离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差方差、标准差的定义及方差的性质方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2・・・x1・・・xnPp1P2・・・p.1・・・pn方差D(X)=丈(x—E(X))2p.i^r11标准差为方差的性质：D(aX+b)=a2D(X).随机变量与样本方差的关系随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差.两个常见分布的方差若X服从两点分布，则D(X)=p(1—p).若X〜B(n，p)，则D(X)=np(1—p).O判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.()⑵若a是常数，则D(a)=0.()离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()答案：(1)X(2)V(3)V&已知X的分布列为X1234P11114364则D(X)的值为()29A卫12129A卫12117917答案：Ca已知x的分布列为X012111P333设Y=2X+3，则D(Y)=.8答案：30已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20，则p=，np=30,解析：由E(X)=30,D(X)=20，可得｛/、［np(l—p)=20,解得P=|.答案：3探究点i求离散型随机变量的方差例丄袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=l,2,3,4).现从袋中任取一球，E表示所取球的标号•求E的分布列、均值和方差.【解】由题意得，E的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(E=0)=齐2,P(^=1)=20，TOC\o"1-5"\h\z213P(^=2)=^=^，p(e=3)=2?41P(E=4)(4)205.故E的分布列为E01234P1丄丄3122010205所以E(E)=0x2+1X20+2X^0+3x20+4X5=1.5,D(E)=(0—1.5)2x|+(1—TOC\o"1-5"\h\z11315)2X+(2—1.5)2X+(3—1.5)2X+(4—1.5)2X：=2.75.2010205［变条件］在本例条件下，若n=aE+b,E(n)=1,D(n)=11，试求a,b的值.解：由D(aE+b)=a2D(E)=ll,E(aE+b)=aE(E)+b=l,及E(E)=1.5,D(E)=2.75,得2.75a2=ll,1.5a+b=l,解得a=2,b=—2或a=—2,b=4.求离散型随机变量的方差的步骤明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果.求出随机变量取各个值的概率.列出分布列.⑷利用公式E(X)=xp+xp-Ixp-Ixp求出随机变量的期望E(X).1122iinn代入公式D(X)=(x—E(X))2p+(x—E(X))2p+•••+(x—E(X))•p-…-(x—1122iinE(X))2p求出方差D(X).n代入公式o(X)=\,'D(X)求出随机变量的标准差o.匙监训I就甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投3篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4•在前3次投篮中，乙投篮的次数为E,求E的分布列、期望和方差.解：乙投篮的次数E的取值为0,1,2.111P(E=0)=一乂一=一；TOC\o"1-5"\h\z($0)3八39；12,217P(E=D=3x3+3x4=1831P(E=2)=3X4=夕故E的分布列为E012P1719182TOC\o"1-5"\h\z1,7125e(E)=ox9+1x^+2x2=1825、1,/25、7,/25、1149D(E)=(0—五)2X9+(1—五)2X^+(2-五)2X2=五探究点2两点分布与二项分布的方差例2—出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是*(1)求这位司机遇到红灯数E的期望与方差;

(2)若遇上红灯，则需等待30S,求司机总共等待时间n的期望与方差.【解】(1)易知司机遇上红灯次数E服从二项分布，且E〜B(6,1),1114故E(E)=6X§=2,D(E)=6X3X(1—§)=3.(2)由已知n=30E,故E(n)=30E(E)=60,D(n)=900D(E)=1200.正确认识二项分布及在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布,就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程.⑵对于二项分布公式E(X)=np和D(X)=np(1—p)要熟练掌握.皿必训虬抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.若抛掷1次，求E(X)和D(X)；若抛掷10次，求E(X)和D(X).解：(1)X服从两点分布X01P1122所以E(X)=p=2,D(X)=p(1—p)=1』1-2)=4・⑵由题意知X〜b[10,2)，所以E(X)=np=10X-2=5,D(D(X)=np(1—p)=10x|x52.探究点3方差的实际应用例§甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y,且X,Y的分布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3求a,b的值；计算X,Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,得a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,得b=0.4.