福建省龙岩市连城县姑田中学高三数学理期末试题含解析

福建省龙岩市连城县姑田中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】LR：球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．2.若集合，，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D试题分析：由题意，．故选D．考点：集合的运算．3.若，则A． B． C． D．参考答案：B故答案为B.

4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15参考答案：C【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．5.已知函数，且，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.设集合，则下列关系中正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知等比数列的前项和为，若，且满足，则使的的最大值为（

）（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

参考答案：D略9.已知m为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（▲）A.若

B.若则C.若

D.若参考答案：D选项A中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m?β，故A错误；选项B中，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m?β，故B错误．选项C中，若m∥α，α⊥β，则m与β平行或相交或m?β，故C错误；选项D中，若m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥β，故D正确；

10.已知集合，，则（）

A．B．C．D．参考答案：B,，所以,

选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足约束条件，则的最大值等于A.9 B.12 C.27 D.36参考答案：B本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点A处取到最大值，解得故选B。12.某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为

．参考答案：试题分析：因,故,应填.考点：分层抽样的方法和计算．13.若在R上可导,,则____________.参考答案：-18略14.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为

．参考答案：１略15.若关于x的不等式的解集恰好是，则

．参考答案：4【详解】试题分析：设，对称轴为，此时，有题意可得;,且，由，解得：（舍去）或，可得，由抛物线的对称轴为得到，所以考点：二次函数的性质二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．16.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围

.参考答案：【知识点】圆的标准方程；指数函数的单调性与特殊点．B6

H3【答案解析】[]．

解析：函数f（x）=mx+1+1的图象恒过点（﹣1，2），代入直线2ax﹣by+14=0可得﹣2a﹣2b+14=0，即a+b=7．∵定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴a2+b2≤25设=t，则b=at，代入a+b=7，∴a=代入a2+b2≤25可得，∴12t2﹣25t+12≤0，∴．故答案为：[]．【思路点拨】求出函数恒过的定点，代入直线方程，及圆的方程，再换元，转化为t的不等式，即可求出的取值范围.17.若λ为实数，若关于x的方程有实数解，则λ的取值范围是．参考答案：[0，]【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】移项得=x﹣2，求出右侧函数的单调性和值域，根据方程有解可判断出解的范围，利用函数图象得出不等式从而得出λ的范围．【解答】解：∵，∴=x﹣2，令f（x）=x﹣2（x≥1或x≤﹣1），显然当x≤﹣1时，f（x）＜0，∴方程=x﹣2无解，当x≥1时，f′（x）=1﹣=，∵x2﹣1﹣4x2=﹣3x2﹣1＜0，∴x2﹣1＜4x2，即＜2x，∴f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，令f（x）=0得x=2，解得x=，∴当1≤x≤时，f（x）≥0，当x时，f（x）＜0，∴方程=x﹣2的解必在区间[1，]上．令g（x）=（1≤x≤），（1）当λ=0时，g（x）=x，∴g（1）=1，又f（1）=1，∴x=1为方程=x﹣2的解，符合题意；（2）当λ＜0时，g（x）=＞g（1）=＞1，而f（x）≤f（1）=1，∴方程=x﹣2无解，不符合题意；（3）当λ＞0，令y=g（x）=，则，∴g（x）的图象为等轴双曲线右支在第一象限内的部分（含右顶点），双曲线的右顶点为（，0），做出f（x）和g（x）的函数图象如图所示：∵方程g（x）=f（x）在[1，]上有解，∴0＜，即0＜λ≤．综上，0≤λ≤．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）（2015?东阳市模拟）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．参考答案：考点： 复合三角函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．分析： （1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．解答： 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．点评： 本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．19.已知（为常数）．（1）求的递增区间；（2）若时，的最大值为4，求的值（3）求出使取最大值时的集合．

参考答案：（1）由，所以所以，递增区间为．

（2）在的最大值为，，所以．

（3）由，得，所以．

20.（本小题满分12分）已知向量，设函数（I）求在区间上的零点；（II）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．参考答案：【知识点】余弦定理的应用；平面向量的综合题．C8

【答案解析】（I）、；（II）.解析：因为向量，函数.所以

3分（I）由，得.，，又，或.所以在区间上的零点是、.

6分（II）在中，，所以.由且，得

10分，

12分【思路点拨】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，再求f（x）在区间上的零点；（Ⅱ）利用余弦定理，结合，基本不等式，可得B的范围，再求f（B）的取值范围．21.已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将沿DE折起，如图所示，记二面角的大小为

（1）证明：（2）若为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的身影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的正弦值.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）沿折起，其它边不变，可知且，则有四边形为平行四边形，那么，又由于，，故；（2）解法一：过点A作，垂足为G，连接，由于，则有，故点A在CD的中垂线EF上，过点作，垂足为，连接，由已知得，故，则即是，设原正方形的边长为，根据已知边和角的关系可以求得；方法三：点在平面内的射影在直线上证法同法一，建立空间直角坐标系，先求平面CED的法向量，再求平面ADE的法向量，可得二面角的余弦值，进而得到。【详解】解：（1）证明：分别是正方形的边的中点，∴且，则四边形为平行四边形，∴.又，而，∴

（2）解法一：过点作，垂足为，连接.∵为正三角形，，∴，∴在垂直平分线上，又∵是的垂直平分线，∴点在平面内的射影在直线上过点作，垂足为，连接，则，∴是二面角的平面角，即.设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，，∴直角三角形，，∴.在中，，∴，则，即.解法二：点在平面内的射影在直线上，连接，在平面内过点作，垂足为∵为正三角形，为的中点，∴.又∵，∴.∵，∴又∵且，∴∴为在平面内的射影，∴点在平面内的射影在直线上过点作，垂足为，连接，则，∴是二面角的平面角，即.设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，，∴为直角三角形，，∴.在中，，∴，则，即.解法三：（同解法一）点在平面内的射影在直线上，如图，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作平行于的向量为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形的边长为，连接，.所以，，，，.又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为.则，即，所以所以，即.【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识，是常考题型。22.如图，椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A、B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．(1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)证明：直线AM经过线段EF的中点．参考答案：(1)直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－；(2)见证明【分析】（1）直线l与x轴垂直，可得直线l的方程，从而求解出点的坐标，由BM∥x轴可得点坐标，从而得出直线AM的方程；（2）要证直线AM经过线段EF的中点，即证A，N，M三点共线，即证，设出两点，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理从而得证.【详解】解：(1)由c＝＝1，∴F(1，0)，∵直线l与x轴垂直，∴x＝1，由，解得：故当点坐标为，则点坐标为，此时直线AM的斜率为，直线AM的方程为，∴直线AM的方程为y＝－x＋；当点坐标为，则点坐标为，此时直线AM的斜率为，直线AM的方程为，∴直线AM的方程为y＝x－；故直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－；(