第6章：模态参数识别的基本理论与技术课件

第一篇离散系统的线性振动第6章模态参数识别的基本原理与方法

第一篇离散系统的线性振动第6章1第6章模态参数识别的基本原理与方法

正问题:动力响应分析取决于数学模型的合理程度反问题:参数识别取决于测试数据和识别方法频域法－利用频响函数的测试数据在频率域识别模态参数。

实模态理论：阻尼矩阵关于振型矩阵能够解耦。复模态理论：特点：同一阶模态下各质点之间不存在相位差不能解耦；各质点之间存在相位差。时域法－直接利用测试的响应时间历程数据进行参数识别。第6章模态参数识别的基本原理与方法第6章模态参数识别的基本原理与方法正问题:动力响应分2

第6章模态参数识别的基本原理与方法§6-1离散系统的传递函数矩阵6.1.1多输入和多输出系统的传递函数

图6.1.1多输入和多输出离散系统传递函数:多输入和多输出物理系统:叠加原理:矩阵形式:F为输入矢量，x为输出矢量，H为传递函数矩阵。§6-1离散系统的传递函数矩阵

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第6章模态参数识别的基本原理与方法

m=n时，H为方阵，且为对称阵；

F为静荷载时，H中的元素为系统的柔度系数；

F为单频率简谐荷载时，为系统的频响函数。6.1.2传递函数矩阵与模态参数之间的关系

运动方程:6.1.2传递函数矩阵与模态参数之间的关系

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第4章多自由度系统的振动

传递函数

复数形式解:运动方程：(4.4.21)单点激振:分量形式:(3)传递函数

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第4章多自由度系统的振动

多输入和多输出离散系统传递函数:单点激振:分量形式:多输入和多输出离散系统多输入多输出系统的传递函数

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.1.2传递函数矩阵与模态参数之间的关系频响函数:矢量形式:第i阶模态传递函数(贡献)矩阵:

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.1.2传递函数矩阵与模态参数之间的关系传递函数矩阵中的任一行元素:属于单点拾振，多点激振情况(如力锤多点激振)。传递函数矩阵中的任一列元素:属于单点激振，多点拾振情况(如激振器单点稳态激振)。结论:对应于第i阶模态传递函数的各行或各列元素之相对比值即为第i阶振型。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.1.3传递函数的图像实部:图6.1.2实频曲线和虚频曲线虚部:实频曲线和虚频曲线奈奎斯特(Nyquist)曲线：YR和YI的关系曲线－导纳圆。(1)单自由度系统频响函数的图像6.1.3传递函数的图像

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第6章模态参数识别的基本原理与方法位移导纳：速度导纳：加速度导纳：(1)单自由度系统频响函数的图像

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第6章模态参数识别的基本原理与方法(1)单自由度系统频响函数的图像位移导纳圆：速度导纳圆：加速度导纳圆：图6.1.3位移、速度和加速度导纳圆(b)(a)(c)

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第6章模态参数识别的基本原理与方法(2)多自由度系统传递函数的图像多自由度系统的传递函数可以看成由一系列的单自由度系统的导纳曲线的叠加。贡献矩阵：元素：图像的形状由Yi()确定；相位特性由risi的符号决定。三自由度系统：图6.1.4三自由度系统及模态振型在1点施加激振力F1，测量1、2和3点的响应H11－原点导纳；H21

、H31－跨点导纳。(2)多自由度系统频响函数的图像

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第6章模态参数识别的基本原理与方法①幅频曲线和相频曲线1、2、3和11均在0°~－180°范围内变化，反共振点(H11)1(H11)2(H11)3①幅频曲线和相频曲线

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第6章模态参数识别的基本原理与方法①幅频曲线和相频曲线反共振点(H21)1(H21)2(H21)3同相叠加

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第6章模态参数识别的基本原理与方法①幅频曲线和相频曲线同相叠加(H31)1(H31)2(H21)3同相叠加

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第6章模态参数识别的基本原理与方法①幅频曲线和相频曲线图6.1.5幅频曲线和相频曲线

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第6章模态参数识别的基本原理与方法②实频曲线、虚频曲线和奈奎斯特图图6.1.6实频曲线和虚频曲线当虚频曲线上相邻的两个峰值位于频率轴同一侧时，幅频曲线上出现反共振点；而位于频率轴两侧时，会出现同相叠加。②实频曲线、虚频曲线和奈奎斯特图

