人教A版（2023）必修二6.1.3相等向量与共线向量（含解析）

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（共20题）

一、选择题（共13题）

若，那么要使，两向量还需要具备的条件是

A．方向相反B．方向相同C．共线D．方向任意

两个非零向量相等，则下面不一定成立的是

A．它们的方向相同B．它们的大小相同

C．它们的起点和终点相同D．它们的负向量相等

下列命题中，正确的是

A．B．

C．D．

下列说法正确的是

A．零向量没有方向B．向量就是有向线段

C．只有零向量的模等于D．单位向量都相等

下列命题正确的是

A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面

C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．梯形可确定一个平面

关于空间向量的有关概念，以下说法正确的是

A．零向量没有方向

B．由方向向量即可确定一条直线

C．方向相同的向量叫做相等向量

D．任意两个非零空间向量都可以平移到同一个平面内

如图所示的四边形为等腰梯形，则向量与的关系是

A．B．

C．D．

若且，则四边形的形状为

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形

下列结论中，正确的是

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．若向量与都是单位向量，则

C．若向量与是平行向量，则与的方向相同

D．若两个向量相等，则它们的模相等

在同一平面内，把所有长度为的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是

A．单位圆B．一段弧C．线段D．直线

下列命题中，正确的是

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

给出下列三个结论：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确的结论有

A．个B．个C．个D．个

设点是正的中心，则向量、、是

A．有相同起点的向量B．平行向量

C．模相等的向量D．相等向量

二、填空题（共4题）

已知四边形中，和共线，且，则四边形的形状为．

正六边形的中心是点，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有个，与的模相等且夹角为的向量共有个．

中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中．若马在处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马在处或处，则表示马走了“一步”的向量共有个．

设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量．有下列命题：

①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；

②给定平面内两个不共线向量，，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；

③若，中的每个元素都是极大向量，且，中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．

其中真命题的序号是．

三、解答题（共3题）

在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为．

(1)试以为终点画一个向量，使；

(2)在图中画一个以为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？

如图所示，的三边均不相等，，，分别是，，的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出模与的模相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进，，按此方法继续操作下去．

(1)作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为？

(2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】B

【解析】两向量相等应具备长度相等、方向相同两个条件，因此选B．

2.【答案】C

3.【答案】C

【解析】A项向量相等除了模相等还要求方向相同；

B项向量不能比大小；

C项正确；

D项．

4.【答案】C

【解析】零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于，故C选项正确；单位向量的模相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选C.

5.【答案】D

【解析】由不共线的三点确定一个平面，故A错误；

由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；

当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；

由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．

故选：D．

6.【答案】D

【解析】零向量方向任意，但是并不是没有方向，故A错误；

方向向量可以平移，起点不固定，故B错误；

方向相同的向量大小不一定相同，故C错误；

向量可以平移，一定可以平移到共起点的位置，故D正确．

7.【答案】B

【解析】与表示等腰梯形两腰的长度，故．

8.【答案】C

【解析】由可知，四边形为平行四边形，由，可知平行四边形为菱形．

9.【答案】D

10.【答案】A

11.【答案】B

【解析】对于A，当时，和的方向未必相同，不能得到，A不正确；

对于B，当时，和的方向相同，所以成立，B正确；

对于C，两向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，C不正确；

对于D，表示的长度为，不对，D不正确．

12.【答案】A

【解析】①忽略了与的区别，；②混淆了两个向盘的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个非零向盘平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．

13.【答案】C

二、填空题（共4题）

14.【答案】梯形

【解析】由和共线且可得出，，

根据题意画出图形（如图），一组对边平行且不相等的四边形是梯形．

15.【答案】；

【解析】如图，正六边形中，点为其中心，

以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量有：，，，共个，

与的模相等，且夹角为的向量有：，，，，，，，，共个．

16.【答案】

【解析】此题中，马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走，如图，

以点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共个；

以点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共个．

所以共有个．

17.【答案】②③

三、解答题（共3题）

18.【答案】

(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量方向相同，且长度相等（作图略）．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（作图略）．

19.【答案】

(1)因为，分别是，的中点，

所以，，

又因为是的中点，

所以与共线的向量有，，，，，，．

(2)模与的模相等的向量有，，，，．

(3)与相等的向量有，．

20.【答案】

(1)记出发点为．

当时，如图（），

赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作次可使赛车的位移为，赛车所行路程是