高中数学第二章复习方案与全优评估课件新人教版必修

要点整合再现高频考点例析阶段质量检测章末复习方案与全优评估考点一考点二考点三考点四1．指数运算在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，达到化繁为简的目的．根式的运算中，有开方和乘方两种运算并存的情况．此时要注意两种运算的顺序是否可换，如当a≥0

时，n

am＝(n

a)m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．2．对数运算同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法．对常用对数的化简要创设情境，充分利用lg5＋lg2＝1来求解：对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简求值．对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．3．指数函数与对数函数的性质的对比指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图像、性质、运算既有区别又有联系．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图像和性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像和性质也随之改变．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)恒过定点(1,0)．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是对数函数y＝

logax(a>0且a≠1)的值域；指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的值域是对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的定义域．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1且x>0)在a>1时都是单调增函数，在0<a<1时都是单调减函数．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，函数图像关于y＝x对称．4．比较指数(对数)大小的方法当需要比较大小的两个实数均是指数(对数)时，可将其看成某个指数函数或幂函数(对数函数)的函数值，然后利用该函数的单调性进行比较．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于0，小于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质进行比较大小．[例1]求值：1322lg49－34lg

8＋lg

245.[解]

法一：132

42lg49－3lg

8＋lg

245＝lg4

2

lg4＋lg7

57

－7

4＝lg(4

2

1

7

5)××＝lg

10＝1

＝1.2lg10

2法二：

1

4

3

1原式＝2(5lg2－2lg7)－3·2lg2＋2(2lg7＋lg5)＝5

12lg2－lg7－2lg2＋lg7＋2lg5＝1

12lg2＋2lg5＝1

112(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.[借题发挥]指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1．化简下列各式的值(1)2

1

1-(a

3

·b－1)·a

2

·b

36

a·b5(2)1(lg32＋log

16＋

1

＋1

15

4

6lg2)

5lg5解：(1)原式＝a

3

b

2

·a-1

1

-1

12

b

31

5a

6

b

6＝a3

2-1

-1

-131

+

1

-516

·b

2 6

＝a.(2)原式＝51[lg32＋2＋lg(

)21

6＋

1lg5]1

1＝1[2＋lg32·

·

]5 64

5＝1(2＋lg

1

)＝1(2＋(－1)]＝1.5

10

5

52．已知logax＝4，logay＝5，试求A＝x3xy2

1

1

2

的值．解：法一：logaA＝21alog

x＋

(1

13

2a

a—

log

x－2log

y)＝1

5

22(6logax－3logay)＝1

5

2

2×(6×4－3×5)＝0.∴A＝1.法二：∵logax＝4，logay＝5，∴x＝a4，y＝a5.

1

1x

2

y21

1∴A＝x

2

·()

6＝x

212

y

31

-

1

-

1-15

5

4

12

53-

1＝x

12

y

3

＝(a

) ·(a

)5

-

50＝a

3

·a

3

＝a

＝1.[例2]

已知x1是方程x＋lgx＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，那么x1＋x2的值为

(

)A．6

B．3C．2

D．1[解析]

∵lgx＝3－x,10x＝3－x，令y1＝lgx，y2＝3－x，y3＝10x，在同一坐标系中作出它们的简图，如图所示．∵x1是方程x＋lgx＝3的解，x2是方程x＋10x＝3的解，∴x1，x2分别对应图中B，A两点的横坐标．∵函数y＝lgx与y＝10x的图像关于y＝x对称，∴线段AB的中点C在直线y＝x上．∴由y＝x3，解得x＝2.y＝3－x∴x1＋x2＝3.[答案]

B[借题发挥]解决本题的关键是构造函数y1＝lgx，y2＝3－x，y3＝10x，将问题转化为函数图像的交点问题．要注意指数函数与对数函数的特殊关系，即y＝ax与y＝logax互为反函数，及其图像的对称性．exa3．设a>0，f(x)＝

a

＋ex在R

上满足f(－x)＝f(x)．求a的值．证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．exa

1解：依题意：对一切x∈R

都有f(－x)＝f(x)则a

＋ex＝aex＋aex.aex所以(a－1 1

－ex)＝0

对一切

x∈R

成立．)(由此可得a1－a＝0，即a2＝1.又因为a>0，所以a＝1.(2)证明：设0<x1<x2，12

ex1

ex2f(x1)－f(x2)＝ex

-

ex+

1

-

11ex1

+

x2＝(ex2

-

ex1

)

