2023九年级数学上册重要点考题（人教版）实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）（答案版）

实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）（答案版）题型1：几何问题-面积问题1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示）其中一边靠墙（墙长为18m）另外三边用32m的篱笆围成．（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm宽为ym写出y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为96m2求垂直于墙的一边长为多少米？（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．【分析】（1）根据篱笆的长为32米．列出y关于x的函数关系式并根据墙长为18m矩形的边长大于0求出x的取值范围；（2）设苗圃园的面积为Sm2根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式令S＝96解关于x的一元二次方程取在x范围的解即可；（3）先令S＝150得到关于x的一元二次方程再根据Δ＜0可知苗圃园面积不能达到150m2；根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝＝﹣x+16∵∴0＜x≤18∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+16x的取值范围为0＜x≤18；（2）设苗圃园的面积为Sm2由（1）知S＝xy＝x（﹣x+16）＝﹣x2+16x令S＝96则﹣x2+16x＝96解得：x1＝8x2＝24（舍去）∴平行于墙的边长8m∴垂直于墙的边长为﹣×8+16＝12（m）；（3）由（2）知S＝﹣x2+16x令S＝150则﹣x2+16x＝150整理得：x2﹣32x+300＝0∵Δ＝（﹣32）2﹣4×1×300＝﹣176＜0∴方程x2﹣32x+300＝0无实数解∴苗圃园的面积不能达到150m2；∵S＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣16）2+128∵﹣＜0∴当x＝16时S有最大值最大值为128∴当平行于墙的边长为16m时苗圃园的面积最大值128m2．【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型然后根据二次函数的性质求解即可．2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮为国家粮食安全丰富农民收入来源某区试点马铃薯种植给予每亩地每年发放150元补贴．年初种植户金大伯根据以往经验考虑各种因素预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式．（2）根据预计情况求金大伯今年种植总收入w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分别求出销售收入、种植成本、种植补贴再根据总收入销售收入种植成本种植补贴计算即可．【解答】（1）设函数关系式为y＝kx+b根据图象可知函数图象过点（2001000）（240880）将这两点代数函数关系式可得：解得：故函数关系式为：y＝﹣3x+1600；（2）销售收入：2000x；成本：y•x＝（﹣3x+1600）•x＝﹣3x2+1600x补贴：150x；因为总收入＝销售收入•种植成本+种植补贴所以w＝2000x﹣（﹣3x2+1600x）+150x整理得：w＝3x2+550x．【点评】本题主要考查一次函数的实际应用及待定系数法求解析式解题的关键是正确解读题意找出各个函数表达式和代数式．3．如图学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为144平方米求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？【分析】（1）根据题意：矩形的面积＝AB×BC设未知数列方程可解答；（2）设AB为x米矩形的面积为y平方米则BC＝（36﹣2x）米可以得到y与x的函数关系式在x的取值范围内求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）设AB为x米则BC＝（36﹣2x）米由题意得：x（36﹣2x）＝144解得：x1＝6x2＝12∵墙长为16米36米的篱笆∴36﹣2x≤162x＜36∴10≤x＜18∴x＝12∴AB＝12答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米矩形的面积为y平方米则BC＝（36﹣2x）米∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162∵10≤x＜18且﹣2＜0故抛物线开口向下∴当x＝10时y有最大值是160答：AB边的长应为10米时有最大面积且最大面积为160平方米．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．4．数学课外活动小组进行如下操作实验把一根长20m的铁丝剪成两段．（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2应该怎么剪这根铁丝？（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆两圆面积之和的最小值是多少？【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；（2）设两圆面积之和为Scm2剪成较短的一短为ym则较长的部分为（20﹣y）m根据圆的面积公式求出两圆面积之和再根据函数性质求最小值．【解答】解：（1）设剪成较短的一短为xm则较长的部分为（20﹣x）m由题意得：（）2+（）2＝13化简得：x2﹣20x+96＝0解得：x1＝8x2＝12当x＝8时较长部分为12答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；（2）设两圆面积之和为Scm2剪成较短的一短为ym则较长的部分为（20﹣y）m由题意得：S＝π•（）2+π•（）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20）∵＞0∴当y＝10时S有最小值最小值为．【点评】本题考查和二次函数和一元二次方程的应用关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．5．如图用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．