⑵E(X)=1X0.3+2X0.1+3X0.6=2.3,E(Y)=1X0.3+2X0.4+3X0.3=2,D(X)=(1—2.3)2X0.3+(2—2.3)2X0.1+(3—2.3)2X0.6=0.81,D(Y)=(1—2)2X0.3+(2—2)2X0.4+(3—2)2X0.3=0.6.由于E(X)>E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙髙，但D(X)>D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平髙.在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度•通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.皿必训虬最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案.第一种方案:李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点,应该将10万元全部用来买股票.据分析预测：投资股市一年后可以获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为2；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况22311发生的概率分别为555第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．解：若按方案一执行，设收益为E万元，则其分布列为4-2P1122E的数学期望E(^)=4x|+(-2)X2=1.若按方案二执行，设收益为H万元，则其分布列为:20-1P311———555311H的数学期望E(H)=2X5+0X5+(-1)X5=1.若按方案三执行，收益y=10X3%=0.3,因此E(E)=E(n)>y.又D(^)=(4-1)2x|+(-2-1)2x2=9,118D(H)=(2-1)2X+(0-l)2X+(—1—1)2X】=U.5555由以上可知D(E)>D(n).这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1.已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示，则随机变量X的方差D(X)等于()X01P2m101012C-3D・31122(2、解析:选B.由题意可知：+2m=l,所以m=§,所以E(X)=0乂3+1乂§=3,所以D(X)=(°一3丿21(岔222运+〔1—3丿x3=9.2．已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概12率均为1，该同学一旦通过某所髙校的考试，就不再参加其他髙校的考试，设该同学通过髙校的个数为随机变量X,则D(X)=()5B.45B.41625C25C—C.64D・64解析：选A.因为X的取值为0,1,p(x=o)=|x2=|,1,113133所以e(x)=0乂4+1乂4=4,…、91,133「、”D(X)=^x4+忆x4=1i故选a.3．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为E,求E(E)和D(E).解：E的可能取值为6,9,12.E=6表示取出的3张卡片上都标有2,C37贝UP(E=6)=c*=15.C13015E=9表示取出的3张卡片上两张标有2,一张标有5,C2C17则P(E=9)=百=1510E=12表示取出的3张卡片上两张标有5,一张标有2则P(则P(E=12)=C1C282C3丄15.所以E的分布列为E6912P77丄151515771所以E()=6X15+9X15+12X15=7.8,771D(E)=(6—7.8)2X15+(9—7.8)2X15+(12—7.8)2X15=3.36.知识结构深化拓展■&凰+m¥1V11翱护響簞…一对随机变量X的方差、标准差的五点说明随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度.标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛.D(X)越小，随机变量X的取值越稳定，波动越小.⑸方差也可以用公式D(X)=E(X2)—(E(X))2计算(可由D(X)=£i=1(x—E(X))2p.展开得到).ii[A基础达标][1,A发生，1.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=m,令随机变量E={—4,则E的〔0,A不发生，方差D(E)等于()A.mB.2m(1—m)C.m(m—1)D.m(1—m)解析：选D.随机变量E的分布列为：E01P1—mm所以E(E)=0X(1—m)+1Xm=m.所以D(E)=(0—m)2X(1—m)+(1—m)2Xm=m(1—m).如果X是离散型随机变量,E(X)=6,D(X)=0.5,X1=2X—5,那么E(*)和D(X)分别是()A.E(X)=12,D(X)=1

E(X1)=7,D(X1)=1E(X)=12,D(X)=2E(X)=7,D(X)=2解析：选D.E(X])=2E(X)—5=12—5=7,D(X])=4D(X)=4X0.5=2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得－1分,则得分X的均值与方差分别为()A．E(X)=O,D(X)=1B．A．E(X)=O,D(X)=1B．e(x)=2.D(X)=|C．E(X)=O,D(X)=1D．e(x)=2,D(X)=1解析：选A.解析：选A.由题意知,随机变量X的分布列为X-11P22所以E(X)=(-1)x|+1x|=0,D(X)=1X(-1-0)2+2x(1-0)2=1.已知X的分布列如下表所示：X-101P1111231则下列式子：①e(x)=-§；②d(x)=27；③p(x=o)=§.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选C.由分布列知p(x=o)=3,E(x)=(-i)xi+ox3+ixl=-2+6=-3，d(x)=2x[-i+3j+3x〔0+3J+〔i+3J乂6=9,故只有①③正确.

