理论力学第二章质点组力学课件

§2.3动量矩定理与动量矩守恒律一、质点组的动量矩定理1.对固定点的动量矩2.相对运动的动量矩描述S系（固定系）S´系（平动系）´oo´ii§2.3动量矩定理与动量矩守恒律一、质点组的动量矩定13.在质心系中分析以上四项s´系的原点固定在质点组的质心上，则：第一项：质心对o点的动量矩3.在质心系中分析以上四项s´系的原点固定在质点组的质心上，2第二项：第二项：3第四项：质点组对质心的动量矩总结：

质点组对一固定点的动量矩等于质心对固定点的动量矩与质点组对质心的动量矩之矢量和。惯性系某一固定点第三项：第四项：质点组对质心的动量矩总结：质点组对一固定点的动44、质点组对固定点o的动量矩定理单个质点：对每质点求和：则：xyOi0合外力对o点的力矩4、质点组对固定点o的动量矩定理单个质点：对每质点求5理论力学第二章质点组力学ppt课件6''对质心的动量矩定理：以质心为原点建立坐标系，则形式与固定参考系一样´oo´ii惯性力矩在动系中质心的位置动系相对静系的平动加速度''对质心的动量矩定理：以质心为原点建立坐标系，则形式与固定7xo选逆时针为正方向绳对质点组的力为内力【例4】xo选逆时针为正方向绳对质点组的力为内力【例4】8解法二：隔离二人并分别用牛顿第二定律选地面为参照系隔离质量为的人，(1)隔离质量为的人，(2)由方程(1)和(2)得二人均以匀加速向上爬对地面的加速度注：也可用对通过滑轮中心水平轴的动量矩定理解法二：隔离二人并分别用牛顿第二定律选地面为参照系隔离质量为9注：若两人质量相等，且，至少有一个人努力就可以同时到达顶端，爬绳所需时间则与两人的努力程度有关。质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件两人能否同时到达顶端与他们共同努力的程度有关，但谁较努力些则无关紧要。注：若两人质量相等，且，至少有一个人质10选【例5】质量分别为m1,m2的两个质点，用一长为a+b的无重刚性杆连接，c为质心（如图所示）。最初处于水平位置，突然给m2以v0的速度，试求两质点此后的运动规律？m2m1abcv0解：

可先确定质心的运动规律，再确定m1,m2对质心的运动规律。1.对象：质点组（m1,m2)2.参照系：地面；坐标系：o-xym1xy选【例5】质量分别为m1,m2的两个质点，用一长为a+b的无113.受力分析外力4.质心运动定理（不考虑内力）分量式：解得：3.受力分析外力4.质心运动定理（不考虑内力）分量式：解得：12其中：质心为竖直上抛运动5.求m1，m2对质心的运动分析特点：m2gm1gabc其中：质心为竖直上抛运动5.求m1，m2对质心的运动分析特点13即任意时刻动量矩等于初始时刻动量矩。设t时刻杆的角速度为ω质点m1，m2相对质心作匀角速转动则：abc即任意时刻动量矩等于设t时刻杆的角速度为ω质点m1，m2相对14§2.4动能定理与机械能守恒定律一、质点组的动能1.质点组中第i个质点的动能。质点组的动能´oo´ii2.动能的相对运动描述S系（固定系）S´系（平动系）§2.4动能定理与机械能守恒定律一、质点组的动能1.153.柯尼希定理引入质心参照系，分析上式3.柯尼希定理引入质心参照系，分析上式16第一项：第二项：第三项：柯尼希定理叙述：质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心的动能之和。相对固定参照系第一项：第二项：第三项：柯尼希定理叙述：质点组的动能等于质心17【例6】一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水平面上向前滚动而不滑动，若圆心的速度为，求圆盘的动能。解：由柯尼希定理圆盘相对于其质心轴作定轴转动cP圆盘作纯滚动的条件：【例6】一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水平面上向前滚18二、质点组的动能定理(在惯性系S中)由第i个质点的动能定理：求和后，叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内力的元功之和。