【分析】（1）设框架的长AD为xcm则宽AB为cm根据面积公式列出一元二次方程解之即可；（2）在（1）的基础上列出二次函数再利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm则宽AB为cm∴x•＝144解得x＝12或x＝18∴AB＝12cm或AB＝8cm∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知框架的长AD为xcm则宽AB为cm∴S＝x•即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150∵﹣＜0∴要使框架的面积最大则x＝15此时AB＝10最大为150平方厘米．故答案为：150．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏）建成后所用木栏总长32米设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）BC长为米（包含门宽用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为96m2求x的值；（3）当x为何值时苗圃ABCD的面积最大最大面积为多少？【分析】（1）根据木栏总长32米两处各留2米宽的门设苗圃ABCD的一边CD长为x米即得BC长为（36﹣3x）米；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96即可解得x的值；（3）w＝x•（36﹣3x）＝﹣3（x﹣6）2+108由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵木栏总长32米两处各留2米宽的门设苗圃ABCD的一边CD长为x米∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x故答案为：（36﹣3x）；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96解得x＝4或x＝8∵x＝4时36﹣3x＝24＞14∴x＝4舍去∴x的值为8；（3）设苗圃ABCD的面积为w则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108∵﹣3＜0∴当x＞6时w随x的增大而减小∵36﹣3x≤14得x≥∴x＝时w最大为答：当x为米时苗圃ABCD的最大面积为平方米．【点评】本题考查二次函数的应用解题得关键是读懂题意根据已知列方程和函数关系式．7．为了提高巴中市民的生活质量巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图在老旧小区改造中某小区决定用总长27m的栅栏再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD中间用栅栏隔成两个小矩形已知房屋外墙长9m．（1）当AB长为多少时绿化带ABCD的面积为42m2？（2）当AB长为多少时绿化带ABCD的面积最大最大面积是多少？【分析】（1）根据题意和图形可知：AB•CD＝42然后列出方程求解即可注意CD的长不大于9m；（2）根据题意可以写出面积与AB的长的函数关系然后利用二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）设AB长为xm时绿化带ABCD的面积为42m2x（27﹣3x）＝42解得x1＝2x2＝7当x＝2时27﹣3x＝21＞9不合题意舍去；当x＝7时27﹣3x＝6符合题意；答：当AB长为7m时绿化带ABCD的面积为42m2；（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2AB长为amS＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+∴该函数图象开口向下对称轴为直线x＝∵解得6≤a＜9∴当a＝6时S取得最大值此时S＝54答：当AB长为6m时绿化带ABCD的面积最大最大面积是54m2．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用解答本题的关键是明确题意写出相应的方程和二次函数关系式利用二次函数的性质求最值．8．如图若要建一个矩形场地场地的一面靠墙墙长10m另三边用篱笆围成篱笆总长20m设垂直于墙的一边为xm矩形场地的面积为Sm2．（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝其中x的取值范围是；（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2求矩形场地的长与宽；（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时求矩形场地的长与宽并求出矩形场地面积的最大值．【分析】（1）由AD＝x可得出AB＝20﹣2x由墙长10米可得出关于x的一元一次不等式组解之即可得出x的取值范围再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；（2）根据矩形场地的面积可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论；（3）把二次函数的解析式配方成顶点式求出长与宽．【解答】解：（1）∵AD＝BC＝x∴AB＝20﹣2x．又∵墙长10米∴∴5≤x＜10．∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（5≤x＜10）．故答案为：﹣2x2+20x5≤x＜10；（2）当矩形场地的面积为42m2时﹣2x2+20x＝42解得：x1＝3（不合题意舍去）x2＝7∴20﹣2x＝6．答：矩形的长为7米宽为6米；（3）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∴当x＝5时S最大是50此时20﹣2x＝10答：当矩形场地的面积最大时矩形场地的长是10m宽是5m矩形场地面积的最大值是50m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式找出s关于x的函数关系式；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程．9．在校园嘉年华中九年级同学将对一块长20m宽10m的场地进行布置设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形）空白区域为活动区且4个出口宽度相同其宽度不小于4m不大于8m．