第二讲、第三讲、第四讲三角形五心定理及证明课件

三角形“五心”定理及证明第二讲、第三讲、第四讲初中数学三角形“五心”定理及证明第二讲、第三讲、第四讲初中数学1三角形的“五心”定理4内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。1235外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。垂心：三条高的交点。重心：三条中线的交点。三角形的“五心”定理4内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交2内心：三条角平分线的交点证明：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OF=OE∴OD=OE∴AO为角BAC的平分线注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。内心：三条角平分线的交点证明：过点O作三边的垂线，垂足分别为3证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线外心：三条中垂线的交点注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。外心：4证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴OF=OE∴BO为角ABC的平分线注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。旁心证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。注：红线为所要5垂心：三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。∴角FBO=角CDE······①

（同弦(弧)所对圆周角相等）又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。∴角AOE=角ADE（同弦(弧)所对圆周角相等）且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。垂心：三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。6重心：三条中线的交点

方法一：证：连结AO交BC于点F。∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD（S△表示三角形的面积）

（底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC······①注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。重心：三条中线的交点

方法一：注：红线为所要证明的线，绿线为7重心：三条中线的交点同理可得：S△BOC=S△AOB······②

由①②得，S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。∴S△AFB=S△AFC又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC的距离）。∴它们底相等，即：BF=CF∴AF为三角形的中线。重心：三条中线的交点同理可得：8重心：三条中线的交点方法二：证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。连GH交AF于点M。∵DE为△ABC的中位线∴DE#1/2BC（#表示平行且等于）同理，可得：GH#1/2BC∴DE#GH即：四边形DEHG为平行四边形。重心：三条中线的交点方法二：9重心：三条中线的交点易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN∵DG为△ABO的中位线∴DG∥NM,即四边形DGMN为平行四边形∴D