北师大版九年级数学下册练习：小专题(二)　构造基本图形解直角三角形的实际应用

第页小专题(二)构造根本图形解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的量在图中表示出来，找到与量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚条件中各量之间的关系；(2)假设三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算.假设三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线.模型1单一直角三角形1.(2023·青海)如下图，小芳在中心广场放风筝，风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°.假设小芳的身高忽略不计，那么风筝离水平地面的高度是50eq\r(3)米(结果保存根号).2.(2023·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度(结果保存小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53).解：过点C作CF⊥BD于点F，过点A作AE∥BD交CF于点E.∵∠HAC＝118°，∠HAE＝90°，∴∠CAE＝28°.∵AC＝9m，∴CE＝sin28°·AC≈4.2m.∴CF＝CE＋EF＝4.2＋3.4＝7.6(m).答：操作平台C离地面的高度为7.6m.模型2背靠背型及其变式3.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴〞游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.假设∠B＝56°，∠C＝45°，那么游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为60米(参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)4.(2023·天门)为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12eq\r(3)米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝eq\f(3,13)eq\r(3)，那么CE的长为8米.5.如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(3)≈1.73).解：在Rt△ACO中，sin75°＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(OC,40)≈0.97，解得OC≈38.8.在Rt△BCO中，tan30°＝eq\f(OC,BC)＝eq\f(38.8,BC)≈eq\f(1.73,3)，解得BC≈67.3.答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm.6.(2023·内江)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝eq\f(3,4).求灯杆AB的长度.解：过点B作BF⊥CE于点F，过点A作AG⊥BF于点G.∵∠BAC＝120°，∠CAG＝90°，∴∠BAG＝30°.设AB＝x，那么BG＝eq\f(x,2).∴BF＝eq\f(x,2)＋11，DF＝eq\f(BF,tanα)，EF＝eq\f(BF,tanβ).∵DE＝18，∴eq\f(\f(x,2)＋11,6)＋eq\f(\f(x,2)＋11,\f(3,4))＝18.∴x＝2.答：灯杆AB的长度为2米.模型3母子型及其变式7.(2023·济宁)如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观围站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，那么船C到海岸线l的距离是eq\r(3)km.8.(2023·青岛)某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m.请求出点O到BC的距离.(参考数据：sin73.7°≈eq\f(24,25)，cos73.7°≈eq\f(7,25)，tan73.7°≈eq\f(24,7))解：由O点分别向BC，AC作垂线，垂足为D，E，那么四边形OECD为矩形.设OD＝x，那么AE＝AC－EC＝AC－OD＝840－x.在Rt△ODB中，∠ODB＝90°，∵tan∠OBD＝eq\f(OD,BD).∴BD＝eq\f(OD,tan∠OBD)＝eq\f(7,24)x，DC＝500－eq\f(7,24)x.∵∠OAC＝45°，∠OEA＝90°，∴OE＝AE＝840－x.∵OE＝DC，∴840－x＝500－eq\f(7,24)x.解得x＝480.答：点O到BC的距离为480米.9.如下图，在一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2eq\r(3)，无人机的飞行高度AH为500eq\r(3)米，桥的长度为1255米.(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)假设在无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.解：(1)在Rt△AHP中，∵AH＝500eq\r(3)，由tan∠APH＝tanα＝eq\f(AH,HP)＝eq\f(500\r(3),PH)＝2eq\r(3)，解得PH＝250.∴点H到桥左端点P的距离为250米.(2)设BC⊥HQ于