数学建模-微积分模型

第四章微积分模型今天人们不论从事什么活动都讲究高效益，即希塑所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对彖，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。4.1不允许缺货模型某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不町缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。次订货费用为1元请给出最如果口需求量价值100元，一次订货费用为1元请给出最模型假设：每天的需求量为常数门每次的订货费用为G，每存贮费为G；T天订一次货,每次订Q为0时，立即补充，补充是瞬时为方便起见，将儿0都模型建立将存贮量表示为时间的函数火),20时，进货0件这类小电器，储存量q(0)=2q(/)以需求『的速率递减，直到q(7)=0。易见(4.1)Q=rT(4.1)一个周期的存贮费用c2A一个周期的总费用每天平均费用切诗+字 (4.2)模型求解求丁，使c(T)取最小值。由—=0,得dT上式称为经济订货批量公式。模型解释订货费越高，需求量越人，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小;贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。模型应用将C]=5000,6=1,厂=100代入(4.3)式得7M0天,0=1000件，c=1000元。4.2允许缺货模型超市送配某种小电器的需求品每天的存贮小家电的需求存贮策略(即少货)。一次订货费用存费1元，每元，请给出最某配送中心为所属的几个小电器，假设超市每天对这种量是稳定的，订货费与每个产费都是常数。如果超市对这种是可以缺货的，试制定最优的多长时间订一次货，一次订多如果口需求为100元，为5000超市送配某种小电器的需求品每天的存贮小家电的需求存贮策略(即少货)。一次订货费用存费1元，每元，请给出最与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。于是这个模型的第(1)、(2)条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设每隔T天订货0件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为C3。缺货时存贮量q看作负值，曲)的图形如图4.2,货物在心石时送完。一个供货周期T内的总费用包括：订货费q,存贮费c?住qgdt,缺货费T引g)W，借助图4.2可以得到一个周期总费用为—11C=C]+-c2QT[+—c3r(T-Tl)2每天的平均费用eg牛+哥eg牛+哥d)2T2rT(4.4)利用微分法，令=0=0可以求出最优的7；0值为(4.5)(4.5)(4.6)通过与不允许缺货的模型相比较得到(4.6)显然T'T’Q'vQ，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。(4.6)式表明，缺货费C3越人，“值越小，厂与匚0越接近，这与实际是相符的，因为C3越人，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当C3T+00时，于是TJ—Q。这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分犬，所以不允许缺货。将所给的数据代入(4.6)式得到厂=33天,0=333件,c=301.7元。4.3森林救火模型本节讨论森林救火问题。森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢?队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。从问题中可以看出，总费用包JS•两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面枳，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。