2023学年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版) 弧长和扇形面积（13大题型）（解析版）

弧长和扇形面积（答案版）弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)题型1：运用公式计算弧长1.已知一个扇形的圆心角是150°半径是3则该扇形的弧长为（）A． B． C． D．【分析】利用弧长公式直接计算即可．【解答】解：这个扇形的弧长＝＝π故选：A．【点评】本题考查弧长公式解题的关键是记住弧长公式l＝．【变式1-1】如图AB是圆O的直径CD是弦CD∥AB∠BCD＝30°AB＝6则弧BD的长为（）A．π B．4π C．2π D．45π【分析】求出圆心角∠BOD的度数再根据弧长的计算公式进行计算即可．【解答】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°由弧长公式得弧BD的长为＝π故选：A．【点评】本题考查圆周角定理弧长的计算掌握弧长的计算公式是正确解答的前提求出圆心角的度数是解决问题的关键．【变式1-2】如图AB是⊙O的直径AC是⊙O的弦若∠A＝20°AB＝6则弧长为（）A． B． C． D．【分析】连结CO根据AO＝CO得到∠A＝∠C＝20°根据三角形内角和定理求出圆心角的度数根据直径的长求出半径根据弧长公式l＝即可得出答案．【解答】解：如图连结CO∵AO＝CO∴∠A＝∠C＝20°∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°∵直径AB＝6∴半径r＝3∴长＝＝故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算掌握弧长公式l＝是解题的关键．题型2：列方程求圆心角或半径2.已知一段弧长为9.42cm该段弧所在的圆的半径为6cm求这段弧所对的圆心角度数．【分析】根据弧长公式即可求出弧所对的圆心角的度数．【解答】解：设圆心角的度数为n根据题意得＝9.42＝3π∴n＝3π×180°÷6π＝90°．故这段弧所对的圆心角度数为：90°．【点评】本题考查了弧长的计算牢记弧长公式是解题的关键．【变式2-1】如图劣弧AB的长为6π圆心角∠AOB＝90°求此弧所在圆的半径．【分析】根据弧长公式l＝代入求出r的值即可．【解答】解：由题意得6π＝∴r＝12．答：此弧所在圆的半径为12．【点评】本题考查了弧长的计算关键是掌握弧长的计算公式．【变式2-2】已知圆上一段弧长为4πcm它所对的圆心角为100°求该圆的半径．【分析】设该圆的半径为R根据弧长公式列出方程解方程可得．【解答】解：设该圆的半径为Rcm根据题意得：＝4π解得：R＝答：该圆的半径为cm．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（n为弧所对的圆心角的度数R为弧所在圆的半径）．题型3：弧长计算中的最值问题（提升）3.如图在扇形AOB中∠AOB＝120°OB＝2点D为弦AB上一动点（不与AB两点重合）连接OD并延长交于点C当CD为最大值时的长为（）A． B． C． D．π【分析】根据垂线段最短得出当OC⊥AB时OD最短此时CD最大求出∠BOC的度数再根据弧长公式求出即可．【解答】解：当OC⊥AB时OD最短（垂线段最短）此时CD最大∵∠AOB＝120°OD⊥ABOD过圆心O∴＝且弧的度数是60°∴∠BOC＝60°∴的长为＝故选：B．【点评】本题考查了垂径定理垂线段最短等知识点能求出∠BOC的度数是解此题的关键【变式3-1】如图在扇形BOC中∠BOC＝60°OD平分∠BOC交BC于点D点E为半径OB上一动点．若OB＝2则阴影部分周长的最小值为（）A． B． C． D．【分析】利用轴对称的性质得出当点E移动到点E′时阴影部分的周长最小此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和分别进行计算即可．【解答】解：如图作点D关于OB的对称点D′连接D′C交OB于点E′连接E′D、OD′此时E′C+E′D最小即：E′C+E′D＝CD′由题意得∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°∴∠COD′＝90°∴CD′＝＝＝2的长＝＝∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故选：C．【点评】本题考查与圆有关的计算掌握轴对称的性质弧长的计算方法是正确计算的前提理解轴对称解决路程最短问题是关键．【变式3-2】如图在扇形AOB中∠AOB＝90°点C在上且∠AOC＝60°点P是线段OB上一动点若OA＝2则图中阴影部分周长的最小值是．【分析】延长AO到D使OD＝AO得到点A与点D关于OB对称连接CD交OB于P′当点P与点P′重合时图中阴影部分周长的值最小根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠OCD＝30°过C作CE⊥AO于E根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：延长AO到D使OD＝AO∵∠AOB＝90°∴点A与点D关于OB对称连接CD交OB于P′当点P与点P′重合时图中阴影部分周长的值最小∵∠AOC＝60°∴∠BOC＝30°∴∠DOC＝120°∵OD＝OA＝OC∴∠D＝∠OCD＝30°过C作CE⊥AO于E∴∠CEO＝90°∴∠OCE＝30°∵OC＝OA＝2∴OE＝OC＝1∴DE＝OE+OD＝3CE＝＝＝∴CD＝＝＝2∴AP′+CP′＝2∵的长＝＝π∴图中阴影部分周长的最小值是2+π故答案为：2+π．【点评】本题考查了弧长的计算勾股定理含30°角的直角三角形的性质正确地作出辅助线是解题的关键．题型4：弧长计算与实际应用问题4.