第一题已知三角形所在的平面与直角梯形垂直∥,且

11第一题：已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB丄AD,AB〃CD,且AD=DC=2,AB=4.求证：AB丄PD求点C到平面PAD的距离在线段PD上是否存在一点M，使得AM〃平面PBC面PAD丄面ABCD面PAD面PAD丄面ABCD面PADI面ABCD=AD证明：(1)ABu面ABCDAB丄AD=AB丄面FAD.ab丄PDPDu面PAD丨(2)由VC-PAB即1h-S3二VP-ABC=1PE-SAPAB3AABCh=(或过D作PA的垂线，求垂线段的长)(3)假设PD上存在点M，使得AM〃平面PBC.在平面PDC内过点M作MN在平面PDC内过点M作MN〃DC交PC于N,连接BN,面AMNBI面PBC=NB、则AM//面PBCAM//NBAM工面PBC““〃CD匚MN//ABCD//ABJ所以平面AMNB是平行四边形所以MN二AB这与MN<CD<AB矛盾，所以假设不成立，即在线段PD上不存在一点M，使得AM〃平面PBC.2x第二题：已知P(x,y)，P(x,y)2x第二题：已知P(x,y)，P(x,y)是函数f(x)=图象上的两点，且---2222x+41uuuruuuruuur点P、A、B共线，且CP=xCA+xCB12111uuur1uuuruuurOP=_(OP+OP)，212(1)求P点坐标(2)若S=迥f()2011i=12011)求S20113)若S3)若S-)，记T为数列nnni=1(S+®)(S+Qj前n项的和'nn+1若T<a(S+p2)时，对一切neN*都成立，试求a的取值范围。nn+1uuuruuuruuur解(1)QP.A.B共线且CP=xCA+xCB,x+x=11212又Qf(又Qf(x)+f(1-x)=2x21-x2x+21-x+72「+J=12x+、［22x+、：22x2)S2011i=1f(2)S2011i=1f(2011)=1201122011)+L+f(型f(竺)20112011nnnni=1nnnn-1・S=f(1)+f(—)+Lf(-)+f(丄)nnnn・S=n+1•-迈n2令b=n(S+142n・T—<2)(S+2)(n+1)(n+2)•.丄nn+2nn+12nn+24n4n4(3)S=》f(i)=f(丄)+f(2)+Lf(匕!)+f(1)・•・S2011=f(―)+f(―)+L・•・S2011=f(2011201120112011・2S=2010nS=100520112011TOC\o"1-5"\h\z<ana>==—n+22(n+2)2n2+4n+44'’n+—+4n1a>—2第三题：如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.uuuruuuruuur若BD=xAE+yAF，求x+y的值；若矩形ORTM的边长OR=7若矩形ORTM的边长OR=7,OM=8，试求小正方形的边长；现向矩形ORTM内任意投出一个点P,求点P落入五个小正方形内的概率.uuuruuuruuuruuuruuur解析：(1)由平面向量的加减运算可知BD=AD-AB，而AD=2AE,uuuruuuruuuruuuruuur解析：(1)由平面向量的加减运算可知BD=AD-AB，而AD=2AE,uuuruuuruuuruuuruuurAB=AH+HB=2AF-AE,uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur故BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.注意到uuuruuuruuuruuuruuurAE、AF不共线，根据平面向量基本定理，比较BD二xAE+yAF与uuuruuuruuurBD=3AE—2AF可知x二3，y=-2，x+y=1.MCRABuuuruuur(2)因为AE丄AF以射线AI、AD的方向分别为x轴、y轴的正向建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为a得A(0，0)、B(2a,-a)、C(3a,a)、D(0,2a).