2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（上）期末数学试卷含解析

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在平时的生活中我们应遵守交通规则，注意交通安全．下列交通标志图案是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

2.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为()

A.B.C.D.

3.下列各式的计算正确的是()

A.B.

C.D.

4.在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是()

A.B.：：：：

C.：：：：D.

5.计算的结果是()

A.B.C.D.

6.若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是()

A.B.C.D.

7.实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为()

A.B.C.D.无法确定

8.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是()

A.B.C.D.

9.若二次三项式，则当，，时，，的符号为()

A.，B.，C.，D.，同号

10.已知直线为常数，且当变化时，下列结论正确的有()

当时，图象经过一、三、四象限；当时，随的增大而减小；直线必过定点；坐标原点到直线的最大距离是．

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.已知，，则______．

13.如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部______处．

14.已知，则的值为______．

15.若关于的分式方程无解，则的值是______．

16.如图，在中，，，在上，在上，，关于的对称点分别是，，若在上，，，则的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：

；

．

18.本小题分

分解因式：

；

．

19.本小题分

先化简：，然后从，，，四个数中选取一个合适的数作为的值代入求值．

20.本小题分

如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形．

21.本小题分

在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原由，到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在一条直线上，并新修一条路，测得，，求原来的路线的长．

22.本小题分

某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．

求甲乙两种类型笔记本的单价．

该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共件，且购买的乙的数量不超过甲的倍，则购买的最低费用是多少．

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，已知点，．

点是轴上的动点当最小时，求点的坐标：

过点求作一直线，使得上任取一点异于点，满足，其中，表示的周长，表示的周长要求：请在备用图中尺规作图，保留作图痕迹，不写作法

24.本小题分

在中，，点是边上一动点，连接将线段绕着逆时针旋转得到，连接．

当时，

如图，若，，求的长；

如图，过点作于，当点在线段上时，过点作交于点求证：；

如图，若，，请直接写出的最小值．

25.本小题分

已知，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与轴交于点．

若点在直线上，求出直线的解析式；

当时，函数值的最大值为，求的值；

若点关于轴的对称点为，过作于点，令直线与轴的夹角为，当时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】

【解析】解：．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】

【解析】

解：，故原选项计算错误，不符合题意；

B.，故原选项计算错误，不符合题意；

C.，故原选项计算错误，不符合题意；

D.，故原选项计算正确，符合题意．

故选：．

【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．

本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：、，

，

，

，

，

是直角三角形，

故A不符合题意；

B、：：：：，，

，

不是直角三角形，

故B符合题意；

C、：：：：，

设，，，

，，

，

是直角三角形，

故C不符合题意；

D、，

，

，

是直角三角形，

故D不符合题意；

故选：．

利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．

本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：原式，

故选：．

先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．

本题主要考查了积的乘方，合并同类项，关键是熟记法则．

6.【答案】

【解析】解：一次函数的函数值随着的增大而减小，

，

解得．

所以的值可以是，

故选：．

根据比例系数小于时，一次函数的函数值随的增大而减小列出不等式求解即可．

本题考查了一次函数的性质，在一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．

7.【答案】

【解析】解：由图可知：，

，，

原式

．

故选：．

先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．

本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查勾股定理，掌握三角形的边长与正方形边长之间的关系是解题关键．

根据勾股定理求出长，由正方形性质得，再次利用勾股定理即可求得阴影部分面积．

【解答】

解：如图，

根据勾股定理得出：，

，

阴影部分面积，

故选B．

9.【答案】

【解析】解：，，

当，，，

，，，

，同号．

故选：．

首先整式的乘法展开为，然后根据求解即可．

此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．

10.【答案】

【解析】解：当时，，

此时一次函数，经过一、三、四象限，故正确；

对于直线为常数，且来说，当时，即时，随的增大而增大；故错误；

当时，，

直线必过定点；故正确；

设原点到直线的距离为，

由知直线必过定点，

设点，

，

坐标原点到直线的最大距离是故正确．

正确的有：，

故选：．

根据一次函数的性质逐项分析即可．

此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：由题意知，

解得．

故答案为：．

根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．

本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．

12.【答案】

【解析】解：，，

，

故答案为：．

根据同底数幂的除法运算法则即可求解．

此题主要考查同底数幂的除法运算，解题的关键是熟知其运算法则．

13.【答案】

【解析】解：设树顶端落在离树底部米处，由题意得：

，

解得：，不合题意舍去．

故答案为：．

首先设树顶端落在离树底部米处，根据勾股定理可得，再解即可．

此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

14.【答案】

【解析】解：，

．

原式

．

故答案为：．

将已知条件适当变形，利用整体代入的方法解答即可．

本题主要考查了分式的加减法，求分式的值，利用等式的性质对已知条件适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：方程两边都乘以得，