有一段圆弧形公路弯道半径为45米请你计算圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米）【分析】根据弧长公式计算即可得．【解答】解：圆心角等于60°的圆弧形公路长为＝15π≈47.1米答：圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米．【点评】本题主要考查弧长的计算熟练掌握弧长公式是解题的关键．【变式4-1】如图已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm两直管道的长度都为2000mm求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度精确到1mm）【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度即可．【解答】解：图中管道的展直长度＝2×+4000＝2000π+4000≈10280（mm）．【点评】主要考查了扇形的弧长公式这个公式要牢记．弧长公式为：l＝（弧长为l圆心角度数为n圆的半径为r）．扇形面积公式

半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：题型5：应用公式计算扇形面积5.一个扇形的弧长是10πcm其圆心角是150°此扇形的面积为（）A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2【分析】先根据题意可算出扇形的半径再根据扇形面积公式即可得出答案．【解答】解：根据题意可得设扇形的半径为rcm则l＝即10π＝解得：r＝12∴S＝＝＝60π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°半径长为3则这个扇形的面积为多少？（结果保留π）【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝πR2直接计算即可．【解答】解：S扇形＝πR2＝×π×32＝3π答：这个扇形的面积为3π．【点评】本题考查了扇形的面积公式熟记公式和准确计算是解题的关键．【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的⊙O上四边形ABCO是菱形求扇形OAC的面积．【分析】连接OB证明△AOB△BOC都是等边三角形得∠AOC＝120°利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图连接OB∵四边形ABCO是菱形∴OA＝OC＝AB＝BC＝OB∴△AOB△BOC都是等边三角形∴∠AOC＝120°∴S扇形OAC＝＝．【点评】本题考查扇形面积公式菱形的性质等边三角形的判定和性质等知识解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．题型6：列方程求圆心角或半径6.已知扇形的圆心角为30°面积为3πcm2则扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【分析】设扇形的半径为r再根据扇形的面积公式求出r的值即可．【解答】解：设扇形的半径为r∵扇形的圆心角为30°面积为3πcm2∴＝3π解得r＝6（cm）．故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．【变式6-1】已知一个扇形的半径为R圆心角为n°当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时则这个扇形的圆心角n的度数是（）A．180° B．120° C．90° D．60°【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：根据题意得＝（）2π解得：n＝90故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积公式熟记扇形的面积公式是解题的关键．【变式6-2】已知⊙O的半径为2cm扇形AOB的面积为πcm2圆心角∠AOB是多少度？【分析】根据扇形的面积公式S＝得n＝代入数据计算即可．【解答】解：设∠AOB＝n∵⊙O的半径为2cm扇形AOB的面积为πcm2∴S＝＝＝π解得：n＝90°∴∠AOB是90°．【点评】本题考查了扇形的面积熟记扇形的面积公式是解题的关键．题型7：扇形计算与实际应用问题7.如图一扇形纸扇完全打开后AB和AC的夹角为120°AB长为30cm贴纸部分的宽BD为18cm求纸扇上贴纸部分的面积．【分析】先求出AD的长度再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．【解答】解：∵AB＝30cmBD＝18cm∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm）∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝300π﹣48π＝252π（cm2）．【点评】本题考查了扇形的面积公式能熟记扇形的面积公式是解此题的关键注意：半径为r圆心角为n°的扇形的面积为．【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cmOC＝12cm∠AOB＝135°．（计算结果保留π）（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计）至少需要多长的花边？（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．【分析】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和即求优弧AB+优弧CD；直接利用弧长公式求解即可．