21设随机变量E的分布列为P(E=k)=Ck(§)k・(3)nr,k=O,l,2,…，n,且E(E)=24,则D(E)的值为()A.8B.122C.D.1692解析：选A.由题意可知E〜B(n,3),2所以§n=E(E)=24.所以n=36.222所以D(E)=nX§X(l—3)=9X36=8.牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病的牛的头数为E,则D(E)等于.解析：因为E〜B(10,0.02),所以D(E)=10X0.02X(l—0.02)=0.196.答案：0.196随机变量E的取值为0,1,2.若P(E=0)=g,E(E)=1,则D(E)=.5解析：设P(E=1)=a,P(E=2)=b,则＜5则＜5+a+b—1，解得＜、a+2b=1.3a=5‘〔b=5,1312所以d(e)=5+5xo+5xi=5.答案58•随机变量E的分布列如下，其中a,b,c成等差数列•若E(E)=3,则D(E)的值为1P1Pa23bc解析：因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b.又因为a+b+c=1,所以b=|.又因为E(E)5111=a+2b+3c=§，所以a=2，b=§,c=&,所以E的分布列为E123P2365151515所以。（£）=（1—3）2乂2+（2—3）2乂3+（3—3）2乂6=9・5答案：9已知n的分布列为n010205060P12丄_2_丄35151515求n的方差及标准差；⑵设Y=2n—E(n),求D(Y).121211解：(1)E(n)=0X3+10X5+20Xi5+50Xi5+60Xi5=16,D(n)=(0—16)2X§+(10—212116)2x5+(20—16)2x15+(50—16)2x15+(60—16)2x15=384,“Jd(n)=^6.因为Y=2n—E(n),所以D(Y)=D(2n—E(n))=22D(n)=4X384=1536.从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量E表示所选3人中男生的人数.求E的分布列；求E的均值与方差；C°・C32C1・C24解：(1)E可能取的值为0,1,2,且P(E=0)=-V5=7,P(E=1)=-V-5=-,P(E=TOC\o"1-5"\h\zC737C737、C2・C112)=W^=,C737所以E的分布列为E012P241—7772416(2)已(2)=0乂7+1書+2乂7=7,D(E)=D(E)=0-6J2(6)24(6)2x7+l1-7jx7+l2-7jx1140207=343=49'[B能力提升]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量E,n,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.⑴求E,n的分布列；(2)求E,n的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.解：(1)依题意0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1—(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以E,n的分布列分别为E10987P0.50.30.10.1n10987P0.30.30.20.2(2)结合第一问中E,n的分布列可得E(E)=10X0.5+9X0.3+8X0.1+7X0.1=9.2,E(n)=10X0.3+9X0.3+8X0.2+7X0.2=8.7,D(E)=(10—9.2)2X0.5+(9—9.2)2X0.3+(8—9.2)2X0.1+(7—9.2)2X0.1=0.96,D(n)=(10—8.7)2X0.3+(9—8.7)2X0.3+(8—8.7)2X0.2+(7—8.7)2X0.2=1.21,由于E(E)〉E(n),说明甲平均射中的环数比乙髙；又D(E)<D(n),说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p,设E为成活沙柳的株数，数学期望E(E)=3,标准差JD(E)=申.求n,p的值并写出E的分布列；若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.解：因为每一株沙柳成活率均为p,种植了n株沙柳，相当于做n次独立重复试验，因此E

服从二项分布E〜B(n,p).3⑴由E(E)=np=3,D(E)=np(l—p)=2,得1-P=2‘从而n=6,p=2.E的分布列为:得P得P(A)=1+6+15+202164=32.E0123456P丄61520156丄64646464646464⑵记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(EW3),(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300WX〈700700WX〈900X2900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求：工期延误天数Y的均值与方差；在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.解：(1)由已知条件有P(X<300)=0.3,P(300WX〈700)=P(X<700)—P(X<300)=0.7—0.3=0.4,P(700WX〈900)=P(X<900)—P(X<700)=0.9—0.7=0.2.P(X±900)=1—P(X〈900)=1—0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3,D(Y)=(0—3)2X0.3+(2—3)2X0.4+(6—3)2X0.2+(10—3)2X0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.⑵由概率的加法公式，得P(X±300)=1—P(X〈300)=0.7,又P(300WX〈900)=P(X<900)—P(X<300)=0.9—0.3=0.6.