记失火时刻为r=o,开始救火时刻为/=“，火被熄灭的时刻为Z=/2o设/时刻烧毁森林的面枳为BQ),则造成损失的森林烧毁的面积为8©)。下面我们设矗确定各项费用。先确定B(t)的形式，研究B\t)比B⑴更直接和方便。B\t)是单位时间烧毁森林的面枳,取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。在消防队员到达之前，即0 火势越来越人，即3立)随/的增加而增加：开始救火后，即/如果消防队员救火能力充分强,火势会逐渐减小，即3()逐渐减小，且当t=t2时，3()=0。救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。模型假设费、救火费及火需要对烧毁森林的损失势蔓延程度的形式做出假设。费、救火费及火损失费与森林烧毁面积B02)成正比，比例系数为位面枳森林的损失费，取决于

和珍贵程度。对于0</</{，火势蔓延程度3()与时间f成正比，比例系数0称为火势蔓延速度。(注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比)。派出消防队员x名，开始救火以后，火势蔓延速度降为0-加，其中2称为每个队员的平均救火速度，显然必须a>Z?/2,否则无法灭火。每个消防队员单位时间的费用为C2,于是每个队员的救火费用为C2(/2-“)，每个队员的一次性开支为C3。模型建立根据假设条件(2)、(3),火势蔓延程度在OGS"时线性增加，在t{<t<t2时线性减小，具体绘出其图形见图4.3。记f=h时，B'(t)=b«烧毁森林面积正好是图中三角形的面积，显然有盹2)=尹『2而且因此B(g)=尹+2(心_0)根据条件算得到救火总费用为Crbx+c^x2 2(Zr_0)加_0(4.7)⑴、(4)根据条件算得到救火总费用为Crbx+c^x2 2(Zr_0)加_0(4.7)问题归结为求x使C(x)达到最小。令空=0dx得到最优的派出队员人数为(4.8)x=卜初+2~0匸］0■ -I(4.8)模型解释(4.8)式包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最低应派出的队员人数，前一项与相关的参数有关，它的含义是从优化的角度来看：当救火队员的灭火速度几和救火费用系数勺增人时，派出的队员数应该减少；当火势蔓延速度0、开始救火时的火势b以及损失费用系数C］增加时，派出的队员人数也应该增加。这些结果与实际都是相符的。实际应用这个模型时，q,c2,c3都是已知常数，0,几由森林类型、消防人员素质等因素确定。

4.4消费者的选择本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？记购买甲乙两种商品的数量分别为如,心，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是5，心的函数，记作6/（如心），经济学中称之为效用函数。Ua，s）=c的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调卞降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点,效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动，UgqJ的值增加。曲线卞对甲乙两种商品的效用函数经完全确定了。别为Pl,p2元，消这些钱买这两种多少钱买甲和乙，最人，即达到最大优状态为消费者对甲乙两种商品的效用函数经完全确定了。别为Pl,p2元，消这些钱买这两种多少钱买甲和乙，最人，即达到最大优状态为消费者当消费者购买两种商品量为5,的时，他用的钱分别为门①和pg于是问题归结为在条件(4.9)卜•求比例p^/p2q2，使效用函数达到最大。这是二元函数求条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足(4.10)dUdU(4.10) y =—殂Pi当效用函数U（如,的）给定后，由（4.10）式即可确定最优比例piqi/p1q2o上述问题也可用图形法求解。约束条件（4.9）在图4.4中是一条直应，此直线必与无差别曲线族中的某一条相切（见图4.4中的0点），则如,么的最优值必在切点0处取得。