（2）求扇环的面积即S侧＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）．【解答】解：（1）优弧的长为（cm）优弧的长为（cm）至少需要花边的长度为30π+15π＝45π（cm）；（2）灯罩的侧面积＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）＝．【点评】主要考查了利用弧长公式和扇形的面积公式通过面积差求扇形的面积．【变式7-2】如图一只小羊被主人用绳子拴在长为5米宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上水泥台的周围都是草地．（1）若绳子长为4米求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）（2）为了增加小羊吃草的范围现决定把绳子的长度增加到6米求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）【分析】（1）先根据题意和扇形面积公式列出算式再求出即可；（2）先根据题意和扇形面积公式列出算式再求出即可．【解答】（1）解：当绳子长为4米时这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝+＝13π（平方米）答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米；（2）解：当绳子长为4米时这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝++＝（平方米）答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米．【点评】本题考查了矩形的性质和扇形的面积计算能根据扇形公式列出算式是解此题的关键．题型8：求阴影部分面积-规则图形8（S阴=S扇-S△）.如图在Rt△ABC中∠ABC＝90°AC＝4AB＝2以点B为圆心AB为半径画弧交AC于点D交BC于点E连接BD则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．【分析】根据S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中∵∠ABC＝90°AB＝2AC＝4∴cosA＝＝∴∠A＝60°∵BA＝BD∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°∴S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD＝﹣×22＝π﹣故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算锐角三角函数等边三角形的判定和性质扇形的面积公式等知识解题的关键是灵活运用所学知识解决问题属于中考常考题型．【变式8-1】（S阴=S大扇-S小扇）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图若AO＝5BO＝2∠AOD＝120°则阴影部分面积为（）A．14π B．7π C． D．2π【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC求解即可．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π故选：B．【点评】本题考查扇形的面积解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°圆的半径为R的扇形面积为S则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．【变式8-2】（化零为整）如图分别以n边形的顶点为圆心以2为半径画圆则图中阴影部分面积之和为（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．【解答】解：∵n边形的外角和为360°半径为2∴S阴影＝＝4πcm2故选：D．【点评】此题考查了扇形面积的计算以及多边形的内角和与外角和熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．【变式8-3】（S阴=S△-S扇）如图正三角形ABC的边长为8点DEF分别为BCCAAB的中点以ABC三点为圆心4为半径作圆则图中阴影部分的面积为16﹣8π．（结果保留π）【分析】连接AD根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝8∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°求出圆的半径为4再分别求出△ABC的面积和三个扇形的面积即可．【解答】解：连接AD则BD＝CD∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°AB＝AC＝BC＝8∴BD＝CD＝4即三个圆的半径都是4由勾股定理得：AD＝＝＝4∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣3S扇形BFD＝﹣3×＝16﹣8π故答案为：16﹣8π．【点评】本题考查了等边三角形的性质扇形的面积公式等知识点能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．题型9：求阴影部分面积-不规则图形9（割补法）.如图在正方形ABCD中有一点P连接AP、BP旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8PB＝4．