第三章二维随机变量及其分布

二维随机变量(X,Y)是一个整体，但是它的分量X和Y也是一维随机变量，各自有着自己的分布。问题:已知(X

,Y

)的分布,如何确定X

,Y

的分布?F

(

x,

y)

=

P{

X

£

x,Y

£

y}

,

F

(

x)

=

P{

X

£

x},P{

X

£

x}

=

P{

X

£

x,Y

<

¥

}

=

F

(

x,

¥

)

=

FX

(

x)(X

,Y

)关于X的边缘分布函数.定义设F

(x,y)为随机变量(X

,Y

)的分布函数,则

F

(

x,

y)

=

P{

X

£

x,Y

£

y}

.令

y

fi

¥

,

称

P{

X

£

x}

=

P{

X

£

x,Y

<

¥

}

=

F

(

x,

¥

)为随机变量(X

,Y

)关于X的边缘分布函数.记为

FX

(

x)

=

F

(

x,¥

).同理令

x

fi

¥

,一、边缘分布函数为必然事件FY

(

y)

=

F

(¥

,

y)

=

P{

X

<

¥

,Y

£

y}

=

P{Y

£

y}为随机变量(X,Y

)关于Y

的边缘分布函数.边缘分布：一个受限制，其它不受限制(取全部值)。

-

¥

<

y

<

+¥y

-

¥

<

x

<

+¥

，,

3+arctan+arctan2

2

2F

(x,

y)=例1.设二维随机变量(X，Y

)的联合分布函数为2x

p1

ppFyfi

+¥X同理，Y

的边缘分布函数为

2

2

3

22yfi

+¥x)=

lim

F

x，

y)=

lim

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

p

2

=

1

p

+

arctan

x

p

2x

˛

-

¥，

+

¥

))y

xfi

+¥Y2

F

(y)=

lim

F(x，

y)=

1

p

+arctan

,

y˛

(-¥，

+¥)p

2试求：X

及Y

的边缘分布函数．解：X

的边缘分布函数为记j

=1,2,,i

=1,2,,分别称

pi•

(i

=1,2,)

和

p•

j

(

j

=1,2,)

为(

X

,Y

)关于X

和关于Y

的边缘分布律.¥i=1p•

j

=

P{Y=

y

j

}

=

pij

,pi•

=

P{X

=

xi

}

=

pij

,j

=1定义

设二维离散型随机变量(

X

,Y

)的联合分布律为

P{X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

pij

,

i,

j

=1,2,.¥二、离散型随机变量的边缘分布律注意记法¥P

{

X

=

xi

}

=

pij

,

i

=

1,2,

;j

=1¥P{Y

=

y

j

}

=

pij

,

j

=

1,2,.i

=1XYx

1x

2x

iy1p

11p

12p

21p

22p

i

1y2p

i

2y

jp

1

jp

2

jp

ij纵横求和，放在边缘上——边缘分布律¥P

{

X

=

xi

}

=

pij

,

i

=

1,2,

;j

=1¥P{Y

=

y

j

}

=

pij

,

j

=

1,2,.i

=1Y.试求(X，Y

)的联合分布律与X

及Y

各自的边缘分布律例2.从1，2，3，4

这4个数中随机取出一个，记所取的数为X，再从1到X

中随机地取出一个数，记所取的数为pi.解：(X

,Y

)的分布律:XY1212341413

41

10001281216111812161

100016161pi

.

=

pij

,

p.

j

=

pijj

i¼¼¼¼p.

j25/4813/487/481/161三、连续型随机变量的边缘密度函数1.

边缘密度函数对于二维连续型R.V.(X

,Y

)，已知其联合密度函数为f

(x,y).X

F

(x)=

F

(x，

+¥

)=-¥ -¥x+¥

f

(u，

y)dy

du+¥-¥+¥-¥f

(y)=Yf

(x，

y)dx分别称f

X

(x),fY

(y)为(X

,Y

)关于X和Y的边缘概率密度。面密度变为线密度——一个取定值，另一个全部求和。则X是连续型随机变量，其密度函数为：f

X

(x)=

f

(x，y)dy同理Y是连续型随机变量，其密度函数为：求fX

(x),fY

(y).0,

其他.6,

x2

£

y

£

x,f

(x,

y)

=

解：fX+¥-¥(

x

)

=y

=

xy

=

x2Oxy(1,1)例3

设随机变量X

和Y

具有联合概率密度f(

x,

y

)d

y+¥-¥Xf

(x,

y)dy

=(x)

=xx26d

y2-

x

).=

6(

x或x

>1时,当0

£

x

£

1

时,

f当x

<0+¥-¥f

(

x

)

=X0,因而得0

£

x

£1,其他.6(x

-x2

),fX

(x)

=f

(

x,

y

)d

y

=

0.同理得：0

其它6(

y

-

y)

0

<

y

<1fY

(y)=均匀分布的边缘分布不是均匀分布(x，

y)˛

D(x，

y)ˇ

Df

(x，

y

=

0)

1/

A四、二维均匀分布与二维正态分布1.

二维均匀分布设D

是平面上的有界区域,其面积为A.如果二维R.V

.(X

,Y

)的密度函数为则称二维随机变量(X

,Y

)服从区域D

上的均匀分布．说明：二维随机变量(X,Y)均匀落在D内，落在D的子区域D1的概率为：D1的面积/D的面积。DD1例4

已知随机变量

(

X

,

Y

)

在

D上服从均匀分布(如图),试求X和Y的边缘密度函数.0-¥2d

y

=

2(x

+1)f

(x,

y)

d

y

=

f

(x)

=x+1X解2,

(x,

y)˛

D,0,

其他.f

(x,

y)

=12S

=xoyy

=

x

+1-

11当-1