图解法的结果与（4.10）式是一致的。因为在切点0处直线与曲线的斜率相同，直线的斜率为—pjpr，曲线的斜率为-竺/竺，在0点，利用相切条件就得到（4.10）式。经济学中竺，竺称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）说2式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数UgqJ。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：条件A:ua,q」=c所确定的一元函数q2=^h）是单调递减的，且曲线是呈下凸的。条件a是无差别曲线族ua,g）=c的一嚥特性，这个条件可以用卞面更一般的条件代替。条件B：

巴＞0竺dq2＞。•咚＜。.咚＜0,空

巴＞0竺dq2在条件B中，第一、第二两个式子表示，固定某一个商品购买量，效用函数值随着另一个商品的购买量的增加而增加；££<0(/=1,2)表示，当％占有量较小时，增加务引起的效用函数值的增加应人于升占有量较人时增加％引起的效用函数值的增加；最后一个不等式的含义是，当如占有量较大时增加他引起效用函数值的增加应大于如占有量较少时增加5引起效用函数值的增加。仔细分析可以知道，这些条件与实际都是相符的。也可以验证条件B成立时，条件A—定成立。下面来分析几个常用效用函数的均衡状态。效用函数为”⑷,的)=化—ab>°)叫+切2根据(4.10)式可以求得最优比例为结果表明均衡状态卞购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比的平方根成正比。同时与效用函数中的参数。上也有关，参数“上分别表示消费者对两种商品的偏爱程度，于是可以通过调整这两个参数来改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变效用函数族的具体形状。效用函数为〃⑷,彳2)=/?彳(° <1)根据(4.10)式可以求得最优比例为⑶=阳川=1,2)结果表明均衡状态卞购买两种商品所用的资金的比例与价格无关，只与消费者对这两种商品的偏爱程度有关。效用函数为”(如，?2)=(。臥+砧石)2,(“>0)根据(4.10)式可以求得最优比例为2—=上隹<si=Pg，i=1，2)o*b-p\结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比成反比，与消费者对这两种商品偏爱程度之比的平方成正比。在这个模型的基础上可以讨论当某种商品的价格改变，或者消费者购买商品的总资金改变时均衡状态的改变情况。4.5雨中行走模型的事，因为得一身湿。一件非常重分析奔跑速体是不规则有必要对人我们先给出的事，因为得一身湿。一件非常重分析奔跑速体是不规则有必要对人我们先给出淋雨量与人的形体有关，而人的立体形状，因此为了计算淋雨量,体形状做些假设。为了简化计算，几个相关的假设。模型假设(1)人体的外表面为一长方体(见图4.5)在三维坐标系中，人体外表面相对于雨水的运动有三个方向，由物理学中的运动独立性原理可知，这三个方向上的运动彼此独立，互不干扰，可以分别讨论。不妨设人在三个方向上相对于雨水的速度为叭并让体表分别在垂直于这三个方向的平面上作投影，投影面枳分别记为S],S2，S3°通过等积原理，将这三者拼合成三个相邻表面。设某人在雨中奔跑了f时间，根据等效原理，人体外表面在三个方向上扫过的体积分别为S[vxt,S2vyt,S3vzt9人体扫过的总体枳为V=S{vxt+52vvr+v7r (4.11)计算淋雨量，需要先弄清楚雨水的运动情况。雨水可以视为以一定速度运动且在空间分布均匀的流体，不妨设其质量分布系数为0。当人淋雨时，就普通人而言，看到的只是雨水纷纷而卞。但若换一个角度，建立相对直角坐标系，将雨水视为静止的，那么人就在相对雨水而动了。形彖地说，当雨水被视为静止的，它便和空间保持位置不变，而人则在静止的雨水中穿梭。显然，人的这种运动是相对雨水而言的。而且人在穿梭过程中，外表面不断地扫过一定的空间。根据以上分析，我们可以发现，人的淋雨量m=V.Q (4.12)通常雨水并非垂直下落的，我们将雨水的速度向量分解为垂直速度和水平速度，不妨增加假设：(2)雨水的垂直速度为勺，水平速度为卩2。