求阴影部分面积；（2）若PB＝4PA＝7∠APB＝135°求PC的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB则BP＝BE∠ABP＝∠EBC；以B为圆心BP画弧叫AB于F点如图易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ然后根据扇形的面积公式计算即可；（2）连PE利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4∠ABP＝∠EBCPA＝EC＝7∠BEC＝∠APB＝135°易得△PBE为等腰直角三角形则∠BEP＝45°PE＝4则∠PEC＝135°﹣45°＝90°然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置∴△APB≌△CEB∴BP＝BE∠ABP＝∠EBC以B为圆心BP画弧叫AB于F点如图∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ＝﹣＝12π；（2）连PE∴△APB≌△CEB∴BP＝BE＝4∠ABP＝∠EBCPA＝EC＝7∠BEC＝∠APB＝135°∴△PBE为等腰直角三角形∴∠BEP＝45°PE＝4∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°∴PC＝＝＝9．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质．【变式9-1】（等面积法）如图A是半径为1的⊙O外的一点OA＝2AB是⊙O的切线点B是切点弦BC∥OA连接AC．则图中阴影部分面积等于（）A． B． C． D．【分析】△OBC与△BCA是同底等高则它们的面积相等因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中已知了半径的长关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中根据OB、OA的长即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC也就求得了∠OBC的度数进而可在△COB中求出∠COB的度数由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：OB是半径AB是切线∵OB⊥AB∴∠ABO＝90°∴sinA＝＝∴∠A＝30°∵OC＝OBBC∥OA∴∠OBC＝∠BOA＝60°∴△OBC是等边三角形因此S阴影＝S扇形CBO＝＝．故选：A．【点评】本题利用了平行线的性质同底等高的三角形面积相等切线的概念正弦的概念扇形的面积公式求解．【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．【分析】构造图2得到图1中的S1、S2、S3、S4与图2中的S1、S2、S3、S4相等易求得图2中S1+S2+S3+S4的值得到图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）．【解答】解：如图：图1中的S1、S2、S3、S4与图2中的S1、S2、S3、S4相等由图2可知：S1+S2+S3+S4＝（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）＝πa2﹣（4a2﹣πa2）＝2πa2﹣4a2．【点评】本题考查了图形面积的计算利用图形的等面积变换可以简化计算．圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为底面半径为r侧面展开图中的扇形圆心角为n°则

圆锥的侧面积圆锥的全面积.

注意：

扇形的半径就是圆锥的母线扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型10：求圆锥的侧面积（全面积）10.已知圆锥的底面半径为4母线长为6则它的侧面展开图的面积是（）A．24 B．48 C．12π D．24π【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×4×6＝24π．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm母线长为9cm则圆锥的全面积为（）A．36πcm2 B．52πcm2 C．72πcm2 D．136πcm2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积然后计算侧面积与底面积的和．【解答】解：圆锥的全面积＝π×42+×2π×4×9＝52π（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-2】如图圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成已知圆的面积为100π扇形的圆心角为120°求这个扇形的面积．【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径然后结合弧长公式求得扇形的半径然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．【解答】解：∵底面圆的面积为100π∴底面圆的半径为10∴扇形的弧长等于圆的周长为20π设扇形的母线长为r则＝20π解得：r＝30∴扇形的面积为πrl＝π×10×30＝300π【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算解题的关键是牢记计算公式．题型11：计算底面半径或展开图圆心角11.圆锥的轴截面是一个等边三角形则它的侧面展开图圆心角度数是（）A．60° B．90° C．120° D．180°【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．