特点：①内力所作的功不能互相抵消。

二、质点组的动能定理(在惯性系S中)由第i个质点的动能定理：19②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。

三、质点组对质心的动能定理引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能求和：质点组内力做功②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。三、质点组20叙述:质点组对质心系的动能的微分等于外力与内力对质心系的元功之和。

说明（1）质心系一般为非惯性系，但在质心系中质点组的动能定理仍保持与惯性系中相同的形式。（2）惯性力对质点组做功为零。四、机械能守恒定律内力与外力均为保守力或只有保守力做功，则质点组的机械能守恒叙述:质点组对质心系的动能的微分等于外力与内力对质心系的元功21解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力，质点组动量守恒、机械能守恒。（1）选的动量方向为正方向（2）联立方程（1）、（2）解得方程（2）也可用质点组的动能定理代替（3）选【例7】质量为m1和m2的两质点以万有引力吸引，开始时两质点静止且距离为。求两质点相距为时两质点的速度。解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力，质点22选【例8】质量为m1的质点，沿倾角为θ的光滑直角劈滑下，劈的质量为m2，可在光滑水平面上自由滑动，试求：质点从静止开始下滑距离时的速度？m1m2θ分析:①②重力为保守力，地面支持力不做功，m1,m2之间的相互作用内力做功之和为零，质点组机械能守恒。解:(1)研究对象：质点组（m1,m2)选【例8】质量为m1的质点，沿倾角为θ的光滑直角劈滑下，劈的23(2)参照系：水平面；建立oxy坐标系(3)受力分析（4）设m1的速度为，m2的速度为，则(1)m1m2θoxy(2)参照系：水平面；(3)受力分析（4）设m1的速度为24(2)(3)(5)机械能守恒(4)选小球滑下时所在处为零势能位置联立方程(1)(2)(3)(4)解得(2)(3)(5)机械能守恒(4)选小球滑下时所在处25§2.5两体问题一.什么是两体问题(1)问题的提出（地球绕太阳运动，卫星绕地球运动，双星运动，电子绕核运动）(2)两体问题的定义

选择惯性系o-xyzxyzos(M)P(m)c

任何两个相互作用的质点（无外力作用）在惯性系中的运动。二.先确定质心的运动，再确定行星、太阳对质心的运动日心系不是惯性系§2.5两体问题一.什么是两体问题(1)问题的提出（261.确定系统(S,P)质心的运动在惯性系o-xyz中，由质心运动定理质心作惯性运动且系统的动量守恒，即2.确定行星和太阳相对质心的运动在质心系(惯性系)中，行星的动力学方程为s(M)P(m)xyzoc上式用到行星和太阳绕(S,P)系统的质心作圆锥曲线运动，1.确定系统(S,P)质心的运动在惯性系o-xyz中，由27在惯性系o-xyz中，行星的动力学方程为：太阳的动力学方程为：三.直接确定行星相对太阳的运动,并考虑太阳的运动在惯性系o-xyz中，行星的动力学方程为：太阳的动力学方程为28（3）的形式和太阳固定不动时行星的动力学方程完全一样。说明：(1)若M>>m，由上式引起的误差极小，仍可以将太阳视为静止，可视为单体问题处理;