雨中的人在不停的奔跑，每跨出一步(从一脚起跳到落地)，其重心轨迹可近似为一个抛物线轨迹，因此人在雨中奔跑的重心可视为一系列全等的抛物线，据此，我们给出假设:(2)每个抛物线的长度为厶°，起跳时垂直速度与水平速度分别记为心,"2，从起跳到落地的时间为心，人在雨中奔跑的总距离为厶，不妨假设厶为厶°的整倍数。由物理学的抛体运动定律可得S=2iq/g、Lo=U2tQ=2«1«2/go模型建立计算人在每个方向上的淋雨量：对于垂直方向上，每一个小段的淋雨量为QS.vj.利用相对坐标系得到re[O,/o]时的垂直方向的速度为々=血+耳-剤，这期间扫过的雨水体积=£° =S3(旳+儿一gt)dt=2lt^S\据此计算得到在垂直方向总的淋雨量为加仁—寻如⑺Q一加仁—寻如⑺Q一SMQL。g(4.13)从(4.13)式中可以看出，办(“2)关于水平方向的速度是单调减少的，但与垂直方向速度“1无关。对于前(后)方向的淋雨量，记“2与巾的夹角为Q，显然«e[0,^]o(1)当处[托/2,兀]人跑完全程所需时间为t=L/u2o设在这段时间内S2面上的淋雨量记为加),，易见

叫.=vyS2tQ。利用相对直角坐标系得到该方向的相对速度为卩2="2-v2cosao据此求得my=(1-V2C°Sa)LQS2u->同理可以求出左(右)侧面的淋雨量V丄0S]・u2记厶(◎)=u2记厶(◎)=叫+竹，因此…“ cosa 门人sina「c(«2)=[52(1- )+Si ]LQ (4.14)u2 u2因为COS6Z<0>广2(“2)v0,所以『2@2)关于“2是单调递减的。(2)当ae[0,^/2]通过上述类似的分析可得乃cosa「—Wy=1_ |LQS2"2LQSimx=—sina/3("2)=〃h+〃?v=[S2|j_1-COS6Z|+5112Sma]Z，2(4.15)ll2 "2从(4.14)式或(4.15)式都可以得到，亲平方向的淋雨量均与垂直速度无关，只是水平速度的函数。模型分析当ae[/r/2"]时，总淋雨量w=/i(«2)+/2(w2)由前面的分析知道，加是关于“2的单调递减函数，因此血越人，淋雨越少，直观上说,雨中奔跑的人应跑得越快越好o当ae[0,^/2]时，总淋雨量…\rz、z^r^3V1+^1V2SU1+^2Ill2~v2cosaI /八八加=t("2)+h("2)=QL —= ' <4.16)ll2将上式记为F@2)，下面讨论F@2)的单调性。(i)当sinar>S2cosar时如果“2>v.cosa,F(u2)=Ql\S2+*小+心(»sina-'cosa)〕关于血是单调递减"2的；如果0v“2G2COSQ,Fg)=0L[—S?+'小+心⑻sm°十小°)]关于血是单调递"2减的；根据以上分析得到，加是关于血的单调递减函数，因此小越人，淋雨越少，直观上说,雨中奔跑的人应跑得越快越好。

(ii)当S]sinavS?cosa时如果竺w 辿 ,类似前面的分析可知，F(h2)是关于血的单调递减函"1S?cosa—S]sina数，因此血越犬，淋雨越少，直观上说，雨中奔跑的人应跑得越快越好。如果21> 虽 \\S2cosa—S]sina■八…S3vi+V2(^1sina-S°cosa). 、QL[S2+ ——=-^ = ]上2Nv2cosa)=v “2c 53Vi+v2(5iSincr+s2cosa)1A0L[_S分+ ——U = ),0<u2<v2cosa"2通过分析知道，F(u2)是关于必的单调递增函数，因此血越小，淋雨越少，因此淋雨最少的奔跑速度为"2=“2COSa。模型解释在上面的分析中，我们得到了几种情况下的淋雨量与奔跑速度之间的关系，下面解释它们的实际含义。条件ae[^/2^]表示雨是前面或侧面打来的，此时奔跑得越快，淋雨越少；条件SisinanS2Cosa等价于“耳>,其含义是体侧淋到的雨不少于后背淋到的雨,条件S]sma<S2cosa, 辿 等价于加2 +蚀，其含义是后背淋雨量ViS?cosa-S]sina比其它部位淋到的雨少，这两种:情况都是奔跑得越快淋雨越少；条件Sisinor<S2cosa, > 迫 等价于ni2> ，其含义是后背viS2cosa—S[sina淋到的雨比其它部位的总和都要多，在此条件下，当u2=V2cosa时，淋到的雨最少。此时人奔跑的水平速度与雨的水平速度是一致的，人的体前与体后都淋不到雨。