【解答】解：设圆锥的底面半径为r母线长为R∵它的轴截面是正三角形∴R＝2r∴2πr＝解得n＝180°故选：D．【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．【变式11-1】一个扇形半径30cm圆心角120°用它作一个圆锥的侧面则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【分析】设圆锥底面半径为rcm由于圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长则根据弧长公式得到2πr＝然后解方程即可．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm根据题意得2πr＝解得r＝10即圆锥底面半径为10cm．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式11-2】如图圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．【分析】设出母线长与底面半径根据题意和圆的面积扇形的面积公式求解．【解答】解：设母线长为R圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n底面半径为r．∴底面周长＝2πr底面面积＝πr2侧面积＝×2πr×R＝πRr＝2×πr2∴R＝2r∴＝2πr＝πR∴n＝180°．【点评】本题利用了扇形的面积公式圆的面积公式弧长公式圆的周长公式求解．注意圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．题型12：圆锥计算与实际应用问题12.用铁皮制作圆锥形容器盖其尺寸要求如图所示．（1）求圆锥的高；（2）求所需铁皮的面积S（结果保留π）．【分析】（1）根据勾股定理即可求出高；（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．【解答】解：（1）如图在Rt△AOB中根据勾股定理AO＝＝＝30（cm）∴圆锥的高为30cm；（2）80π×50＝2000π（cm2）答：所需铁皮的面积为2000πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算正确理解圆锥与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【变式12-1】一个圆锥形沙堆底面半径是5米高是2.5米．（π取3）（1）求这堆沙子有多少立方米？（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面能铺多少米？（3）在（2）的条件下一台压路机的前轮直径是1m前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周这台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）【分析】（1）根据圆锥的体积公式求出这堆沙子的立方米数；（2）根据体积相等列式计算；（3）根据压路机一分钟压的面积进而求出需要的分钟数．【解答】解：（1）圆锥的体积＝×π×52×2.5＝π≈62.5（立方米）答：这堆沙子约有62.5立方米；（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面能铺的米数为：62.5÷（10×0.02）＝312.5（米）答：用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面能铺312.5米；（3）压路机一分钟压的面积＝π×1×2×6≈36（平方米）则这台压路机压一遍这段路面大约需要的时间＝312.5×10÷36≈87（分）．【点评】本题考查的是圆锥的计算掌握圆锥的体积公式、圆的面积公式是解题的关键．【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成如果想用毛毡搭建20个底面半径为4m总高为4.5m外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆）至少需要多少m2的毛毡？【分析】由底面圆的半径＝4米由勾股定理求得母线长利用圆锥的侧面面积公式以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积最后求和．【解答】解：∵底面半径＝4米高为4.5m外围（圆柱）高1.5m∴圆锥高为：4.5﹣1.5＝3（m）∴圆锥的母线长＝＝5（m）∴圆锥的侧面积＝π×4×5＝20π（平方米）；圆锥的周长为：2π×4＝8π（m）圆柱的侧面积＝8π×1.5＝12π（平方米）．∴故需要毛毡：20×（20π+12π）＝640π（平方米）．【点评】此题主要考查了勾股定理圆面积公式扇形的面积公式矩形的面积公式等分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．题型13：圆锥与最短距离13.如图AB为圆锥轴截面△ABC的一边一只蚂蚁从B地出发沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D其中AB＝6OB＝3请蚂蚁爬行的最短距离为．【分析】先把圆锥侧面展开得到扇形CAC′如图设圆锥的侧面展开图的圆心角为n利用弧长公式得到2π×3＝解得n＝180则∠CAB′＝90°利用勾股定理计算出B′D然后根据两点之间线段最短求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形CAC′如图设圆锥的侧面展开图的圆心角为n根据题意得2π×3＝解得n＝180∴∠CAB′＝90°∵D为AC的中点∴AD＝3在Rt△ADB′中B′D＝＝3∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm母线长为12cmC为母线PB的中点求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形然后根据勾股定理进行计算．