2021年新高考真题训练数学试题与答案

2021年新高考真题训练数学试题与答案本文是一篇高考数学试题，共分为八个选择题，每个小题都有四个选项，只有一个是正确的。在回答选择题时，考生需要将答案涂在答题卡上。本文还介绍了一些数学概念，如集合、日晷、流行病学基本参数等。1.集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=？A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}答案为B。A∪B表示集合A和集合B的并集，即两个集合中所有元素的集合。根据题目中给出的集合A和集合B，可以得出它们的并集为{1,2,3}∪{2<x<4}={1,2,3,2<x<4}={2≤x≤3}。2.求2-i÷1+2i的值。A．1B．-1C．iD．-i答案为A。将分式进行有理化，得到(2-i)(1-2i)/(1+4)=5/5=1。3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有多少种？A．120种B．90种C．60种D．30种答案为A。根据题目中的条件，可以得出甲、乙、丙三个场馆的人数分别为1、2、3。因此，可以用排列组合的方法计算不同的安排方法，即6!/1!2!3!=6×5×4/2=120。4.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为？A．20°B．40°C．50°D．90°答案为50°。根据题目中给出的条件，可以得到晷针与水平面所成的角度等于点A处的纬度，即50°。5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是多少？A．62%B．56%C．46%D．42%答案为46%。根据题目中给出的数据，可以得到既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为60%+82%-96%=46%。因此，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%。6.基本再生数R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R=1+rT。有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6。据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为多少天？答案为6.在指数模型中，I(t)表示累计感染病例数，r表示指数增长率。根据题目中给出的公式R=1+rT，可以得到指数增长率r=(R-1)/T=0.5467。因此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为ln2/r≈1.26/0.5467≈2.31天。1.2天、1.8天、2.5天、3.5天分别表示什么含义？请加上相应的单位和解释。7.已知P是正六边形ABCDEF内的一点，则AP×AB的取值范围是什么？8.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是什么？9.已知曲线C:mx+ny=1。当m>n>0时，C是什么曲线？焦点在哪条直线上？10.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，求sin(ωx+φ)的表达式。11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值为多少？12.信息熵是信息论中的一个重要概念。设随机变量X所有可能的取值为1,2,...,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,...,n)，且∑pi=1，定义X的信息熵H(X)=−∑pilog2pi。请回答以下问题：（1）若n=1，则H(X)=？（2）若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大吗？（3）若pi=1/n(i=1,2,...,n)，则H(X)随着n的增大而增大吗？（4）若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,...,m，2m+1-m,...,2m，则H(X)≤H(Y)吗？13.斜率为3的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB的长度为多少？14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为多少？1.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示。O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=3/4，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm²。解析：首先，我们可以发现矩形DEFG的面积为2×12=24cm²。由于A到直线DE和EF的距离均为7cm，因此我们可以通过勾股定理求出AG的长度为√(7²+2²)=√53cm。同时，我们可以通过求出∠OAB和∠OBA的大小，再利用正弦函数求出AB的长度，从而求出圆的面积。最后，阴影部分的面积即为矩形DEFG的面积减去圆的面积。2.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°。以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________。解析：首先，我们可以通过余弦定理求出∠BCC1B1的大小为120°。然后，我们可以通过正弦函数求出BC的长度为2√3cm。接着，我们可以通过勾股定理求出BD1的长度为2√3cm，从而求出D1C1的长度为4cm。最后，我们可以利用球的表面积公式求出球面与侧面的交线长为4√3πcm。3.在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由。问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=3sinB，sinC=5/6？解析：我们选取条件③c=3b。由正弦定理可知，sinA/a=sinB/b=sinC/c，因此我们可以得到sinB=1/3sinA，sinC=5/18sinA。又因为sinA+sinB+sinC=2，代入sinB和sinC的值，得到sinA=12/19，sinB=4/19，sinC=3/19。由于sinA<1，因此满足三角形的条件。接着，我们可以利用正弦定理求出c=3b=9/4a。4.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8。（1）求{an}的通项公式；（2）记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100。解析：（1）由a2+a4=20可得a2=a3×a1，a4=a3×a5，代入得到a1×a5=4。由a3=8可知a2×a4=64，代入得到a1²×a5²=64/a3²=2。因此，a1×a5=2/a1。联立两个式子，得到a1²=4/3，a5²=6。因此，{an}的通项公式为an=a1×r^(n-1)，其中a1=2/√3，r=√6/√3。（2）我们可以发现，bm可以通过求解不等式an≤m得到，即bm=[log(rm×a1)]/log(r)+1。因此，我们可以根据bm的通项公式求出前100项，然后进行求和，得到S100=495。(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)k0.050.010.0013.8416.63510.82820.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD。设平面PAD与平面PBC的交线为l。(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。21.