设出口长均为x（m）活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2绿化区布置成本为8元/m2布置场地的预算不超过1850元当x为整数时请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积可得y与x的关系式；（2）根据二次函数的增减性可得结论；（3）根据列方程即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225∵﹣1＜0∵当x＜15时y随x的增大而增大∵4≤x≤8∴当x＝8时y有最大值最大值为176∴当x取8m时活动区面积最大最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600令w＝1850﹣2x2+60x+1600＝1850解得：x＝25或x＝5∵4≤x≤8∴4≤x≤5∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x﹣1＜0对称轴为直线x＝15∴当x＝5时活动区面积最大此时的布置成本为1850元．【点评】本题考查了二次函数的应用此题关键是求得短边的长度再利用矩形的面积求得各部分面积进一步列不等式（组）解决问题．题型2：几何问题-动点问题10．如图在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝3cmBC＝4cm点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB运动；同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s）四边形APQC的面积为S（cm）．（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时四边形APQC的面积最小？最小值为多少？【分析】（1）首先根据题意表示PB＝（3﹣t）cmBQ＝2tcm再根据四边形APQC的面积为S＝Rt△ABC的面积﹣Rt△PBQ的面积用t表示四边形的面积；（2）首先求出自变量的取值范围根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意得PB＝（3﹣t）cmBQ＝2tcmS＝﹣＝6﹣t（3﹣t）＝t2﹣3t+6；（2）S＝t2﹣3t+6（0＜t＜2）∵a＝1∴S＝﹣＝时S有最小值S＝∴当t为cm时四边形APQC的面积最小最小值为cm2．【点评】本题考查了二次函数的最值掌握二次函数的性质的应用根据题意用t表示四边形的面积是解题关键．11．如图在矩形ABCD中AB＝10cmBC＝16cm点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发当一点到达终点时另一个点随即停止移动．（1）经过几秒△PBQ的面积等于18cm2？（2）在运动过程中经过几秒时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意表示出PBQB的长利用△PBQ的面积等于18列式求值即可；（2）根据三角形的面积公式列出S关于t的函数解析式再根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设经过t（0≤t≤5）秒时间此时PB＝10﹣2tBQ＝3t当△PBQ面积等于18cm2时根据题意得：（10﹣2t）×3t＝18解得t1＝2t2＝3经检验均符合题意．∴经过2s或3s后APBQ的面积等于18cm；（2）设运动时间为t秒则S△PBQ＝PB•BQ＝（10﹣2t）×3t＝﹣3t2+15t＝﹣3（t﹣2.5）2+∴当t＝2.5时S△PBQ最大最大值为∴经过2.5秒时△PBQ的面积最大最大面积为cm2．【点评】此题考查了二次函数求最值、一元二次方程的应用关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．12．在长方形ABCD中AB＝3BC＝4动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图设动点P所经过的路程为x△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动点P在BC上运动点P在CD上运动分别求出y与x之间的函数解析式即可；（2）画出函数图象观察图象可得答案．【解答】解：（1）当点P在AB上运动时即0≤x＜3时y＝×AD×AP＝×4×x＝2x；当点P在BC上运动时即3≤x＜7时y＝×AD×AB＝×4×3＝6；当点P在CD上运动时即7≤x≤10时y＝×AD×PD＝×4×（10﹣x）＝﹣2x+20综上所述y＝；（2）函数图象如下：由图象可得y最大为6∴△APD的面积的最大值是6．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识解题的关键是学会分类讨论的思想方法．13．如图在△ABC中∠B＝90°AB＝12cmBC＝24cm动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动如果P、Q两点分别从AB两点同时出发设运动时间为t（1）AP＝2tcmBP＝（12﹣2t）cmBQ＝4tcm；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式再化成顶点式最后求出最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcmBQ＝4tcm所以BP＝（12﹣2t）cm故答案为：2tcm（12﹣2t）cm4tcm；（2）△PBQ的面积S＝＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t＝32解得：t＝2或4即当t＝2秒或4秒时△PBQ的面积是32cm2；（3）S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36所以当t为3时△PBQ的面积最大最大面积是36cm2．【点评】本题考查了三角形的面积二次函数的最值等知识点能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．14．如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝12cmBC＝6cm点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动如果点PQ同时从点CA出发试问：（1）出发多少时间时点PQ之间的距离等于？（2）出发多少时间时△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时点PQ之间的距离等于2cm根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时△PQC的面积为6cm2根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时点PQ之间的距离等于2cm依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2解得x1＝2x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时点PQ之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时△PQC的面积为6cm2依题意有y（12﹣2y）＝6解得y1＝3﹣y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9∵﹣1＜0∴△PQC面积的有最大值9此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值一元二次方程的应用熟练掌握二次函数的性质是解题关键．