第11章统计学-一元线性回归课件

第11章一元线性回归PowerPoint统计学第11章一元线性回归PowerPoint统计学1第11章一元线性回归§11.1

变量间关系的度量§11.2一元线性回归§11.3利用回归方程进行预测第11章一元线性回归§11.1变量间关系的度量2学习目标1. 相关系数的分析方法一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测用Excel

进行回归学习目标1. 相关系数的分析方法3§11.1变量间关系的度量变量间的关系相关关系的描述与测度相关系数的显著性检验§11.1变量间关系的度量变量间的关系4变量间的关系变量间的关系5函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy函数关系是一一对应的确定关系xy6函数关系

(几个例子)函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为y=px

(p为单价)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2

企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)

、单位产量消耗(x2)

、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3

函数关系

(几个例子)函数关系的例子7相关关系

(correlation)变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy相关关系

(correlation)变量间关系不能用函数关系8相关关系

(几个例子)相关关系的例子父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系相关关系

(几个例子)相关关系的例子9相关关系的描述与测度

(散点图)相关关系的描述与测度

(散点图)10散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关散点图

(scatterdiagram)11散点图

(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据散点图

(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行12散点图

(例题分析)散点图

(例题分析)13散点图

(例题分析)散点图

(例题分析)14相关关系的描述与测度

(相关系数)相关关系的描述与测度

(相关系数)15相关系数

(correlationcoefficient)对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r相关系数

(correlationcoefficient)16相关系数

(计算公式)

样本相关系数的计算公式或化简为相关系数

(计算公式)样本相关系数的计算公式或化简为17相关系数

(取值及其意义)

r

的取值范围是[-1,1]

|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系相关

-1r<0，为负相关

0<r1，为正相关

|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切相关系数

(取值及其意义)r的取值范围是[-1,1]18相关系数

(取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数

(取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.519相关系数

(例题分析)用Excel计算相关系数相关系数

(例题分析)用Excel计算相关系数20相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验21相关系数的显著性检验

(r

的抽样分布)1. r的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态。当为较大的正值时，r呈现左偏分布；当为较小的负值时，r呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量相关系数的显著性检验

(r的抽样分布)1. r的抽样分22相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数b1的检验采用费希尔提出的t检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量：

确定显著性水平，并作出决策若t>t，拒绝H0

若t<t，不拒绝H0相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是23相关系数的显著性检验

(例题分析)对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.0687由于t=7.5344>t(25-2)=2.0687，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系相关系数的显著性检验

(例题分析)对不良贷款与贷款余额之24相关系数的显著性检验

(例题分析)各相关系数检验的统计量相关系数的显著性检验

(例题分析)各相关系数检验的统计量25§11.2一元线性回归一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度显著性检验§11.2一元线性回归一元线性回归模型26小插曲：为什么叫”回归“？

F.GaltonK.Pearson小插曲：为什么叫”回归“？F.Galton27什么是回归分析？

(Regression)什么是回归分析？

(Regression)28回归分析是研究x对y的影响，确切地说是研究x对y数学期望（E(y)）的影响！X叫做自变量（independent），y叫做因变量（dependent）回归分析是研究x对y的影响，确切地说是研究x对y数学期望（E29回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x变量y处于30回归模型的类型回归模型的类型31一元线性回归模型一元线性回归模型32一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示一元线性回归涉及一个自变量的回归33回归模型

(regressionmodel)回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1个数字的因变量(响应变量)被预测的变量1个或多个数字的或分类的自变量(解释变量)用于预测的变量3.

主要用于预测和估计回归模型

(regressionmodel)回答“变量之间34一元线性回归模型描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为

y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数一元线性回归模型描述因变量y如何依赖于自变量x和误差35第11章统计学--一元线性回归ppt课件36第11章统计学--一元线性回归ppt课件37一元线性回归模型

(基本假定)误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=0+

1x对于所有的x值，ε的方差σ2都相同误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)变量和误差项取值是独立的。独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关一元线性回归模型

(基本假定)误差项ε是一个期望值为0的随38第11章统计学--一元线性回归ppt课件39回归方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下

E(y)=0+1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值回归方程

(regressionequation)描述40第11章统计学--一元线性回归ppt课件41第11章统计学--一元线性回归ppt课件42估计的回归方程

(estimatedregressionequation)一元线性回归中估计的回归方程为用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程总体回归参数和

是未知的，必需利用样本数据去估计其中：是估计的回归直线在y

轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x

的值，是Ey

的估计值，也表示x

每变动一个单位时，y的平均变动值

估计的回归方程

(estimatedregression43第11章统计学--一元线性回归ppt课件44参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计45最小二乘估计使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小最小二乘估计使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小46最小二乘估计

(图示)xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾最小二乘估计

(图示)xy(xn,yn)(x1,y47令：

应该满足

称这样得到的称为0,1的最小二乘估计，记为LSE。

令：48

最小二乘估计可以通过求偏导数并命其为0而得到：

这组方程称为正规方程组，经过整理，可得

最小二乘估计可以通过求偏导数并命其为0而得到：49可得

这就是参数的最小二乘估计，其中

可得50最小二乘法

(

和的计算公式)

根据最小二乘法的要求，可得求解和的公式如下最小二乘法

(和的计算公式)根据最小二51估计方程的求法

(例题分析)【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：y=-0.8295+0.037895x回归系数=0.037895表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元