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第6章模态参数识别的基本原理与方法②实频曲线、虚频曲线和奈奎斯特图模态不密集时，奈奎斯特的轨迹图表现为一组导纳圆，分布在实轴的上下方。等效模态刚度：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法§6-2单自由度模型(SDOF)识别法适用范围:各阶模态频率较为分散的情况；(Hsr)1(Hsr)2(Hsr)3(Hsr)1(Hsr)2(Hsr)3模态分散，相互影响较小。采用实模态的识别方法。模态密集，相互影响较大。§6-2单自由度模型(SDOF)识别法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法§6-2单自由度模型(SDOF)识别法特点：只在在某阶固有频率i附近来研究传递函数：Hi()－第i阶模态对传递函数矩阵的贡献矩阵；每个元素视为单自由度系统的频响函数：识别原理：根据单自由度系统频响函数图像的特点。两种方法:分量分析法和矢量分析法(导纳圆识别法)

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第6章模态参数识别的基本原理与方法§6-2单自由度模型(SDOF)识别法识别公式：实部:虚部:等效模态刚度：模态频率比：模态阻尼比：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.1分量分析法

①固有频率ωi的识别求频响函数的虚部对第i阶频率比υi的极值：结论：虚频曲线上的峰值频率为固有频率的近似值。6.2.1分量分析法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.1分量分析法②模态阻尼比ξi的识别求频响函数的实部对第i阶频率比υi的极值：半功率带宽：结论：i可由实频曲线正、负峰值频率的频差求出。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.1分量分析法③模态振型的确定单点拾振，多点激振:采取措施:识别固有频率时，将各测点试验曲线集总平均，消除随机和测试误差；将各条试验曲线的i识别结果加权平均。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.2导纳圆识别法

特点；在复平面上研究传递函数矢端曲线的变化来识别模态参数的实模态分析方法。只考虑第i阶主模态(粘性阻尼系统的速度导纳):实部:虚部:速度导纳圆:圆心坐标和半径不随激振频率变化，是个严格意义上的圆!6.2.2导纳圆识别法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.2导纳圆识别法结构阻尼系统的位移传递函数:实部:虚部:位移导纳圆:

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.2导纳圆识别法①固有频率ωi的识别理想情况下，导纳圆与实轴的交点对应该阶固有频率。更为有效的判据：求矢端曲线上任一点的幅角对υi的变化率频率增加，幅角减小，表明矢端曲线按顺时针走向！极值条件：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.2导纳圆识别法图6.2.1阻尼比ξi的识别图②模态阻尼比i的识别导纳圆可能平移和偏转，改用圆心角计算：为提高识别精度，常取几组数据，再进行平均。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.2导纳圆识别法③模态刚度和模态质量的识别VRmax为导纳圆的直径，圆偏转或偏移时，应设法识别。归一化：④模态振型的确定导纳圆半径：对不同的测点r而言，φsi不变，φri正比于(ρrs)i结论：对不同测点，同阶模态导纳圆半径就是各点振型大小；正负号由i=1处虚频曲线(式6.2.13,图6.1.2)的正负决定。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.3导纳圆识别的最小二乘拟合法

导纳圆识别法属图解法，不适合计算机的程序计算；拟合法：利用实测的数据，采用最小二乘优化算法。导纳圆方程：已知m个测量点数据(xk，yk)，现要拟合该圆。先求各测点偏差：目标函数：令偏差最小，建立求解方程：6.2.3导纳圆识别的最小二乘拟合法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.2.3导纳圆识别的最小二乘拟合法为保证足够的拟合精度，希望至少有7个点以上。导纳圆圆心坐标：导纳圆半径：拟合后，可将分散在圆两侧的实测点回归到圆弧上：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法§6-3多自由度模型(MDOF)识别法实质上是多个模态的同时拟合法，适合于模态较为密集，阻尼较大，导致各模态间互有重叠的情况。传递函数：利用传递函数的实测数据与参数模型(6.3.1)的计算值之间的总方差建立目标函数，再根据目标函数取极小的条件来确定待识的模态参数。识别原理：§6-3多自由度模型(MDOF)识别法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.1最小二乘法简介

a为一组未知参数，希望通过在不同时刻对y及x的观测值来估计a的值。任务：观测序列：

回归方程：矩阵形式：6.3.1最小二乘法简介

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.1最小二乘法简介k=n意味着观测数据中不允许存在任何随机误差;观测和记录中总是有误差存在，所以，应该选k>n;用大量观测数据消除随机误差，以获得a的最佳估计。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.1最小二乘法简介误差序列：目标函数：极值条件：最小二乘意义下的最佳估计：广义逆：比较：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.2松井秀儿法

