福建省龙岩市连城县姑田中学高三数学理期末试题含解析_第1页
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文档简介

福建省龙岩市连城县姑田中学高三数学理期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.如图所示,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O,四边形ABCD为正方形,则该四棱柱的体积最大时,AB的长是()A.1 B. C. D.2参考答案:D【考点】LR:球内接多面体.【分析】设AB=a,BB1=h,求出a2=6﹣2h2,故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3,利用导数,得到该正四棱柱体积的最大值,即可得出结论.【解答】解:设AB=a,BB1=h,则OB=a,连接OB1,OB,则OB2+BB12=OB12=3,∴=3,∴a2=6﹣2h2,故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3,∴V′=6﹣6h2,当0<h<1时,V′>0,1<h<时,V′<0,∴h=1时,该四棱柱的体积最大,此时AB=2.故选:D.2.若集合,,则(

)A.

B.

C.

D.

参考答案:D试题分析:由题意,.故选D.考点:集合的运算.3.若,则A. B. C. D.参考答案:B故答案为B.

4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.1 B.3 C.7 D.15参考答案:C【考点】程序框图.

【专题】算法和程序框图.【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值,根据条件确定跳出循环的k值,计算输出的S值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值,∵跳出循环的k值为3,∴输出S=1+2+4=7.故选:C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.5.已知函数,且,则

)A.

B.

C.

D.参考答案:B略6.已知双曲线的左顶点为,右焦点为,为双曲线右支上一点,则最小值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A略7.设集合,则下列关系中正确的是(

A.

B.

C.

D.参考答案:B略8.已知等比数列的前项和为,若,且满足,则使的的最大值为(

)(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

参考答案:D略9.已知m为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是(▲)A.若

B.若则C.若

D.若参考答案:D选项A中,若m∥α,α∥β,则m∥β或m?β,故A错误;选项B中,若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m?β,故B错误.选项C中,若m∥α,α⊥β,则m与β平行或相交或m?β,故C错误;选项D中,若m⊥α,α∥β,则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥β,故D正确;

10.已知集合,,则()

A.B.C.D.参考答案:B,,所以,

选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足约束条件,则的最大值等于A.9 B.12 C.27 D.36参考答案:B本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的可行域如图,由图可知,目标函数在点A处取到最大值,解得故选B。12.某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为,为研究这三种产品的质量,现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本,若样本中型产品有件,则的值为

.参考答案:试题分析:因,故,应填.考点:分层抽样的方法和计算.13.若在R上可导,,则____________.参考答案:-18略14.设,满足约束条件,则目标函数的最小值为

.参考答案:1略15.若关于x的不等式的解集恰好是,则

.参考答案:4【详解】试题分析:设,对称轴为,此时,有题意可得;,且,由,解得:(舍去)或,可得,由抛物线的对称轴为得到,所以考点:二次函数的性质二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.16.如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围

.参考答案:【知识点】圆的标准方程;指数函数的单调性与特殊点.B6

H3【答案解析】[].

解析:函数f(x)=mx+1+1的图象恒过点(﹣1,2),代入直线2ax﹣by+14=0可得﹣2a﹣2b+14=0,即a+b=7.∵定点始终落在圆(x﹣a+1)2+(y+b﹣2)2=25的内部或圆上,∴a2+b2≤25设=t,则b=at,代入a+b=7,∴a=代入a2+b2≤25可得,∴12t2﹣25t+12≤0,∴.故答案为:[].【思路点拨】求出函数恒过的定点,代入直线方程,及圆的方程,再换元,转化为t的不等式,即可求出的取值范围.17.若λ为实数,若关于x的方程有实数解,则λ的取值范围是.参考答案:[0,]【考点】54:根的存在性及根的个数判断.【分析】移项得=x﹣2,求出右侧函数的单调性和值域,根据方程有解可判断出解的范围,利用函数图象得出不等式从而得出λ的范围.【解答】解:∵,∴=x﹣2,令f(x)=x﹣2(x≥1或x≤﹣1),显然当x≤﹣1时,f(x)<0,∴方程=x﹣2无解,当x≥1时,f′(x)=1﹣=,∵x2﹣1﹣4x2=﹣3x2﹣1<0,∴x2﹣1<4x2,即<2x,∴f′(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减,令f(x)=0得x=2,解得x=,∴当1≤x≤时,f(x)≥0,当x时,f(x)<0,∴方程=x﹣2的解必在区间[1,]上.令g(x)=(1≤x≤),(1)当λ=0时,g(x)=x,∴g(1)=1,又f(1)=1,∴x=1为方程=x﹣2的解,符合题意;(2)当λ<0时,g(x)=>g(1)=>1,而f(x)≤f(1)=1,∴方程=x﹣2无解,不符合题意;(3)当λ>0,令y=g(x)=,则,∴g(x)的图象为等轴双曲线右支在第一象限内的部分(含右顶点),双曲线的右顶点为(,0),做出f(x)和g(x)的函数图象如图所示:∵方程g(x)=f(x)在[1,]上有解,∴0<,即0<λ≤.综上,0≤λ≤.故答案为:.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(15分)(2015?东阳市模拟)函数f(x)=2ax2﹣2bx﹣a+b(a,b∈R,a>0),g(x)=2ax﹣2b(1)若时,求f(sinθ)的最大值;(2)设a>0时,若对任意θ∈R,都有|f(sinθ)|≤1恒成立,且g(sinθ)的最大值为2,求f(x)的表达式.参考答案:考点: 复合三角函数的单调性.