已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna。(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围。22.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的离心率为e，且过点A(2,1)。(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足。证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值。选择题：1.C2.D3.C4.B5.C6.B7.A8.D9.ACD10.BC11.ABD12.AC填空题：13.1614.3n^2-2n15.(5π+4)/2解答题：17.解：方案一：选条件①。由余弦定理和C=(πa^2+b^2-c^2)/(2ab)可得，C=√(9/4-1/4)=√2。由sinA=3sinB和正弦定理可得a=3b。代入条件①ac=3，解得a=3，b=c=1。因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1。方案二：选条件②。由余弦定理和C=(πa^2+b^2-c^2)/(2ab)可得，C=√(9π^2/36-1/4)=π/2。由sinA=3sinB和正弦定理可得a=3b。代入条件②csinA=3，解得a=6，b=c=2/3。因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2/3。方案三：选条件③。由余弦定理和C=(πa^2+b^2-c^2)/(2ab)可得，C=√(9/4-9/4)。由③c=3b，与b=c矛盾。因此，选条件③时问题中的三角形不存在。18.解：(1)设{an}的公比为q。由题设得a1=q+a1/q，解得q=(√5+1)/2，an=(√5+1)^n/2^n。曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为f'(1)=e-1=an，切线方程为y-1=an(x-1)，与x轴、y轴围成的三角形面积为1/2|an|。代入a=e和an=e-1，得到三角形面积为(√5-1)/4。(2)当f(x)≥1时，有aex-1-lnx+lna≥1，即aex≥lnx-1-lna+1。左边的函数是单调递增的，因此当x取最小值1时，右边的值也取最小值，即a≥e^(1-ln2)。注：该文章存在排版混乱、缺少换行和空格等问题，已在编辑时进行了调整。Q3=20，Q2=8。解得Q=-（舍去），Q=2。由题设得A1=2。所以{An}的通项公式为An=2n。根据题设及(1)知B1=1，且当2n≤m<2n+1时，Bm=n。所以S100=B1+(B2+B3)+(B4+B5+B6+B7)+...+(B32+B33+...+B63)+(B64+B65+...+B100)=1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480。解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64，因此该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64/100=0.64。(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：||SO2≤150|SO2>150||------|---------|---------||PM2.5≤75|64|16||PM2.5>75|10|10|计算得K≈7.484。由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关。(3)根据(2)的列联表得K=80×20×74×26/(100×(64×10-16×10)2)。由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关。解：(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD。又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，因此AD⊥底面PDC。BC，AD∥平面PBC，所以AD∥平面PBC。因为AD∥AD，所以l⊥平面PDC。由已知得l∥AD。(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz。则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，DC=(0,1,0)，PB=(1,1,-1)。由(1)可设Q(a,0,1)，则DQ=(a,0,1)。设n=(-1,0,a)是平面QCD的法向量，则n·DQ=0即ax+z=0，n·DC=0即y=0。可取n=(-1,0,a)。所以cos<n,PB>=n·PB-1-a/|n|·|PB|=1+2/(3|a+1|)。设PB与平面QCD所成角为θ，则sinθ=√(1-cos2θ)=√(8/(9|a+1|2+4a))。因为PB∥平面PDC，所以θ=90°-∠DPB，又因为∠DPB=∠APQ，所以tanθ=sin∠APQ/cos∠APQ=QP/AP=√(a2+1)/a。所以sinθ/tanθ=√(8a/(9(a+1)2+4a2))=1/3√(a+1)/(3a+1)。解得a=2/3，所以cos<n,PB>=1/2，sinθ=2/√15，tanθ=√15/2，sinθ/tanθ=2/3。注：原文中第一段的公式应为Q3=20，Q2=8，A1=2，An=2n。第二段中的表格无法在文本中准确呈现，已用文字形式呈现。22.解：由题设得$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$，解得$a^2=6$，$b^2=3$。（1）由题设得$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$，所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。（2）设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$。若直线$MN$与$x$轴不垂直，设直线$MN$的方程为$y=kx+m$，则由$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$得$(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-6=0$。代入$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$得$\frac{4k^2m^2-6m^2}{1+2k^2}=x^2$，$\frac{4km^2-6}{1+2k^2}=y^2$。因为$x^2>0$，$y^2>0$，所以$m\neq0$，$k\neq\pm1$。可得$x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}$。由$AM\perpAN$知$AM\cdotAN=\frac{9}{2}$，故$(x_1-2)(x_2-2)+(y_1-1)(y_2-1)=\frac{9}{2}$。可得$(k^2+1)x_1x_2+(km-k-2)(x_1+x_2)+(m-1)^2+4=0$。代入$x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}$可得$(k+1)^2(2k^2+1)=0$。因为$A(2,1)$不在直线$MN$上，所以$2k+m-1\neq0$，故$2k+3m+1=0$，$k\neq1$。于是$MN$的方程为$y=k(x-\frac{2}{3})-\frac{1}{3}(k\neq1)$。所以直线$MN$过点$P(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$。若直线$MN$与$x$轴垂直，可得$N(x_1,-y_1)$。由$AM\cdotAN$得$(x_1-2)^2+4y_1^2=\frac{9}{2}$。