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北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》§3反证法1北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》§3一、教学目标:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点:了解反证法的思考过程与特点。教学难点:正确理解、运用反证法。三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程2一、教学目标:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本综合法特点:复习由因导果由已知结论分析法特点:执果索因即:由结果找条件倒推3综合法特点:复习由因导果由已知结论分析法特点:执果索因即:由思考?A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么?假设C没有撒谎,则C真;由A假,知B真.那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设4思考?A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、
反证法:①假设原命题不成立,②经过正确的推理,得出矛盾,③因此说明假设错误,④从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法反证法的基本步骤:四步得出矛盾的方法:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾。5反证法:①假设原命题不成立,②经过正确的推理,得出矛盾,③应用反证法的情形:(1)直接证明比较困难;(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;(3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样(4)结论为“唯一”之类的命题;6应用反证法的情形:(1)直接证明比较困难;(2)直接证明需例1、已知a是整数,2能整除,求证:2能整除a.证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”。因为a是整数,故a是奇数,a可表示为2m+1(m为整数),则,即是奇数。所以,2不能整除。这与”相矛盾。于是,“2不能整除a”已知“2能整除这个假设错误,故2能整除a.7例1、已知a是整数,2能整除,求证:2能整除a.证明:假设命例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直线c垂直。求证:a与b平行。证明:假设命题的结论不成立,即“直线a与b相交”。设直线a,b的交点为M,a,c的交点为P,b,c的交点为Q,如图所示,则。这样的内角和
。这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾,这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交,即a与b平行。8例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直线c垂直。求证:a与解题反思:证明以上题时,你是怎么想到反证法的?反设时应注意什么?反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类?9解题反思:反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑矛盾归属哪例3.已知四面体S-ABC中,SA⊥底面ABC,△ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的射影.求证:H不可能是△SBC的垂心.解题反思:证明该问题的关键是哪一步?本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类?10例3.已知四面体S-ABC中,SA⊥底面ABC,解题反思:1例4、已知a≠0,证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根。11例4、已知a≠0,证明:关于x的方程ax=b有且只有一个
例5、求证:是无理数。解题反思:本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类?12例5、求证:是无理数。解题反思:12练习:课本练习1.
归纳总结:1.哪些命题适宜用反证法加以证明?笼统地说,正面证明繁琐或困难时宜用反证法;具体地讲,当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词,此外,“存在性”、“唯一性”问题.13练习:课本练习1.归纳总结:1.哪些命题适宜用反证法加以证2.归谬是“反证法”的核心步骤,归谬得到的逻辑矛盾,常见的类型有哪些?归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾,或与已知条件、临时假设矛盾,以及自相矛盾等各种情
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