专题: 三角函数的图像与性质.分析: (1)令sinθ=t∈[0,1],问题等价于求f(t)=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0,1]的最大值,由二次函数区间的最值可得;(2)令sinθ=t∈[﹣1,1],由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为(0,﹣1),进而可得ab的值,可得解析式.解答: 解:(1)令sinθ=t∈[0,1],问题等价于求f(t)=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0,1]的最大值,∵a>0,抛物线开口向上,二次函数的对称轴,由二次函数区间的最值可得(2)令sinθ=t∈[﹣1,1],则|f(t)|≤1可推得|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,|f(﹣1)|≤1,∵a>0,∴g(sinθ)max=g(1)=2,而g(1)=2a﹣2b=2而f(0)=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1,1]时,|f(t)|≤1,即﹣1≤f(t)≤1,结合f(0)=﹣1可知二次函数的顶点坐标为(0,﹣1)∴b=0,a=1,∴f(x)=2x2﹣1.点评: 本题考查二次函数的性质,涉及三角换元和等价转化,属中档题.19.已知(为常数).(1)求的递增区间;(2)若时,的最大值为4,求的值(3)求出使取最大值时的集合.

参考答案:(1)由,所以所以,递增区间为.

(2)在的最大值为,,所以.

(3)由,得,所以.

20.(本小题满分12分)已知向量,设函数(I)求在区间上的零点;(II)在中,角的对边分别是,且满足,求的取值范围.参考答案:【知识点】余弦定理的应用;平面向量的综合题.C8

【答案解析】(I)、;(II).解析:因为向量,函数.所以

3分(I)由,得.,,又,或.所以在区间上的零点是、.

6分(II)在中,,所以.由且,得

10分,

12分【思路点拨】(Ⅰ)利用向量的数量积公式,结合二倍角、辅助角公式化简函数,再求f(x)在区间上的零点;(Ⅱ)利用余弦定理,结合,基本不等式,可得B的范围,再求f(B)的取值范围.21.已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将沿DE折起,如图所示,记二面角的大小为

(1)证明:(2)若为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的身影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的正弦值.参考答案:(1)见证明;(2)【分析】(1)沿折起,其它边不变,可知且,则有四边形为平行四边形,那么,又由于,,故;(2)解法一:过点A作,垂足为G,连接,由于,则有,故点A在CD的中垂线EF上,过点作,垂足为,连接,由已知得,故,则即是,设原正方形的边长为,根据已知边和角的关系可以求得;方法三:点在平面内的射影在直线上证法同法一,建立空间直角坐标系,先求平面CED的法向量,再求平面ADE的法向量,可得二面角的余弦值,进而得到。【详解】解:(1)证明:分别是正方形的边的中点,∴且,则四边形为平行四边形,∴.又,而,∴

(2)解法一:过点作,垂足为,连接.∵为正三角形,,∴,∴在垂直平分线上,又∵是的垂直平分线,∴点在平面内的射影在直线上过点作,垂足为,连接,则,∴是二面角的平面角,即.设原正方形的边长为,连接,在折后图的中,,∴直角三角形,,∴.在中,,∴,则,即.解法二:点在平面内的射影在直线上,连接,在平面内过点作,垂足为∵为正三角形,为的中点,∴.又∵,∴.∵,∴又∵且,∴∴为在平面内的射影,∴点在平面内的射影在直线上过点作,垂足为,连接,则,∴是二面角的平面角,即.设原正方形的边长为,连接,在折后图的中,,∴为直角三角形,,∴.在中,,∴,则,即.解法三:(同解法一)点在平面内的射影在直线上,如图,连接,以点为坐标原点,为轴,为轴,过点作平行于的向量为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形的边长为,连接,.所以,,,,.又平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为.则,即,所以所以,即.【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识,是常考题型。22.如图,椭圆C:的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于A、B两点,直线n:x=4与x轴相交于点E,点M在直线n上,且满足BM∥x轴.(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)证明:直线AM经过线段EF的中点.参考答案:(1)直线AM的方程为y=-x+或y=x-;(2)见证明【分析】(1)直线l与x轴垂直,可得直线l的方程,从而求解出点的坐标,由BM∥x轴可得点坐标,从而得出直线AM的方程;(2)要证直线AM经过线段EF的中点,即证A,N,M三点共线,即证,设出两点,联立直线与椭圆的方程,借助韦达定理从而得证.【详解】解:(1)由c==1,∴F(1,0),∵直线l与x轴垂直,∴x=1,由,解得:故当点坐标为,则点坐标为,此时直线AM的斜率为,直线AM的方程为,∴直线AM的方程为y=-x+;当点坐标为,则点坐标为,此时直线AM的斜率为,直线AM的方程为,∴直线AM的方程为y=x-;故直线AM的方程为y=-x+或y=x-;(

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