北师大版九年级数学下册练习：3.4　圆周角和圆心角的关系

第页3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1根底题知识点1圆周角的概念1.以下四个图中，∠x是圆周角的是(C)ABCD知识点2圆周角定理2.(2023·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，那么∠AOB的度数是(B)A.75°B.70°C.65°D.35°3.如图，CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA.假设∠D的度数是50°，那么∠C的度数是(A)A.25°B.30°C.40°D.50°4.(2023·兰州)如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，那么∠AOB＝(B)A.45°B.50°C.55°D.60°5.(2023·广东)同圆中，弧AB所对的圆心角是100°，那么弧AB所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，那么∠ABC＝35°.知识点3圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2023·柳州)如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是(A)A.∠2B.∠3C.∠4D.∠58.(2023·哈尔滨)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，那么∠B的大小是(B)A.43°B.35°C.34°D.44°9.如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E.假设∠C＝25°，那么∠D＝65°.10.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.证明：∵AB＝BC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴∠ADB＝∠BDC.∴DB平分∠ADC.易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O中，弦AB＝2eq\r(3)，点C是圆上不同于A，B的点，那么∠ACB的度数为60°或120°.中档题12.(2023·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，那么∠OBA等于(D)A.64°B.58°C.32°D.26°13.(2023·泰安)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，那么∠BAF等于(B)A.12.5°BC.20°D.22.5°14.(2023·贵港)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，M是半径OD上任意一点.假设∠BDC＝40°，那么∠AMB的度数不可能是(D)A.45°B.60°C.75°D.85°15.(2023·泰安)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，那么⊙O的直径为4eq\r(2).16.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.(1)假设∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)假设OC＝3，OA＝6，求tan∠DEB的值.解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠BOD＝26°.(2)∵OD⊥AB，OC＝3，OA＝6，∴OC＝eq\f(1,2)OA，即∠OAC＝30°.∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°.∴tan∠DEB＝eq\f(\r(3),3).17.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC的度数.解：连接OB，OC，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°，∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝50°.综合题18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)假设∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵)).∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.

第2课时圆周角定理的推论2，3根底题知识点1圆周角定理的推论21.如图，AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，那么∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从以下直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2023·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，那么∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，那么该圆玻璃镜的半径是(B)A.eq\r(10)cmB.5cmC.6cmD5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.假设∠D＝32°，那么∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(cm).知识点2圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，∠A＝70°，那么∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.假设∠BAD＝105°，那么∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2023·邵阳)如下图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，那么∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2023·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，假设∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，那么∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，那么∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，∠1＝30°，那么∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2023·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，那么∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2023·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(eq\r(3)，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，那么∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2023·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)假设AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，那么AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝eq\f(1,2)×π×42＝8π.∴BD＝eq\r(15).∴S菱形ABFC＝8eq\r(15).综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，⊙O的半径为2eq\r(3).(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求