【解答】解：圆锥的底面周长是8π则8π＝∴n＝120°即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．∴∠APB＝60°∵PA＝PB∴△PAB是等边三角形∵C是PB中点∴AC⊥PB∴∠ACP＝90度．∵在圆锥侧面展开图中AP＝12PC＝6∴在圆锥侧面展开图中AC＝＝6cm．最短距离是6cm．【点评】本题考查了圆锥的计算需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．【变式13-2】圆锥的底面半径是3母线长是9P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周再回到P点求这根绳子的最短长度．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形从A点出发绕侧面一周再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径转化为求直径的长的问题．【解答】解：将圆锥侧面沿AB剪开展平连BB′则BB′就是所求绳子长．由2π×3＝得n＝120作AC⊥BB'则∠2＝60°BB'＝2BC∴∠3＝30°∴AC＝BC＝∴BB′＝9．【点评】本题主要考查圆锥的计算圆锥的侧面展开图是一个扇形此扇形的弧长等于圆锥底面周长扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形“化曲面为平面”用勾股定理解决．一、单选题1．如图△ABC内接于⊙O∠A=60°OM⊥BC于点M若OM=2A．4π B．43π C．83【答案】C【解析】【解答】解：如图示链接OCOB∵∠∴∠COB∵OM⊥BC∴∠COM=60°∴BC=故答案为：C【分析】链接OCOB利用圆周角定理可得∠COB=120°根据OM⊥BCOM=2可求出OC=42．扇形的圆心角为60°面积为6π则扇形的半径是（）A．3 B．6 C．18 D．36【答案】B【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积可直接根据扇形的面积公式求半径长．【解答】扇形的面积=60πr2360​=6π．

解得：r=63．如图AC⊥BCAC=BC=8以BC为直径作半圆圆心为点O；以点C为圆心BC为半径作AB过点O作AC的平行线交两弧于点A．20π3-83 B．20π3+8【答案】A【解析】【解答】解：如图连接CE.∵AC⊥BCAC＝BC＝8以BC为直径作半圆圆心为点O；以点C为圆心BC为半径作弧AB∴∠ACB＝90°OB＝OC＝OD＝4BC＝CE＝8.又∵OE∥AC∴∠ACB＝∠COE＝90°.∴在Rt△OEC中OC＝4CE＝8∴∠CEO＝30°∠ECB＝60°OE＝43∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE＝60=20故答案为：A.【分析】如图连接CE.图中S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE.根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝4BC＝CE＝8∠ECB＝60°OE＝43所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.4．如图在Rt△ABC中∠A=30°BC=23以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D则图中阴影部分的面积是（）A．1534﹣32π B．15C．734﹣π6 D．73【答案】A【解析】【解答】解：如图连接OD、CD．∵AC是直径∴∠ADC=90°∵∠A=30°∴∠ACD=90°﹣∠A=60°∵OC=OD∴△OCD是等边三角形∵BC是切线．∴∠ACB=90°∵BC=23∴AB=43AC=6∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）=12×6×23﹣12×3×33﹣（60π⋅32=1534﹣3故答案为：A．【分析】如图连接OD、CD．根据圆周角定理及三角形内角和及同圆的半径相等得出△OCD是等边三角形由切线的性质定理及含30°角的直角三角形的边之间的关系得出ABAC的长进而根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可。5．如图为了美化校园学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃扇形圆心角∠AOB=120°半径OA为9m那么花圃的面积为()A．54πm2 B．27πm2 C．18πm2 D．9πm2【答案】B【解析】【解答】解：∵扇形圆心角∠AOB=120°半径OA为9m∴花圃的面积=120×π×92360【分析】利用扇形的面积公式：nπR2360（n是圆心角的度数R6．如图BC是圆锥底面圆的直径底面圆的半径为3m母线长6m若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P.则小虫爬行的最短路径是（）A．3 B．35 C．33 D【答案】B【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形设该扇形的圆心角为n°则：nπr180＝6π其中r＝∴n＝180如图所示：由题意可知AB⊥AC且点P为AC的中点在Rt△ABP中AB＝6AP＝3∴BP＝AB2+AP2＝62故蚂蚁沿线段BP爬行路程最短最短的路程是35米故答案为：B.