，

由于原分式方程无解，而原分式方程有增根，

所以，

即，

故答案为：．

将分式方程去分母化成整式方程后，由于原分式方程无解，说明增根是整式方程的解，代入即可求出的值．

本题考查分式方程的解，理解增根的意义是解决问题的关键．

16.【答案】

【解析】解：连接，取的中点，连接，过点作于，

，，

，

由翻折的性质可知，，

，，，

，

，，

，，

，，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：．

连接，取的中点，连接，过点作于，根据三角形内角和定理得出，根据翻折的性质及含度角的直角三角形的性质得出，利用等边三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．

本题主要考查轴对称的性质，及含度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键，难度较大．

17.【答案】解：

；

．

【解析】根据实数的混合运算，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可；

先根据平方差公式和完全平方公式求解，然后计算加减即可．

此题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂的计算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．

18.【答案】解：

；

．

【解析】先提取公因式，然后运用完全平方公式分解因式即可；

先变形，然后提取公因式，再利用平方差公式因式分解．

题目主要考查提公因式及公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．

19.【答案】解：

，

当时，即时，分式无意义．

当时，

原式．

【解析】先化简，再从符合题意的数中取值计算即可．

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．

20.【答案】证明：是的角平分线，

，

，

，

，

，

是等腰三角形．

【解析】根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，等量代换得，根据等角对等边可得结论．

本题考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

21.【答案】解：，，

，

是直角三角形，且，

，

，

，

，

，

解得：，

答：原来的路线的长为．

【解析】先利用勾股定理的逆定理证明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度．

本题考查了勾股定理，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．

22.【答案】解：设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，

由题意得，，

解得，

经检验是原方程的解，且符合题意，

乙类型的笔记本单价为元，

答：甲类型的笔记本单价为元，乙类型的笔记本单价为元；

设甲类型笔记本购买了件，则乙类型的笔记本购买了件，购买总费用为元，

由题意得，，且

，

，

，

随的增大而减小，

时，最小，最小值为元，

答：最低费用为元．

【解析】设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，列出分式方程，从而解决问题；

设甲类型笔记本购买了件，总费用为元，则乙类型的笔记本购买了件，列出关于的函数解析式，再根据的范围可得答案．

本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．

23.【答案】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的值最小，

，，，

，，，

，

，

，

，

，

；

如图中，直线即为所求，

理由：在直线上取一点异于，连接，，，

在中，，

根据对称性可知，，，

，

，

即．

【解析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可；

延长到，使得，连接，过点作线段的垂线即可．

本题考查作图复杂作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识解决问题．

24.【答案】解：过点作于，

，，

，

在中，由勾股定理得，，

，，

，

解得：，

，

，

在中，由勾股定理得，，

即，

解得：，

，，

，

；

过点作于，

，，

，

，，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

，

，

，

，

，即，

，，

，

，

，，

，

，

，

，即；

如图，过点作于点，以点为顶点在上方作，

过点作于点，过点作于点，

点是上的动点，运动到某一时间有，

此时，，

，

，，

，，

，，

设的长为，则，

，

，

，

在中，由勾股定理得，，，

即，

解得：，

，，

在中，，

，，

，

是由旋转得到，

，

即为，最小时，即最小，

当、、三点共线时最小，即图中的，，

，

，，

为等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

即的最小值为．

【解析】过点作于，求得，，根据勾股定理求出，由得，在中，由勾股定理得求得，由可得，即可求得的长；

过点作于，证明≌，得到，由，得，是等腰直角三角形，，结合，易得，易证，根据等量代换可得，故，因为，即可证明；

过点作于点，以点为顶点在上方作，过点作于点，过点作于点，点是上的动点，运动到某一时间有，此时设的长为，