由条件概率，得P(YW6|X2300)=P(X〈900|X2300)=—pd|300)—=罟=76故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是离散型随机变量的均值与方差(强化练)1.已知随机变量X的分布列为X123Pp1P2P3且已知E(X)=2,D(X)=0.5，求p1，p2,p3.解：根据题意得厂P]+P2+P3=1,①<p+2p+3p=2,②123、p(1—2)2+p(3—2)2=2,③132由③得p1+p3=2,④上式代入①得p2=2，代入②得p1+3p3=1,11-1p1-42．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1,2,3,…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖,奖金240元；其余情况无奖金.求：员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数的方差是多少？解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C；0=120,设甲抽奖一次所得奖金为E,则奖金E的可能取值是0,30,60，240，所以P(E=240)=120,8P(E=60)=面=丄8P(E=60)=面=丄15,…、7X2+6X7P(E=30)=—120—715,115_7=1115=24所以E的分布列是(2)由(1)(2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1－11_1324=24'四次抽奖是相互独立的，03060240P117丄1241515120711所以已遂)=30塔+60勺+240乂面=20.所以中奖次数n〜BI4'规13所以13所以D(n)_4X2^X1114324_144.3．为了丰富学生的课余生活'促进校园文化建设'我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的均值和方差.解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A,则P(A则P(A)_A2XA424A6丄15*所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为吉(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X_0)_A2XA525=A6P(X_1)_4XA2XAP(X_0)_A2XA525=A6P(X_1)_4XA2XA4A6■4P(X_2)_A4XA2XA323"A615’P(X_3)_A3XA2XA2422A6215,P(X_4)_A4XA2■4A6丄15.随机变量X的分布列为X01234

p141_2_丄315515151412144]24)214]2d(x)=3l°_3丿+蓟_3丿+5l2_3丿+4]24)214]2d(x)=3l°_3丿+蓟_3丿+5l2_3丿+315334.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率；用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量都不低于100个且另1天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,P(A2)=0.003X50=0.15,P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2，3,相应的概率为P(X=0)=C0^(1—0.6)3=0.064，P(X=1)=C3•0.6X(1—0.6)2=0.288,P(X=2)=C2•0.62X(1—0.6)=0.432,3P(X=3)=C3^0.63=0.216.所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X〜B(3,0.6)，所以期望E(X)=3X0.6=1.8,方差D(X)=3X0.6X(l—0.6)=0.72.5．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；投资股市投资结果获利40%不赔不赚亏损20%113概率288购买基金投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率P13q(1)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中4至少有一人获利的概率大于I，求p的取值范围；5(2)丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知P=|,那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由．解：⑴记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，^qC=ABuABuAB,且A,B独立.由题表可知，P(A)=2,P(B)=p.1111143所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=2^(1—p)+§p+2P=2+尹＞5，解得卩＞亍12又因为p+§+q=l,q±0,所以pW§.(32所以p的取值范围是(5,3.(2)假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为X80—4P1132881135则E(X)=8远+0爲+(_4)爲=2・假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y的分布列为Y40—2111P12361115则E(Y)=4爲+0乂§+(—2