【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形设该扇形的圆心角为n°根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长可求得扇形的圆心角为n的值在Rt△ABP中用勾股定理可求得BP的值根据两点之间线段最短可知蚂蚁沿线段BP爬行路程最短.7．如图从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC使点ABC都在圆周上将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．32cm B．23cm C．6cm D．12cm【答案】A【解析】【解答】解：AB＝BC2=∴BC∴圆锥的底面圆的半径＝62π÷（2π）＝32故答案为：A．【分析】圆的半径为12求出AB的长度用弧长公式可求得BC的长度圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π．8．如图一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥23r）的等边三角形内任意运动则在该等边三角形内这个圆形纸片“不能接触到的部分A．π3r2 B．(33-π)3r【答案】C【解析】【解答】解：如图当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线垂足分别为DE连AO1则Rt△ADO1中∠O1AD=30°O1D=rAD=3∴S△ADO1=1∵由题意∠DO1E=120°得S扇形∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3(3r2-故选：C．【分析】过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线垂足分别为DE连AO1则在Rt△ADO1中可求得AD=3r．四边形ADO1E的面积等于三角形ADO1的面积的2倍还可求出扇形O1DE的面积所求面积等于四边形ADO1E的面积减去扇形O二、填空题9．如果圆的半径为6那么60°的圆心角所对的弧长为.【答案】【解析】【解答】根据弧长的公式l=【分析】直接根据弧长公式进行计算．10．如图正方形ABCD的边长为6分别以A、B为圆心6为半径画BD、AC则图中阴影部分的面积为．【答案】93﹣3π【解析】【解答】解：如图：阴影部分的面积=S正方形ABCD﹣S扇形ABC﹣2（长方形AFED的面积﹣扇形DAG的面积﹣三角形AGF的面积）=36﹣90⋅π×62360﹣2（3×6﹣30⋅π×62360﹣故答案为：93﹣3π．【分析】连接AG过点G作GF⊥AB于点F交DC于点E观察图形可知阴影部分的面积=S正方形ABCD﹣S扇形ABC﹣2（长方形AFED的面积﹣扇形DAG的面积﹣三角形AGF的面积）即可求得结果。11．如图在矩形ABCD中AB=1,∠DBC=30°.若将BD绕点B旋转后点D落在BC延长线上的点E处点D经过的路径为DE则图中阴影部分的面积为【答案】π【解析】【解答】由矩形的性质得：∠∵∠∴∴RtΔBCD的面积为扇形BDE所对的圆心角为∠DBC=30°=π则扇形BDE的面积为S所以图中阴影部分的面积为S故答案为：π3【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD和BC的长再求出RtΔBCD和扇形BDE的面积两者作差即可得.12．如图四个三角形拼成一个风车图形若AB=2当风车转动90°时点B运动路径的长度为【答案】π【解析】【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝90×π×2180＝故答案为：π.【分析】根据题意点B旋转的路径是一个半径为AB圆心角为90°的圆弧然后根据弧长公式“l=nπr13．若圆锥底面圆的周长为8π侧面展开图的圆心角为90°则该圆锥的母线长为．【答案】16【解析】【解答】解：设该圆锥的母线长为l根据题意得8π＝90⋅π⋅1180即该圆锥的母线长为16．故答案为：16

【分析】圆锥底面圆的周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长所以用弧长公式列出方程求得扇形的半径即为圆锥的母线长。14．用一个半径为6圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面则圆锥的高为．【答案】4【解析】【解答】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是42×120π180若底面半径是R则6×120∴圆锥的高是62-【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长能求出底面半径圆锥的高母线长即扇形半径构成直角三角形可以利用勾股定理解决．三、解答题15．如图△OAB的底边与⊙O相切切点为C且OA=OB⊙O与OA、OB分别交于D、E两点D、E分别为OA、OB的中点。

（1）求∠AOB的度数；

（2）若阴影部分的面积为3-π3求⊙O【答案】解：（1）连接OC由AB与圆O相切得到OC垂直于AB再由OA=OB得到OC为角平分线再由D、E分别为OA、OB的中点得到OD=AD=OE=EB即OC为OA的一半OC为OB的一半可得出∠A=∠B=30°即可求出∠AOB=120°；

（2）设OC=r可得出OA=2r利用勾股定理表示出AC进而确定出AB的长由三角形OAB的面积-扇形DOE的面积表示出阴影部分面积分别利用三角形及扇形的面积公式以及已知阴影部分的面积列出关于r的方程求出方程的解即可得到圆O的半径r