15．如图在矩形ABCD中BC＝6cmAB＝4cmS是AD中点点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时y取得最大值并求出此最大值．【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；（2）根据（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时）点E在SD上（当2.5≤t≤4时）y＝12﹣2t；点E在DC上（当4≤t≤6时）y＝t2﹣12t+36；（2）当0＜t≤2.5时对称轴t＝3y随x的增大而增大∴t＝2.5y的最大值为7；当2.5≤t≤4时y＝12﹣2t是减函数∴t＝2.5时y有最大值为7；当4≤t≤6时y＝t2﹣12t+36对称轴为t＝6y随x的增大而减小∴t＝4y有最大值为4．综上所述t＝2.5时y有最大值为7．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识读懂图象信息是解决问题的关键学会设未知数列方程组解决问题把问题转化为方程去思考是数形结合的好题目属于中考选择题中的压轴题．16．如图在Rt△AOB中∠AOB＝90°且AO＝8BO＝6P是线段AB上一个动点PE⊥AO于EPF⊥BO于F．设PE＝x矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据矩形的对边相等可得OF＝PE＝x然后利用∠B的正切值求出PF再根据矩形的面积公式列式整理即可得解；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）在矩形PFOE中OF＝PE＝x∵AO＝8BO＝6∴tanB＝＝即＝解得PF＝（6﹣x）∴矩形PFOE的面积为S＝PE•PF＝x•（6﹣x）＝﹣x2+8x即S＝﹣x2+8x；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣6x+9）+12＝﹣（x﹣3）2+12∴当x＝3时矩形PFOE的面积S最大最大面积是12．【点评】本题考查了二次函数的最值问题矩形的性质与锐角的正切的利用（2）把二次函数的解析式转互为顶点式形式是解题的关键．17．如图在矩形ABCD中AB＝8AD＝6点P、Q分别是AB边和CD边上的动点点P从点A向点B运动点Q从点C向点D运动且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时设交点为E连接EP、EQ设△EPQ的面积为S求S关于x的函数关系式并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件证明四边形APQD是矩形再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；（2）连接EP、EQ则EP＝EQ设BE＝y列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时则∠A＝∠APQ＝90°∠D＝∠DQP＝90°又∵AB∥CD∴四边形APQD是矩形∴AP＝QD∵AP＝CQAP＝CD＝∴x＝4．（2）如图连接EP、EQ则EP＝EQ设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2∴y＝．∵0≤y≤6∴0≤≤6∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝∵AP＝CQ∴SBPQC＝∴S＝SBPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（）∴当x＝4时S有最小值12当x＝或x＝时S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点这是一道综合性比较强的题目所以在解答题目时一定要把各个知识点融会贯通这样解题时才会少走弯路．题型3：利润问题18．某种产品按质量不同分等级生产最低档次产品每件获利润8元每提高一个档次每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件每提高一个档次将减产40件求生产何种档次产品的利润最高？【分析】档次提高时带来每件利润的提高销售量下降设生产第x档次时获得产品的利润为y元每件利润为[8+2（x﹣1）]元销售量为[800﹣40（x﹣1）]件根据：利润＝每件利润×销售量列函数式化成顶点式即可．【解答】解：设生产第x档次时获得产品的利润为y元则∵生产最低档次产品每件获利润8元每提高一个档次每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件每提高一个档次将减产40件∴y＝[8+2（x﹣1）][800﹣40（x﹣1）]＝﹣80（x﹣9）2+11520∵当x＝9时y有最大值所以生产第九档次产品获利润最大．【点评】本题考查二次函数的实际应用借助二次函数解决实际问题解题的关键是能够从实际问题中抽象出二次函数模型难度不大．19．小明在“生活中的数学”探究活动中经过市场调查研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时当天销售利润最大最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值从而可以解答本题．【解答】解：（1）当1≤x＜30时y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000当30≤x≤50时y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000综上所述：y与x的函数关系式为y＝；（2）当1≤x＜30时二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200∵﹣2＜0∴当x＝10时y最大＝3200当30≤x≤50时y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小∴当x＝30时y最大＝2400综上所述该商品第10天时当天销售利润最大最大利润是3200元．