根据以上分析,我们给出逃雨的三条原则：如果雨是从前方或侧面打来的，那么跑得越快越好；如果雨是从后方或侧面打来的，且速度较小，以至于人站在雨中时，后背淋雨还不及其它部分多时，那么奔跑时也是越快越好；如果雨较大，以至于人站在雨中时，后背淋到的雨比身体其它部分还要多，那么奔跑时应使前胸与后背淋不到雨为最优。在这个模型中，我们将人的形体简化为长方体，实际上，我们还可以将人的形体简化为圆柱体，这样计算会简单一些，读者可以尝试建立一个模型进行分析。4.6数值微分与积分4.6.1数值微分微分运算比较简单，任何一个由基本初等函数经过四则运算及复合运算得到的函数，都可以用导数公式或求导法则求出其导数，但是遇到由离散数据或者图形表示的函数就不一样了，这时候我们需要利用相应的数值方法，即利用函数在一些离散点上的函数值推算出某点处导数的近似值。最简单的数值微分公式是用向前似代替导数，即差商近

最简单的数值微分公式是用向前似代替导数，即差商近h(4.17)类似地，也可以用向后差商近似代替导数，即一、f(xQ-h)-f(xQ)八恥 —h(4.18)或者用中心差商近似代替导数(4.19)在几何图形上，三种差商的含义是分别用线段AB.CA.CB的斜率近似代替曲线/(兀)在A点处切线的斜率(见图4.6)。比较这三条直线与过人点的切线发现中心差商更为精确。(4.17)〜(4.19)式分别称为向前差商、向后差商、中心差商。记(4.20)2h式(4.19)称为中点公式。利用泰勒公式得到f\xo)~D(h)= — +力)-/(vo-〃)]2h=f'(Ao)-亦{[/(k)+AfGo)+页/"(Ao)+丁/⑶(Ao+&向]•2 I3-[/Uo)-¥U)+刁广g+专『⑶(兀。-呦】]}=一占斥[厂"(％+師)+/Xv0-02h)]=_；胪厂g+刖)处(_1,1)0由此可以看出，从截断误差的角度来看，步长越小计算结果越精确。由上面的分析可知，采用中点公式时若以缩小步长&来提高精度，一般只能对以分析表达式表示的函数适用，对于数据表示的函数，还要另想方法。对于数据表示的函数，通常用差分与差商作为导数与微分的近似。卞面简要介绍这个思想，并利用这一思想求积分的近似值。为此，将区间[a,b]n等分，取步长h=—,当函n数y=f(x)在分点上用离散数值表示为(m),对于a<xQ<xi<"<xn<b,函数在分点的导数值可以表示为广(心)a广(心)a(4.21)对于两个端点rUo)=卫产j(心)怎»:'jh h为了提高精度可用二次插值函数代替曲线/(x),则在两个端点有八心=—y’r•fUJ=叽十r (4.22)2/7 2h式(4.21)、(4.22)统称为三点公式。高阶导数的近似公式一般要通过插值多项式得到，不过在简单情况下可以直接由一阶

近似式或者泰勒展开式求出，读者自行可以推出如I、•常用的二阶导数近似公式:(4.23)厂（心）=『（心+力一2/（心）+『（心-心h2(4.23)并进一步利用泰勒公式给出（4.23）式的误差估计。4.6.2数值积分在许多实际问题中，常常需要计算定积分/= 的值。根据微积分学基本定理，若被积函数/（X）在区间［“上］上连续，只需要找到被枳函数的一个原函数F（x）,就可以用牛顿一莱布尼兹公式求出积分值。但在实际使用时，往往因为被积函数的复杂性或难以求出原函数等原因，使得求精确值很难或不可能，所以需要用数值方法求某一定积分的近似值。假如/（X）在［匕切上可积，利用定积分的定义t fl h—n/=</Cv）Jx=lim/n,/n=S/（生） （4.24）jt=i n根据定积分的几何意义，可知当"充分大时，可将/“视为积分/的近似值。这里红是取自第k个区间［忑十耳］中的值。该方法的几何意义就是利用一系列小矩形的面枳近似曲边矩形的面积。对于冬的不同选取方到不同的数值积分公式，各种不分公式的精度是不完全一样的。方法求积分的近似值时，需要根的要求，选择一个适合的积分公梯形公式和辛普森公式定积分表示曲线/（X）下的有向面枳。我们先从图4.7上观计算定积分的面积。如果将区间［①切划分”等分，结点分别记为—…<心"，//=—,Hfk= 称为积分步长。如果取耳=兵，公式（4・24）可以表不为I“=h±fk （4.25）式（4.25）称为计算定积分的矩形公式。如果我们用小梯形代替小矩形作为曲边梯形的近似，即利用卑匕代替办，则得到近似公式"L】h+ （4.26）k=l2它的实际含义是利用逐段线性函数作为/（X）的近似，式（4.26）称为梯形求积公式。为了提高计算精度，可以用分段二次插值函数》代替/（切。由于每段都要用到相邻两个小区间端点的三个函数值，所以小区间的数目必须是偶数。记“=2”讥=0丄2,「加-1，在第k段的两个小区间上用三个节点（切D，（心+i,厶阳）,（a-2A+2，/2k+2）作二次插值函数Sa.（a）,然后积分可得£:**:S&（x）dx=— +fzk+2）求〃7段之和就得整个区间上的近似枳分

