2022-2023学年北京市房山区高一下学期期末数学检测试题【含答案】

2022-2023学年北京市房山区高一下学期期末数学检测试题一、单选题1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用正弦的定义直接计算作答.【详解】角的终边经过点，则，所以.故选：B.2．在中，已知，，，则等于（

）A． B．7 C． D．19【答案】A【分析】利用余弦定理列出关系式，将，及的值代入即可求出的值．【详解】在中，，，，由余弦定理得：，则．故选：．【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3．下列命题中，正确的是（

）A．一条直线和一个点确定一个平面 B．两个平面相交，可以只有一个公共点C．三角形是平面图形 D．四边形是平面图形【答案】C【分析】根据基本事实1、2和3及基本事实1的推论逐一判断．【详解】对于A：一条直线和直线外一点确定一个平面，故A错；对于B：两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，故B错；对于C：三角形的两条边一定相交，根据基本事实1的推论2“过两条相交直线，有且只有一个平面”，所以三角形的两条边确定一个平面，而第三边的两个端点在该平面内，根据基本事实2“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”确定第三边在该平面内，故三角形是一个平面图形，故C正确；对于D：如图四边形不是平面图形，故D错误；故选：C4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，因为正方体中，所以就是与所成的角，在中，.∴.故选：C5．如图，在正四棱台中，，分别为上、下底面中心，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（

）A．是直角梯形 B．是直角梯形C．直线与直线异面 D．直线与直线异面【答案】D【分析】将正四棱台补全为正四棱锥，再结合正四棱锥的性质一一分析即可.【详解】由棱台的定义可知可将正四棱台补全为如图所示正四棱锥，因为，分别为上、下底面中心，所以、、三点共线，且底面，底面，底面，底面，所以，，又，且，所以是直角梯形，故A正确；因为，分别为，的中点，与均为等腰三角形，且，，所以，，又，，所以是直角梯形，故B正确；因为，，所以直线与直线异面，故C正确；由，所以直线与直线相交于点，故D错误.故选：D6．已知平面直角坐标系中的3点，则中最大角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据夹角公式算出每个内角的余弦值，然后分析可得结果.【详解】，根据夹角公式，；，根据夹角公式，；，根据夹角公式，.由，，，于是是钝角，是锐角，最大角是，余弦值为.故选：C7．在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据利用等体积法求解即可.【详解】设点到平面的距离为，∵两两垂直，且，∴，，∴，又，，，平面，所以平面，∵，即∴，∴，即点到平面的距离为，故选：D8．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由面面平行的判定与性质判断充分性和必要性即可.【详解】由面面平行的性质可知：且，充分性成立；当时，若，，，则可能平行或相交，必要性不成立；“”是“且”的充分而不必要条件.故选：A.9．在中，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理将边化角，在利用两角和的正弦公式及二倍角公式转化为的三角函数，在结合的范围计算可得.【详解】由正弦定理可得因为，所以，所以，则，则，即.故选：C10．如图，在各棱长均为1的的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据题意将和折成一个平面，可知，结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可知：，在中，由余弦定理可得，可知为锐角，可得，将和折成一个平面，连接，可知，当且仅当三点共线时，等号成立，

此时，在中，由余弦定理可得，即，所以的最小值为.故选：B.二、填空题11．在中，若，则.【答案】/【分析】根据同角三角函数基本关系式以及角的范围得答案.【详解】因为，且，所以，又在中，，，所以.故答案为:.三、双空题12．一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于；该圆锥的体积等于.【答案】【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；求出圆锥的底面半径和高可得圆锥的体积.【详解】因为扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于；设圆锥的底面半径为，所以，解得，则圆锥的高为，所以圆锥的体积为.故答案为：；.13．已知一个长方体的个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为，，，则长方体的体对角线的长等于；球的表面积等于.【答案】【分析】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，利用勾股定理求出体对角线，即可求出，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则，所以，，即长方体的体对角线为，则外接球的表面积.故答案为：；四、填空题14．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是.（填入条件的序号即可）①；②；③；④.【答案】①③（或②④）【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案.【详解】选①②，若，，则可能，不正确；选①③，若，，则，正确；选①④，若，，则可能，不正确；选②③，若，，则可能，不正确；选②④，若，，则，正确；选③④，若，，则可能，不正确；故答案为：①③（或②④）15．如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是30米，则旗杆的高等于米.

【答案】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】如图，，则，，米，由正弦定理，即，解得.

故答案为：16．如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：①恒有；

②恒有平面；③三棱锥的体积的最大值为；

④存在某个位置，使得平面平面.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③【分析】根据原图形判断①，根据面面平行得出线面平行判断②，结合面面垂直及体积公式判断体积最大值得出③，应用面面垂直的性质定理及反证法得出④.【详解】矩形ABCD中,,①正确；取CD中点H，连接MH，BH，M和H分别是，CD的中点，，在平面外，平面，E是矩形ABCD的AB边中点，，，，在平面外，平面，又，平面平面，平面，，②正确；取的中点，连接，如图所示：当平面平面时，到平面的距离最大.因为，为中点，所以.又因为平面平面，所以.，所以.所以四棱锥体积最大值为，所以四棱锥体积最大值为，M为AC的中点，三棱锥的体积的最大值为故③正确.平面平面,平面平面平面,平面,,,④错误故答案为：①②③.五、解答题17．如图，在正方体中，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求证：，，，四点共面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由正方体的性质得到，即可得证；（2）通过证明平面，即可得证；（3）连接，即可得到，再由正方体的性质得到，即可得证.【详解】（1）由正方体的性质，平面，平面，所以平面.（2）由正方体的性质平面，平面，所以，又为正方形，所以，，平面，所以平面，又平面，所以.

（3）连接，因为，分别为，的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面.18．在中，，，.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理计算可得；（2）首先利用两角和的正弦公式求出，在根据面积公式计算可得.【详解】（1）因为，，，由正弦定理，即，解得，又，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以.19．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)当时，求的最小值及取得最小值自变量的值.【答案】(1)(2)最小值为，当时取得.【分析】（1）根据二倍角公式，辅助角公式将函数化简，然后根据三角函数的周期公式求解；（2）根据三角函数的单调区间，结合的范围进行求解.【详解】（1），故最小正周期为（2）由于，则，注意到在上满足，上，于是要求的最小值只用考虑的情况，由在上单调递减，，于是在上递减，故时，即，取到最小值.20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点.

(1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，且，理由见解析【分析】（1）依题意可得，再由底面为矩形，则，即可得证；（2）由已知证明平面，进一步可得平面平面；（3）连接、，，连接，依题意可得，则，再由线面平行的性质得到，即可得解.【详解】（1）因为，为的中点，所以，又底面为矩形，所以，所以.（2）底面为矩形，．平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．又，，、平面，平面，而平面，平面平面；（3）存在，且，理由如下：连接、，，连接，因为是矩形，且为的中点，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以.

21．某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形（如图所示），其中三角形区域为儿童活动场所，三角形区域为文艺活动场所，三角形区域为球类活动场所，为运动小道（不考虑宽度），，，.

(1)求的长度；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长度；(3)在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形）的面积最大？条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)(3)当时，儿童活动场所（即三角形）的面积最大【分析】