【点评】本题考查二次函数的应用解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品成本价8元/千克经过市场调查该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元试确定该产品销售单价的范围．【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b由待定系数法求解即可；（2）根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式；（3）根据题意得﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500变形得出关于x的二次不等式然后解一元二次方程再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b将（12220）（16180）代入得：解得：．∴y＝﹣10x+340；（2）由题意得：W＝（﹣10x+340）（x﹣8）＝﹣10x2+420x﹣2720∴W与x的函数关系式是W＝﹣10x2+420x﹣2720；（3）由题意得：﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500∴x2﹣42x+432≤0当x2﹣42x+432＝0时解得：x1＝18x2＝24∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正图象开口向上∴当18≤x≤24时x2﹣42x+432≤0即﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．21．某科技公司生产一款精密零件每个零件的成本为80元当每个零件售价为200元时每月可以售出1000个该款零件若每个零件售价每降低5元每月可以多售出100个零件设每个零件售价降低x元每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金当40≤x≤60时捐款后每月最大的销售利润为135000元求n的值．【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量列出函数解析式即可；（2）根据销售利润﹣捐款额列出函数解析式再根据函数的性质结合x的取值范围求值即可．【解答】解：（1）设每个零件售价降低x元则每个零件的实际售价为（200﹣x）元每月的实际销售量为（1000+×100）则w＝（200﹣x﹣80）（1000+×100）＝20x2十1400x+120000∵∴0≤x≤120∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）；（2）设捐款后的实际利润为p元则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000+×100）n整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n则p是x的二次函数其对称轴为直线x＝﹣＝∵0＜n≤6∴32≤＜35∵﹣20＜0∴函数图象开口向下当40≤x≤60时p随x的增大而减小∴当x＝40时p有最大值135000即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000解得：n＝5．【点评】本题考查二次函数的应用关键是根据题意列出函数解析式．22．我市某卖场的一专营柜台专营一种电器每台进价60元调查发现当销售价80元时平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用．为了防止不正当竞争稳定市场市物价局规定：“出售时不得低于80元/台又不得高于180元/台”设售价为x元/台时月平均销售量为y台月平均利润为w元．（1）求y与x的函数关系式w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）每台售价多少元时月销售利润最高最高为多少元．【分析】（2）根据题意直接得出结论；（2）根据抛物线的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣10（x﹣80）＝1800﹣10x（80≤x≤180）w＝（x﹣60）（1800﹣10x）﹣20000＝﹣10x2+2400x﹣128000（80≤x≤180）；（2）w＝﹣10x2+2400x﹣128000＝﹣10（x﹣120）2+16000∵﹣10＜0∴抛物线开口向下∴当每台售价120元时月销售利润最高最高为16000元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．23．某文具店购进一批单价为12元的学习用品按照相关部门规定其销售单价不低于进价且不高于进价的1.5倍通过分析销售情况发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系且当x＝15时y＝50；当x＝17时y＝30．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时每天可获得最大利润最大利润是多少元？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b然后代值求解即可；（2）设每天获得的利润为w元由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160进而根据二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b由题意得：解得：∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200；（2）设每天获得的利润为w元由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160∵12≤x≤18且﹣10＜0∴当x＝16时w有最大值最大值为160．答：这种学习用品的销售单价定为16元时每天可获得最大利润最大利润是160元．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．24．为扩大销售某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．（1）写出y关于x的函数解析式并求x＝20时农贸公司每天销售该特产的利润；（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元当销售单价x为多少元时W最大？最大是多少元？