b_a"2^(4.27)b_a"2^(4.27)=T(/o+ +4工S+2£f2k),h=s k=o k=L公式（4.27）称为抛物形公式（辛普森求积公式）。梯形公式在小区间[xk,Xk+l]上是用线性插值函数兀刃代替/（x）,由泰勒公式得到fa）=T（X）+八（X-Xk）（x-D，鼻e[xk,A7-+J[/（x）-丁⑴皿=丿学）,^-xk）{x-xk+i）dx"岂厂©）梯形公式（4.26）的误差为R{f,Tn）=\l-Tn^f{x）dx-Tn\记M2=maxIf'\x）I，xe（a,/?）,它常口J以粗略地估计，因此•2R（f,T”）S吕MW-C （4.28）上式表明梯形公式（4.26）的误差是，阶的，即是2阶收敛的。还可以求出辛普森公式（4.27）的误差I4/?（ASj<y^M4（/7-a） （4.29）其中M4=max|f⑴（x）|,xe（a,£>）,即误差为肝阶的。从前面的求积公式中可以看出误差随着“的增人（即步长减小）而减小，因此对于给定的误差£限，我们可以根据误差估计式确定适当的步长。由于（4.28）式或（4.29）式都含有高阶导数，一般都不容易估计。在实际求枳过程中，通常用二分法每次将上一次的每个小区间等分为二，因此区间数"增加一倍，随着“的增加，计算精度也随着增加，直至满足精度要求（通常是通过比较前后两次计算值的误差是否满足精度要求来确定是否中断计算）。下面以梯形公式为例说明这一过程。由（4.28）式可知，当口增加一倍时，/-耳”諾⑴”一匚），所以只要|耳”-7；$0，计算出的乙即可满足“-乙板£的精度要求。而每次分点加密一倍时，原分点的函数值几不需要重新计算，只需要求出新分点（忑，耳+】的中点）的函数值（记作仏»即可算出_Zn_2+弭皿_Zn_2+弭皿2k=o(4.30)对于辛普森公式也可作类似处理。4例1对于/«=一,利用表4.1所给的数据，计算积分心防（乂皿。1+V表4.1/(X)=1/(1+%2)数据表忑心）忑/（忑）04.000000005/82.876404491/83.938461543/42.560000001/43.764705887/82.265486733/83.5068493212.000000001/23.20000000解这个问题有精确的答案I=4arctan.v|q=7t=3.141592653c将区间[0」]八等分，即取/?=8,应用梯形公式求得7's(/)=|xl{/(0)+2[/(1)+/(》+/(|)+/(|)+/(|)+/(|)+/(|)]+/(1)}=3.13898850将区间[0,1]四等分，即取〃=4,应用辛普森公式求得54(/)=-ixl{[/(0)+4/(|)+/(!)]+[/(I)+4/(|)+/(|)]+[/(|)+4/(|)+/(|)]+[/(|)+4/(Z)+/(l)]}=3.14159250比较7s，S」的结果，它们都需要提供9个点的函数值，计算屋基本相同，然而精度却有较大差别，辛普森公式的精度相对较高。龙贝格公式从梯形公式和辛普森公式中可以看到，不论哪个近似求枳公式都可以写成如下形式：/“=工) (4.31)其中加是与函数/(X)无关的常数，梯形公式与辛普森公式的区别仅在于虫的取值不同。不同公式近似的精确程度是不一样的，一般用代数精度的概念来衡量求积公式的精度(复化求积公式用阶来衡量)。代数精度是用幕函数作为被积函数，以近似积分与精确值是否相等作为精度的度量标准，有如下定义：设/(x)=xk,用(4.13)式计算1=^f{x)dx,若对于k=0,1,2,--,/??都有/”=/,而当k=m+l时/”工/，则称求积公式/”的代数精度为〃7。容易验证梯形公式的代数精度为1,辛普森公式的代数精度为3。梯形公式与辛普森公式的特点是将枳分区间等分，将分点作为插值节点，用分段插值多项式代替/(对作积分，因而节点数〃给定后节点心是固定的，要构造求枳公式只需要确定(4.31)式中的