全等三角形的相关模型总结概要

一、角平分线模型应用辅助线：过点G作GE」射线AC,那么点D到直线AB的距离是cm.①2（提示：作DE」AB交AB于点E）,:PN=PQ:,,BC>AB，AD=CD，BD平分经BAC....练习二：已知如图4，四边形ABCD中，00，交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE沿AB向右平移到ΔA'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其他条件不变，如图CF又怎样的数量关系？请证明你的结论..求证：CP平分∠DCB..APBDD213C练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF.练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。DAECBCF练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。BAEFDC.辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB①.如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。2证明：延长BE交AC于点F。,2.分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E.B为AC的中点,,②(FM+FN).练习一、如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。.过点E作EFOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED+∠CAE＝180AA练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。ABDEC..A12CBB2ADDMCF2ADADDCM..AAEEADDAFFD两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使ΔOAC≌△OBC..①、在△ABC中，∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABCAB+BP=BQ+AQ。.2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。证明：如图（1过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，.又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。①如图（2过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。.④如图（5过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。.EEAPPAAP.PPEPP练习一、.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。AEDD练习二、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°,∠B的平分线交AC于D，A求证：AD＋BD＝BCABDC练习三、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°,∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝ABCDAB.练习四、已知：在△ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于D,DFBC,交AC于12练习六、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证1）BF=DF；(2)AD=DE.ADEF练习七、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P.求证：∠APB=∠CPD.练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。AFEGDCBC练习九、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE.AMDBCTEBAFF.CBMCBM中，∠ACB不是直角，而（1EAEDANFBABGEFDAC（1）.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画一对以OP为所在直线为对称轴①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE是∠BAC、∠BCA的角FF.二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过点D作DM⊥AC于M，①、求证：∠ABD=∠ACD；②、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE；③、当点A运动时AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请.EAMByODxC（1）.将△ABD逆时针旋转900，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角（2）.过点C作MCBC，连AM导出上述结论..操作过程：连AD.（1）.使BF=AE（AF=CE导出△BDF≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=1800，导出△BDF≌△ADE..证明：方法一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC..方法二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导出△MEC为等腰直角三角形.AB=AC，BAC=90。，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.OMN的形状，并证明你的结论.②、当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON.②在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE=∠DCF为多少.操作过程：在图3-2中，先将△ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M，D与E重合..)，求∠OCA+∠OCB的c..例题拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即，而是，其他条件不变，求证：∠2=2∠1.三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标..由△ABE≌△BCD导出ED=AE-CD由△ABE≌△BCD导出EC=AB-CD由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD.例1.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BAC=90。，D为AC中点，AF⊥BD于E，交.BC于F，连接DF.求证：∠ADB=∠CDF.方法一:过点C作MC⊥AC交AF的延长线于点M.先证△ABD≌△CAM，再证△CDF≌△CMF即可.方法二：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF，再证△CDF≌△ADH即可.方法三：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF≌Rt△BMH，得出.HF∥AC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位线从而推出MD∥AB，又由于BAC=90。，故而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD为线段HF的中垂线.所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2，则.∠ADB=∠CDF.例1拓展（1已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.求证：①∠ADB=∠CDF.②BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样.②PB＝PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样.AD∥BC，△ABE和△CDFAD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积..解析：如图2-2，过点E、B分别作EN⊥DA，BM⊥DA交DA延长线于点N、M.过点F、C分别作FP⊥AD，CQ⊥AD交AD及AD延长线于点P、Q.∵△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CDF=90。，AE=AB，DF=CD.∵EN⊥DA，BM⊥DA，FP⊥AD，CQ⊥AD，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC=90。.∴∠ENA=∠MBA，∠FDP=∠QCD.∴△ENA≌△ABM，△FPD≌△DQC.∴NE=AM，PF=DQ.∴NE+PF=DQ+AM=MQ-AD.∵AD∥BC，CQ∥BM，∠BMN=90。，∴四边形BMQC是矩形.∴BC=MQS∵AD∵AD=2，BC=5∴NE+PF=5-2=3∴四边形EAFD.ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90。，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP⊥l于点P.求证：2EP+AD=2CD..（2）、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90。，AD∥BC，AB=AC，E是AB的中点，CE⊥BD.BE=AD；②求证：AC是线段ED的垂直平分线；③△BCD是等腰三角形吗？请说明理由.1.△ABE和△ACF均为等边三角形..结论1）.△ABF≌△AEC（2）.∠BOE=BAE=600（“八字模型证明”）（3）.OA平分∠EOF条件：△ABC和△CDE均为等边三角形AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OCOE=OC+OD78）需构造等边三角形证明）2.△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论1）、BE=CD（2）BE⊥CD3.ABEF和ACHD均为正方形.变形一：ABEF和ACHD求证：①M为FD的中点.②.FEHFEHGPDABCI变形二：ABEF和ACHD4．当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：。。IIHJFP12KBCDAGE.结论：AE=AF拓展：若AP平分∠BAD，其他条件不变，求证：AP⊥CF0.（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）.MN=BM+DN②=2AB③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNMABM和△ADN以AM和ANM、P、N三点共线.(∠B+∠D=1800且AB=A