要点:基于各阶固有频率和模态阻尼比的识别结果，通过线性优化的方法来识别模态振型。传递函数:N—识别模态的阶数

—剩余惯性，表示被截断的低阶模态的综合影响；—剩余柔度，表示被截断的高阶模态的综合影响。6.3.2松井秀儿法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.2松井秀儿法第i阶等效模态质量：传递函数:i=1表示该频段内的第一个拟合模态。(1)最小二乘识别过程n个测点，共有(N+2)×n个待识别参数，组成识别矩阵：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.2松井秀儿法为保证识别精度，每阶模态半功率带宽内选取不少于5～7个点，将各阶模态频率附近有用的试验数据所对应的频率排成一列：

传递函数矩阵：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.2松井秀儿法最小二乘解：每一列对应某一阶振型，一共有N个振型矢量。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.2松井秀儿法(2)方法的改进X和H矩阵都是复的，A矩阵是实的；复数矩阵的乘积和求逆运算，降低了计算速度，增加了误差积累。

实部：虚部：参数拟合只对虚频曲线进行，一方面避免了复数运算，另一方面在虚频分量中不考虑剩余惯性和剩余柔度，简化了计算过程，提高了识别速度。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.2松井秀儿法有了频率和阻尼比的合理估计，该法识别振型是方便和有效的。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.3Klosterman迭代法

特点：事先识别出固有频率，采用迭代格式来识别模态阻尼和模态振型，在拟合过程中要同时利用实频特性和虚频特性的试验数据。实部：虚部：识别方程：6.3.3Klosterman迭代法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.3Klosterman迭代法识别方程：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.3Klosterman迭代法识别方程：最小二乘解:迭代法求解:根据经验设定一组模态阻尼比的初始值，再根据识别的结果逐步修改模态阻尼比。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.3Klosterman迭代法迭代法求解步骤:AI和AR中的N行数据，每行相差同一个因子1/2ξi

；将对应行数据分别相除，对商作平均得ξi的修正值；当两次结果在允许的误差范围之内，则迭代结束；阻尼比对模态识别而言是不敏感的，收敛速度较快。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.4非线性最小二乘直接寻优法

主要思想：把待识参数中的线性与非线性部分分开。线性部分：模态振型，采用最小二乘法加以识别；非线性部分：固有频率和阻尼比，采用直接优化方法。传函虚部：—称为留数，由留数矩阵确定振型。

识别方程：样点频率：若已知ωi和ξi的估计值，则矩阵X变成常数矩阵。6.3.4非线性最小二乘直接寻优法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.4非线性最小二乘直接寻优法最小二乘解：拟合传递函数矩阵：误差矩阵：目标函数：

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第6章模态参数识别的基本原理与方法6.3.4非线性最小二乘直接寻优法拟合过程：①确定拟合的模态阶数及固有频率ωi的初始估计值；②根据实际情况设定各阶振型阻尼比的初始值；③对各阶模态寻优：⑥若i和i的寻优值与初始值在允许的误差范围内，结束。否则，重复③到⑤步，进行新一轮的计算。

⑤

当k=N时，选优结束。由留数矩阵A得振型矩阵；

④识别ξi;

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第6章模态参数识别的基本原理与方法§6-4一般粘性阻尼系统的复模态理论及识别方法§6-5模态参数识别的时域方法§6-4一般粘性阻尼系统的复模态理论及识别方法

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第6章模态参数识别的基本原理与方法习题6.16.1以结构阻尼系统的位移传递函数(6.2.15)为例，试分别推导SDOF模型中的分量分析识别法和导纳圆识别法的识别公式，包括固有频率，阻尼和固有振型。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法习题6.26.2试分别用粘性阻尼系统的位移和加速度传递函数，完成习题6.1中的推导。

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第6章模态参数识别的基本原理与方法习题6.36.3变量y与xi之间满足线性关系：y=a21x1+a2x2+a3x3，试根据下列各个时刻的观察值求ai的最佳估计ti

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7t8