设直线MDT的斜率为k,则MDTy=kx+2a(k>0)，OBR:y=kx-a(2k+1)，MAO:y=-—x，k13a、亠a(2k+3)nTCR:y=-—x+a+.由此可得直线MDT、OBR之间的距离是=8，直线kk^k2+1MAO、TCR之间的距离是a(3+1)k由此可解得k=2，,a=，即小正方形的边长为J5.解法二：设锐角ZMAD=0，设小正方形的边长为a，则由右图可得消去0解得边长为a==a-sin0+3a-cos0,/(1=a消去0解得边长为a==a-cos0+2a-sin0+2a-cos0.I2=a-cos0.(3)设“向矩形ORTM内任意投出一个点P,点P落入五个小正方形内”为事件E，…、5S5(75)225由几何概型可知，点P落入五个小正方形内的概率P(E)=w==.S7x856X第四题：设函数f(x)=x2+2x-10的导函数f'(x)，数列｝的各项均为正数且na=6，f(a)=a[f'(a)+7]1nn-1n求证：数列｛a+2｝是等比数列;n求数列｛a｝的前n项和S；nn(3)若数列｛b｝满足b二f()>-，求n的最大值.nna900n解析：(1)证明：Tf(x)=x2+3x-10=2x+3设c=a+2，则a=c—2,nnnn•/f(a)二a[f'(a)+7],TOC\o"1-5"\h\znn-1n・•・f(c—2)二(c—2)[f(c—2)+7]nn-1n・•・(c—2)2+3(c—2)—10二(c—2)[2(c—2)+3+7]nnn—1n•:c2+3c—2cc—6c=0nnnn—1n—1(c—2c)(c+3)二0nn—1n•/a>0，.:c=a+2>0，.:c+3>0,c=2cnnnnnn—1c=a+2=6+2=8，所以数列｛c｝是首项为8,公比为2的等比数列,11n即数列是等比数列.证毕.另证：Tf(x)=x2+3x—10，.:f'(x)=2x+3*.*f(a)=a2+3a—10=(a+5)(a—2),nnnnnf(a)+7=2a+3+7=2(a+5),nnn又f(a)=a[f(a)+7].TOC\o"1-5"\h\znn—1n・(a+5)(a—2)=2a(a+5)nnn—1n•/a>0，.:a+5>0，.:a—2=2annnn—1•:a+2=2(a+2)nn—1a+2=8，所以数列是首项为8,公比为2的等比数列•证毕.1(2)*.*c=c-2n-1=8x2n-1=2n+2=a+2，.:a=2n+2—2,ngN*n1nnS=a+a+L+a=23+24+L+2n+2—2n=2n+3—2n—8n12n(3)Tx>0时，f(x)=2x+3>0f(x)在(0,+8)上单调递增.

8909~900=-91-10=上90-10=(丄)8909~900=-91-10=上90-10=(丄)2+3X—-10=f(丄)90090030303018909111由b—f()>—f()，得—>—,na90030a30nn即a<30=an3•・•a>0且递增，・•・n<3,n的最大值是3.n另解：*•*b—f()—()2+3()—10——aaa8909900nn11119119111・•・(一)2+3()—二(+)(—)—0.aa900ann30a30n191a>0，.:—+—>0,na30n11——0,・・.a<30a30n*.*a=2n+2—2<30，.:a=2n+2<32=2s,nnn+2<5n<3,n的最大值是3.第五题：阅读下列算法，指出当输入的四个数为1，1，0，0时，最终输出的结果是什么？输入a,b,c,nn—n+1a~2ab-b+2c~c+abS6若cW2011，则转S2，否则执行S7S7输出n,c解析：从数列角度看该算法，S3可以看作a=2a(neN),，同样，S4可以看作n+1nb=b+2(neN),S5可以看作c=c+ab(neN)，当输入的四个数为1,1,0,0,n+1nn+1nn+1n+1即表示a=1,b=1,c=0。000此时a=2n,b=2n+1,c=ab+ab+A+ab=3-2+5・22+A+(2n+1)・2n(1)nnn1122nn2c=3-22+5-23+A+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+i(2)n