估计方程的求法

(例题分析)【例】求不良贷款对贷款余额的回归52估计方程的求法

(例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示估计方程的求法

(例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示531992年-2003年我国城镇居民人均年消费性支出和人均年可支配收入的有关资料如下表，试计算消费性支出（Y）与可支配收入（X）的样本相关系数，以及Y与X的回归方程。1992年-2003年我国城镇居民人均年消费性支出和人均年可54显著相关？

计算检验的统计量：显著相关？计算检验的统计量：55第11章统计学--一元线性回归ppt课件56【例7-４】我们利用例7-2的表7-1中已给出我国历年城镇居民人均消费支出和人均可支配收入的数据，来估计我国城镇居民的边际消费倾向和基础消费水平。解：Ｙ＝β1＋β2Ｘ＋ε

=50.073÷12-0.7511×62.976÷12＝0.2310样本回归方程为：上式中：0.7511是边际消费倾向，表示人均可支配收入每增加1千元，人均消费支出会增加0.7511千元；0.2310是基本消费水平，即与收入无关最基本的人均消费为0.2310千元。【例7-４】我们利用例7-2的表7-1中已给出我国历年城镇居57回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度58变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示变差因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。59变差的分解

(图示)xyy{}}变差的分解

(图示)xyy{}}60离差平方和的分解

(三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{离差平方和的分解

(三个平方和的关系)SST=SSR61离差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSR)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和离差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST)62判定系数r2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R2＝(r)2判定系数r2

(coefficientofdeter63判定系数r2

(例题分析)【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系判定系数r2

(例题分析)【例】计算不良贷款对贷款余额回64估计标准误差

(standarderrorofestimate)实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为注：例题的计算结果为1.9799估计标准误差

(standarderrorofesti65显著性检验显著性检验66线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著67线性关系的检验

(检验的步骤)提出假设H0：1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F作出决策：若F>F,拒绝H0；若F<F,不拒绝H0线性关系的检验

(检验的步骤)提出假设2.计算检验68线性关系的检验

(例题分析)提出假设H0：1=0不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F=4.28作出决策：若F>F,拒绝H0，线性关系显著线性关系的检验

(例题分析)提出假设确定显著性水平=069线性关系的检验

(方差分析表)Excel输出的方差分析表线性关系的检验

(方差分析表)Excel输出的方差分析70回归系数的检验在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布回归系数的检验在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验检71回归系数的检验

(样本统计量的分布)

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于未知，需用其估计量sy来代替得到的估计的标准差回归系数的检验

(样本统计量的分布)是根据最小二72回归系数的检验

(检验步骤)提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，并进行决策t>t，拒绝H0；t<t，不拒绝H0回归系数的检验

(检验步骤)提出假设确定显著性水平，73回归系数的检验

(例题分析)对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=7.533515>t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系回归系数的检验

(例题分析)对例题的回归系数进行显著性检74回归系数的检验

(例题分析)P值的应用P=0.000000<=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有线性关系回归系数的检验

(例题分析)P值的应用P=0.000075Excel输出的部分回归结果Excel输出的部分回归结果76§11.3利用回归方程进行

估计和预测点估计区间估计§11.3利用回归方程进行

77利用回归方程进行估计和预测根据自变量x

的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计利用回归方程进行估计和预测根据自变量x的取值估计或预测因78点估计点估计79点估计2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同对于自变量x的一个给定值x0

，根据回归方程得到因变量y的一个估计值点估计2.点估计值有对于自变量x的一个给定值x0，根80

y的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得y的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x81y的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计值

，就是个别值的点估计比如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得y的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的82区间估计区间估计83区间估计点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate)区间估计点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误84置信区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信区间为式中：sy为估计标准误差置信区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值85置信区间估计

(例题分析)

【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%

的置信区间解：根据前面的计算结果，已知n=25，

sy=1.9799，t(25-2)=2.0687

置信区间为当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间置信区间估计

(例题分析)【例】求出贷款余额为100亿元86预测区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的预测区间为注意！预测区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值87预测区间估计

(例题分析)【例】求出贷款余额为72.8亿元时，不良贷款95%的置信区间解：根据前面的计算结果，已知n=25，

sy=1.9799，t(25-2)=2.0687置信区间为贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间预测区间估计

(例题分析)【例】求出贷款余额为72.8亿元时88影响区间宽度的因素置信水平(1-)区间宽度随置信水平的增大而增大数据的离散程度(s)区间宽度随离散程度的增大而增大3. 样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小4. 用于预测的xp与x的差异程度区间宽度随xp与x的差异程度的增大而增大影响区间宽度的因素置信水平(1-)89置信区间、预测区间、回归方程xpyxx预测上限置信上限预测下限置信下限置信区间、预测区间、回归方程xpyxx预测上限置信上限预测90§11.4残差分析用残差证实模型的假定用残差检测异常值和有影响的观测值§11.4残差分析用残差证实模型的假定91残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差确定有关误差项的假定是否成立检测有影响的观测值残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程92用残差证实模型的假定用残差证实模型的假定93残差图

(residualplot)表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图用于判断误差的假定是否成立检测有影响的观测值残差图

(residualplot)表示残差的图形94残差图

(形