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文档简介
1.3.1函数的单调性与导数学习目标:1、了解函数的单调性与导函数之间的关系;2、能利用导函数研究函数的单调性;3、会求函数的单调区间(一般不超过三次)。1.3.1函数的单调性与导数学习目标:1oyxyox1oyx1在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数。在(-∞,+∞)上是增函数画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间oyxyox1oyx1在(-∞,0)和(0,+∞)上分2函数y=f(x)在给定区间G上,当x1、x2∈G且x1<x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1)都有f(x1)<f(x2),则f(x)在G上是增函数;2)都有f(x1)>f(x2),则f(x)在G上是减函数;若f(x)在G上是增函数或减函数,增函数减函数则f(x)在G上有单调性。G称为单调区间G=(a,b)一、复习与引入:函数y=f(x)在给定区间G上,当x1、x3(1)函数的单调性也叫函数的增减性;
(2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间:针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数,则为单调递增区间;若函数在此区间上是减函数,则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.(1)函数的单调性也叫函数的增减性;(2)函数的单调性是对41)如果恒有f′(x)>0,那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递增;2)如果恒有f′(x)<0,那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内定理:aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有
,则为常函数.1)如果恒有f′(x)>0,那么y=f(x)在5例1、已知导函数的下列信息:当1<x<4时,>0;当x>4,或x<1时,<0;当x=4,或x=1时,=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。O14xyy=f(x)临界点临界点例1、已知导函数的下列信息:当1<x<4时,6例2.确定函数在哪个区间是减函数?在哪个区间上是增函数?2xyo解:(1)求函数的定义域
函数f(x)的定义域是(-∞,+∞)(2)求函数的导数
(3)令以及求自变量x的取值范围,也即函数的单调区间。令2x-4>0,解得x>2∴x∈(2,+∞)时,是增函数令2x-4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时,是减函数例2.确定函数7利用导数求函数单调区间的步骤:说明:函数的单调区间一定是其定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.(单调性是函数的局部性质)利用导数求函数单调区间的步骤:说明:函数的单调区间一定是其定8
练习:确定函数,在哪个区间是增函数,那个区间是减函数。单调递增区间为:(2,+∞)、(-∞,0)单调递减区间为:(0,2)例3、判断下列函数的单调性,并求出单调区间。练习:确定函数,在哪9例4:确定函数f(x)=x/2+sinx;的单调区间:解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:
递减区间是:例4:确定函数f(x)=x/2+sinx;的单调区间:解:10练习:判断下列函数的单调性(1)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);(2)f(x)=ex-x;练习:判断下列函数的单调性(1)f(x)=sinx-x,x∈11高中数学131函数的单调性与导数ppt课件新人教A版选修12-11-22-1-212xyCABCD-2-1-12-221-21-1-1-11-22-1-212xyCAB13例5:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间
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