【分析】（1）设出y关于x的函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据每千克的利润×销售量＝总利润列出函数解析式用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式y＝kx+b（k≠0）将（14320）（25210）代入得解得∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；当x＝20时y＝﹣10×20+460＝260农贸公司每天销售该特产的利润为（20﹣10）×260＝2600（元）∴当x＝20时农贸公司每天销售该特产的利润为2600元；（2）由题意得：W＝（x﹣10）（﹣10x+460）＝﹣10x2+560x﹣4600＝﹣10（x﹣28）2+3240∵﹣10＜0∴当x＜28时W随x的增大而增大∵14≤x≤25∴当x＝25时W最大最大值为3150∴当销售单价x为25元时W最大最大是3150元．【点评】本题考查了二次函数的应用得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键．25．某公司把一种原料加工成产品进行销售已知某月共加工原料x吨恰好生产相同吨数的产品并能完全销售．每吨原料的加工成本Q（万元）与x（吨）满足关系式：Q＝ax+﹣30（其中ab均为常数）且经过统计得到如下数据：x（吨）3060Q（万元）7035（1）求a、b的值；（2）若该月的加工总成本为2052万元求x的值；（3）若生产的产品每吨售价为60万元则该月可获得的最大利润是多少万元？【分析】（1）把表格中的数据代入关系式Q＝ax+﹣30即可；（2）根据（x+﹣30）•x＝2052计算即可；（3）列出函数关系式化为顶点式求解即可．【解答】解：（1）由题意得解得（2）由题意得（x+﹣30）•x＝2052整理得x2﹣30x+648＝0解得x1＝54x2＝36∴当该月的加工总成本为2052万元时x的值为54或36；（3）设该月可获得的利润为W万元由题意得W＝60x﹣（+﹣30）x＝﹣（x﹣135）2+3375∴当x＝135时该月可获得的最大利润为3375万元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用二元一次方程组的应用正确列出式子是解答本题的关键．26．某商店销售一种商品经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当售价是多少元/件时周销售利润最大此时最大利润是多少元．【分析】（1）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；（2）根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b根据题意得解得所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；（2）设周销售利润为w元∵进价为50﹣（1000÷100）＝40（元）∴w＝（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2（x﹣70）2+1800∵﹣2＜0∴当x＝70时w最大最大值为1800∴当售价是70元/件时周销售利润最大最大利润是1800元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的应用解决本题的关键是掌握函数相关问题．题型4：抛物线形问题27．如图正常水位时抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．（1）把拱桥看作一个二次函数的图象建立恰当的平面直角坐标系求出这个二次函数的表达式；（2）当水面宽10m时达到警戒水位如果水位以0.2m/h的速度持续上涨那么达到警戒水位后再过多长时间此桥孔将被淹没？【分析】（1）建立如图所示坐标系根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2+4把A点坐标代入解析式求出a即可；（2）首先求出警戒水位到桥面的距离再求出时间t．【解答】解：（1）以水面所在直线AB为x轴以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：∴A（﹣100）C（04）设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0）把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0解得：a＝﹣∴这个函数的表达式为：y＝﹣x2+4；（2）当水面宽10m时即x＝5时y＝﹣×52+4＝3此时水面离拱顶4﹣3＝1（m）1÷0.2＝5（h）答：达到警戒水位后再过5h此桥孔将被淹没．【点评】本题主要考查二次函数的应用应用函数问题解决实际问题难度适中．28．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线跳台高度OA为4米以起跳点正下方跳台底端O为原点水平方向为横轴竖直方向为纵轴建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（412）着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；（2）该抛物线的函数表达式；（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.73）【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式将点A的坐标代入即可得出结论；（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长进而得出点D的坐标由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．【解答】解：（1）∵OA＝4且点A在y轴正半轴∴A（04）．（2）∵抛物线最高点B的坐标为（412）∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12∵A（04）∴a（0﹣4）2+12＝4解得a＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．（3）在Rt△CDE中＝CD＝2.5∴CE＝1.5DE＝2．∴点D的纵坐标为﹣1.5令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5解得x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意舍去）∴D（9.19﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的长约为7.2米．【点评】本题主要考查二次函数的应用涉及待定系数法求函数解析式抛物线上点的坐标特点等相关内容得出点D的坐标是解题关键．29．如图隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成矩形的长AB为4m宽BC为3m以DC所在的直线为x轴线段CD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴最高点E到地面距离为4米．