(2)如果M>>m不成立，两质量差别不大，则必须视为两体问题处理;(3)若考虑其他行星的吸引，则为多体问题。表明：考虑太阳的运动后，行星对太阳做圆锥曲线运动，但质量不为m，而是折合质量。(4)（3）的形式和太阳固定不动时行星的动力学方程完全一样。说明：29(5)应用:如当求一个质点m1相对另一个质点m2的运动时，可认为m2不动，但动力学方程中必须把m1换成折合质量。即：如：p96页例题，求m1相对m2的速度。(利用机械能守恒）(4)太阳为非惯性系，在对行星应用牛顿第二定律时须考虑惯性力，应该可以得到方程(4)；方程(4)也说明了另一种修正的方式，即只要把行星的质量用约化质量代替，在质点所受的力上就无需修正，这种方式带来很大的方便。(5)应用:如当求一个质点m1相对另一个质点m2的运动时，30四.对开普勒第三定律的修正四.对开普勒第三定律的修正31当考虑太阳的运动时当考虑太阳的运动时32说明:当m<<M时，对开普勒定律的修正很小，但对质量相近的双星系统，必须考虑修正，双星系统中可能有一颗星是暗星，可以根据两体理论，由亮星的运动导致暗星的发现。例如：木星,地球说明:当m<<M时，对开普勒定律的修正很小，但对质量相近的双33§2.6（选）

实验室坐标系与质心坐标系

一、实验室坐标系即以大地为参照系(静系)研究力学问题。实验室中观察一个粒子对另外一个粒子的散射：特点：由质心运动定理，质心作匀速直线运动，碰撞过程中动量守恒，质点系的动量为若为弹性碰撞：总动能守恒§2.6（选）实验室坐标系与质心坐标系一、实验室坐标34二.质心坐标系在质心坐标系中观察碰撞问题：结论：质心静止，开始两个质点向质心运动，散射后逐渐远离质心。分析：质点系未受外力作用，碰撞前后质点系动量守恒并恒为零。若为弹性碰撞：总动能守恒二.质心坐标系在质心坐标系中观察碰撞问题：结论：质35确定和的关系由速度合成关系标量方程为两式相除得xyoc确定和的关系由速度合成关系标量方程为两式相36对弹性碰撞，碰撞前后系统的总动能不变得再根据最后得对弹性碰撞，碰撞前后系统的总动能不变得再根据最后得37一、变质量物体的动力学方程(惯性系)tmΔmt+Δt

对合并前后（即在Δt时间内），对系统运用质点组动量定理：§2.7变质量物体的运动

一、变质量物体的动力学方程(惯性系)tmΔmt+38展开：取极限，并舍去二阶小量：即：或者

变质量物体的动力学方程展开：取极限，并舍去二阶小量：即：或者变质量39二、讨论1、若dm>0，说明主体的质量在增大（合并）2、若dm<0，说明主体的质量在减小（分离）3、若方程为（雨滴粘附问题）：注：m不是恒量即：二、讨论1、若dm>0，说明主体的质量在增大（合并）404、若方程为：

即：形式和定质量的动力学方程一样，但是实际不一样，此处m为t的函数。

例：一车厢在光滑的水平面上匀加速向右行驶，车厢上方有一漏斗，装有沙子，如图：注：m不是恒量4、若方程为：即：形式和定质量的动力41欲保持原加速度前进，F要增大。5、反推力(火箭)由：即：欲保持推力不变，m增大,减小。（1）若漏斗固定,则：（2）若漏斗和车厢同速度，则：欲保持原加速度前进，F要增大。5、反推力(火箭)由：即42可写成：令：可写成：令：43该方程研究对象是主体m(下面分析一维情况）例：从后面向小船上投沙袋。该方程研究对象是主体m(下面分析一维情况）例：从后面向小船上44理论力学第二章质点组力学ppt课件45【例9】【例9】46理论力学第二章质点组力学ppt课件47解法一：用变质量物体的动力学方程求解

1.研究对象：空中部分链条。

长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌面边缘垂直，开始时链条静止，一半从桌上下垂，如下图所示。求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度？【例10】2.参照系：地面；建立坐标系：桌子边缘为

o点，竖直向下为x轴，如右图所示。ox4.用变质量物体的动力学方程：3.受力分析解法一：用变质量物体的动力学方程求解1.研究对象：空中部分48竖直方向分量形式：即:因为：方程变为：(1)竖直方向分量形式：即:因为：方程变为：(1)49

设线质量密度为