第一节-微分中值定理课件

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式

(第三节)推广微分中值定理

与导数的应用

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题1一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理

一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日中值定理三2费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则证毕由保号性费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存3罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b4证证5第一节-微分中值定理ppt课件6几何解释:注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,几何解释:注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立7例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)8二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使几何解释:设:

------连接两端点弦的斜率AB二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连9思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.即要证:思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数10拉格朗日中值定理的其它形式:(1)比如:拉格朗日中值定理的其它形式:(1)比如:11(2)令则(3)介于之间.介于之间,必有,使拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理(2)令则(3)介于之间.介于之间,必有,使拉格朗日12推论:(1)若函数在区间I上满足则在

I上必为常数.证:在I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.(2)若,则证:令而所以即推论:(1)若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证13(3)若,则(3)若,则14例2.

证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.经验:欲证时只需证在I上例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=15例3.

证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有16三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:分析:要证三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a17证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯18柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率19例4.

设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明例4.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,120第一节-微分中值定理ppt课件21例6.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设例6.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,22小结小结23Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.RolleLagrangeCauchy罗尔定理、拉格朗日中值24思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足25第一节-微分中值定理ppt课件26第一节-微分中值定理ppt课件27第一节-微分中值定理ppt课件28备用题求证存在使1.设可导，且