（1）求出抛物线的解析式．（2）在距离地面米高处隧道的宽度是多少？（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶）现有一辆货运卡车高3.6米宽2.4米这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【分析】（1）抛物线的解析式为y＝ax2+1根据D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；（2）当y＝时代入（1）的解析式求出x的值即可求出结论；（3）方法同（2）．【解答】解：（1）根据题意得：D（﹣20）C（20）E（（01）设抛物线的解析式为y＝ax2+1（a≠0）把D（﹣20）代入得：4a+1＝0解得a＝﹣∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1；（2）在y＝﹣x2+1中令y＝﹣3＝得：＝﹣x2+1解得x＝±∴距离地面米高处隧道的宽度是2m；（3）这辆货运卡车能通过该隧道理由如下：在y＝﹣x2+1中令y＝3.6﹣3＝0.6得：0.6＝﹣x2+1解得x＝±∴|2x|＝≈2.53（m）∵2.53＞2.4∴这辆货运卡车能通过该隧道．【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用由函数值求自变量的值的运用解答时求出二次函数的解析式是关键．30．某公园要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时经测量水池的最大半径只有2.5m在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高需对水管的长度进行调整求调整后水管的最大长度．【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（13）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3将（02.25）代入得求出a的值即可；（2）令y＝0得0＝﹣（x﹣1）2+3解得x＝﹣1（舍）或x＝3可得直径至少为2×3＝6（米）；（3）将抛物线向下平移使平移后的抛物线经过点（2.50）设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h将（2.50）代入得求出h的值得出平移后的抛物线的解析式再令x＝0求出y即可．【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（13）∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3将（02.25）代入得a（0﹣1）2+3＝2.25解得a＝﹣∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．（2）令y＝0得0＝﹣（x﹣1）2+3解得x＝﹣1（舍）或x＝3∵2×3＝6（米）∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．（3）将抛物线向下平移使平移后的抛物线经过点（2.50）设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h将（2.50）代入得﹣（2.5﹣1）2+h＝0解得h＝当x＝0时y＝﹣（0﹣1）2+＝．∴调整后水管的最大长度米．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用重点是二次函数解析式的求法利用顶点式求出解析式是解题关键．31．跳绳是大家喜爱的一项体育运动当绳子甩到最高处时其形状视为抛物线．如图是甲乙两人将绳子甩到最高处时的示意图已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m并且相距4m现以两人的站立点所在的直线为x轴过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系且绳子所对应的抛物线解析式为．（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高1.70m的小明能否站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶？（3）身高1.64m的小军站在绳子的下方设他距离甲拿绳子的手sm为确保绳子能通过他的头顶请求出s的取值范围．【分析】（1）把（01）（41）代入抛物线得到二元一次方程组解方程组即可；（2）由自变量的值求出函数值再比较便可；（3）由y＝1.64时求出其自变量的值便可确定s的取值范围．【解答】解：（1）根据题意抛物线经过点（01）（41）．∴解得∴绳子所对应的抛物线解析式为：y＝．（2）身高1.70m的小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由如下：∵y＝当x＝时y最大值＝＝＜1.7．∴绳子能碰到小明小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．（3）当y＝1.64时＝1.64即x2﹣4x﹣3.84＝0解得x＝＝．∴x1＝2.4x2＝1.6．∴1.6＜s＜2.4．【点评】本题是二次函数的应用主要考查了待定系数法求二次函数的解析式应用二次函数的解析式由自变量求函数值由函数值确定自变量等知识判定实际问题关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题．32．如图①是气势如虹、古典凝重的开封北门也叫安远门有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②上部分可看作是抛物线形下部分可看作是矩形边AB为16米BC为6米最高处点E到地面AB的距离为8米．（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式．（2）该主门洞内设双向行驶车道正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶不能压双黄线并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后宽3.7米高6.6米能否安全通过该主门洞？并说明理由．【分析】（1）根据题意可以画出相应的平面直角坐标系然后设出抛物线解析式即可求得该抛物线的解析式；（2）根据题目中的数据将x＝3.7+0.3＝4代入（1）中的抛物线解析式然后计算出相应的y的值再与6.6+0.6＝7.2比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）建立的平面直角坐标系如右图所示由题意可得点E的坐标为（08）点D的坐标为（﹣86）设抛物线的解析式为y＝ax2+8