：2．

12．（2023春长沙县期末）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，2）与（15，7）表示的两数之积是6．

解：（5，2）表示的数是，

前14排共有：1+2+3+4+...+14＝105，

105÷4＝26…1，

∴第15排的第1个数是，

∴第15排的第7个数是，

∴×＝6，

故答案为：6．

13．（2022秋宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为35．

解：由题意得：

∵5≤＜6，

∴25≤n＜36，

∴n的最大整数为35．

故答案为：35．

14．（2023春南昌县期中）若（2x﹣4）2+＝0，则x+2y＝0．

解：∵（2x﹣4）2+＝0，

∴2x﹣4＝0，4y+4＝0，

解得x＝2，y＝﹣1，

∴原式＝0．

故答案为：0．

15．（2023春西城区校级期中）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后，变为2的所有正整数中，最大的正整数是6560．

解：∵最后的结果为2，

∴第3次参与运算的最大数为（2+1）2﹣1＝8，即[]＝2，

∴第2次的结果为8，

∴第2次参与运算的最大数为（8+1）2﹣1＝80，即[]＝8，

∴第1次的结果为80，

∴第1次参与运算的最大数为（80+1）2﹣1＝6560，即[]＝80，

也就是，

故答案为：6560．

16．（2022秋裕华区校级期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数1．

解：设拼成后的正方形的边长为x（x＞0）．

由题意得，x2＝2．

∴x＝≈1.414．

∴该正方形的边长最接近整数1．

故答案为：1．

17．（2023沙坪坝区校级开学）设m＝，那么m+的整数部分是2．

解：m+＝＝＝．

∵2＜＜2.5，

∴12＜6＜15，

∴2＜m+＝＜3，

故答案为：2．

18．（2022秋驻马店期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为9﹣．

解：∵9＜13＜16，

∴3＜＜4．

∴a＝3，b＝﹣3．

∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝6﹣+3＝9﹣．

19．（2022春南谯区期末）已知a1为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于﹣．

解：a1＝3，

a2＝1﹣＝，

a3＝1﹣＝﹣，

a4＝1﹣（﹣2）＝3，

∴an以三个数为一组，不断循环，

∵2022÷3＝674，

∴a2022＝a3＝﹣，

故答案为：﹣．

20．（2022春樊城区期末）如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为2﹣．

解：设点C表示的数是x，

∵数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点，

∴＝1，解得x＝2﹣．

故答案为2﹣．

三．解答题（共8小题，满分60分）

21．（6分）（2023春江北区期末）计算：（π﹣2023）0+（﹣2）2+3﹣1．

解：原式＝1+4+

＝5．

22．（6分）（2023春东莞市期末）观察下列等式，解答下列问题：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

……

（1）请直接写出第5个等式：＝6；（不用化简）

（2）根据上述规律，猜想第n个等式，并给予证明．

解：（1）由前几个等式的规律得到第5个等式是＝6，

故答案为：＝6．

（2）猜想第n个等式是＝（n+1），

证明：＝＝（n+1）．

23．（8分）（2023春鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．

请解答：

（1）的整数部分是3，小数部分是﹣3

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．

解：（1）∵＜＜，

∴3＜＜4，

∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；

故答案为：3，﹣3；

（2）∵＜＜，

∴的小数部分为：a＝﹣2，

∵＜＜，

∴的整数部分为b＝6，

∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．

24．（8分）（2023春民权县期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某出资商，该出资商为减小固定资产出资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．

（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？

（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？

解：设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据题意，

得：5x2x＝800，

解得：x＝4或x＝﹣4（舍），

∴长＝4×5＝20，宽＝4×2＝8，

答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20米、8米；

（2）设正方形边长为y，则y2＝900，

解得：y＝30或y＝﹣30（舍），

原正方形周长为120米，

新长方形的周长为（20+8）×2＝56，

∵120＜56，

∴栅栏不够用，

答：这些金属栅栏不够用．

25．（8分）（2023春雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．

（1）实数m的值是2﹣；

（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；

（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．

解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；

（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，

∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；

答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．

（3）∵|2c+d|与互为相反数，

∴|2c+d|+＝0，

∴|2c+d|＝0，且＝0，

解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，

①当c＝﹣2，d＝4时，

所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．

②当c＝2，d＝﹣4时，

∴2c﹣3d＝16，

∴2c﹣3d的平方根为±4，

答：2c﹣3d的平方根为±4．

26．（8分）（2022春霞山区校级期中）阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数