+

(-

1)

=

(ex2

-

ex1

)21

-

ex1

+

x+

x 2

.ex1由x1>0，x2>0，得x1＋x2>0，ex1

+x2

>1.ex2－ex1

>

0,1－ex2＋x1

<

0，∴f(x1)－f(x2)<0.即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．4．在y＝2x，y＝log2x，y＝x2

这三个函数中，当0<x1<x2<12时，使f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)2恒成立的函数的个数是()A．0C．2B．1D．3解析：f(1x

＋x2f(x1

2)＋f(x

))>

恒成立的2

2图像是向上凸的，如图所示，故只有y＝log2x

满足．答案：B[例3]比较下列各组中两个数的大小．149(1)

(

)2

，(5

101)3

；log1.10.7，log1.20.7；设a>0

且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，比较P、Q

的大小．[解]

(1)因为底数与指数都不同，19故可选择中间量(10)2

.4

9

1∵5<10，2>0，∴根据幂函数的单调性，1

14

9有(

)2

<(5

109

1

1)2

，又∵0<10<1，2>3.19∴根据指数函数的单调性，有(109)2

<(101)3

.14

9综上所述，(

)2

<(5

101)3

.(2)法一：注意到两个对数的真数相同，可先比较log0.71.1

与log0.71.2

的大小．∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴由对数函数的单调性，得log0.71.1>log0.71.2.又∵log0.71.1<0，log0.71.2<0.∴1

1log0.71.1

log0.71.21.1<

，即

log

0.7<log1.20.7.，法二：也可以利用对数函数图像当底数大于1时，底数越大，在直线

x＝1左侧图像越靠近x轴，由图可知

log1.10.7<log1.20.7.(3)①当0<a<1时，由y＝ax在(－∞，＋∞)上递减知a3<a2，即a3＋1<a2＋1.又当0<a<1时，由于y＝logax在(0，＋∞)上递减，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.②当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.又当a>1时，由于y＝logax在(0，＋∞)上递增，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.故P>Q.[借题发挥]比较几个数的大小，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性比较大小(如本例(2))，采用中间值法也是常考内容(如本例(1))．5．比较下列各组数的大小：

(1)422,333；(2)log0.57与log0.67.解：(1)422＝(42)11＝1611,333＝2711，因为11>0,16>1,27>1，由指数函数y＝16x与y＝27x图像可得1611<2711，即422<333.(2)函数y＝log0.5x与y＝log0.6x的图像相对位置关系如图所示，可得log0.67<log0.57.6．比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．解：法一：根据函数的性质，当x∈(0，＋∞)时，x2，log2x,2x随x的增加而增加．∵0.32<12＝1，log20.3<log21＝0，20．3>20＝1，∴log20.3<0.32<20.3.法二：作出函数图像如图，由图像即可看出log20.3<0.32<20.3.[例4]求函数f(x)＝－3x21－3x＋lg(2x＋3)的定义域．[解]由1－3x>02x＋3>0得－3<x

12

<3.∴f(x)的定义域为{x|－32<x<3}1

．[借题发挥]

解决与对数函数有关的定义域问题，应注意其底数和真数的取值范围．当所列不等式含有参数时，应注意对参数分类讨论．[例5]求函数

y＝2x－

x－1的值域．[解]

函数的定义域是{x|x≥1，x∈R}．令

x－1＝t，则

t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1.∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2.这样就把问题转化为求f(t)＝2t2－t＋2，t∈[0，＋∞)的值域问题．这可以用配方法解决，有y＝f(t)＝2t2－t＋2＝2(t－1

2＋15，4)

88∵t≥0，∴f(t)≥15