《自动控制原理》胡寿松002自动控制原理第二章课件

1第二章控制系统的数学模型§2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换§2.2控制系统的时域数学模型§2.3控制系统的复域数学模型§2.4控制系统的结构图信号流图1第二章控制系统的数学模型§2.1傅里叶变换与拉普拉斯2

控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。

引言2 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（3

依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法。

机理分析法

实验辨识法

给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。

数学模型有多种形式，常用的有：微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。3依据描述系统运动规律的定律并通过理论41.电容2.电感3弹簧弹性力4阻尼器5牛顿定律6电机7二阶方程的通解2-0预备知识—牢记一些典型时域数学模型41.电容2-0预备知识—牢记一些典型时域数学模型5§2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶变换自学5§2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶变换自学6拉氏变换及其性质

1.定义

记X(s)=L[x(t)]

2.性质和定理

1)线性性质

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)

6拉氏变换及其性质72)微分定理若,则…72)微分定理若,则…8若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)积分定律X（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…8若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各9

5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且

4)终值定理

若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：存在，则95)初值定理4)终值定理存在，则106)延迟定理L[x(t)1(t)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)时标变换8)卷积定理106)延迟定理8)卷积定理114.举例

例2-3

求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例2-4

求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：114.举例例2-4求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变12例2-5

求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。解：

以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。12例2-5求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变13例2-6

求函数x(t)的拉氏变换。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)

A1(tt0)13例2-6求函数x(t)的拉氏变换。tx(t)0At14例2-7

求eat的拉氏变换。解:例2-8

求e

0.2t的拉氏变换。解：14例2-7求eat的拉氏变换。例2-8求e15

，求x(0)，x()。解：例2-9

若二.复习拉氏反变换

1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)2.求拉氏反变换的方法

①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法15，求x(0)，16

③部分分式法

一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有式中p1,…,pn是

D(s)=0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论：（1）D(s)=0无重根。16③部分分式法通常m<n，a1,17式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1

，则17式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。18（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1

，则18（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1，则19i=r+1,…,n…19i=r+1,…,n…203.举例

例2-10，求原函数x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)203.举例例2-10，求原函数x(t)。解：21的原函数x(t)。例2-11

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)21的原函数x(t)。例2-11求解：s2+2s+22

的原函数x(t)。解：例2-12

求22的原函232.2控制系统的时域数学模型

232.2控制系统的时域数学模型

242.1基本概念

定义：数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。建立数学模型的目的

是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

建立方法

解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式

实验法（实验建模）：对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性242.1基本概念定义：数学模型是描述系统内部物理量（或252.2时域模型-微分方程2.2.1.建立系统或元件微分方程的步骤

确定元件输入量和输出量根据物理或化学定律，列出元件的原始方程在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理消去中间变量，得到描述元件输入和输出关系的微分方程对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式图2-1建立系统或元件微分方程的步骤252.2时域模型-微分方程2.2.1.建立系统或元26

三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv

例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。

解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。

KmfF(t)y(t)2.2.2机械平移系统举例26解：遵照列写微分方程的一般步骤有：KmfF(t)27

（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即

（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得

（6）整理方程得标准形

（4）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)27（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即（5）将以上辅助28

2.2.3电路系统举例

例2-2电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为RCur(t)

uc(t)L28令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为29

解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。

（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:

（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)

uc(t)L（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由KVL写原始方程：i(t)29解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t30（6）整理成标准形，令T1

=L/R，T2=RC，则方程化为

2.2.4线性微分方程的一般特征

观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：30（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，31式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。

从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：

（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）左端的阶次比右端的高,n>=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

3132

相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。比如比如令uc=q/C模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。32相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有33

用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：

1)对微分方程两边进行拉氏变换。

2)求解代数方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。2.2.5线性常系数微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1332.2.5线性常系数微分方程的求解微分方程式r(t)c34

例2-13

求解微分方程：

解：两边取拉氏变换

s2Y(s)

sy(0)

y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/25et

+

3/2e2t初始条件：y(0)=1,y(0)=234例2-13求解微分方程：解：两边取拉氏变换35

例2-14

图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。

解：设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。由KVL写出电路方程

电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换RC

uruc35例2-14图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求36当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，

得

式中右端第一项是由输入电压ur(t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)=0时的响应，故称零状态响应；

第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur(t)=0时的响应，故称零输入响应。36当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，得3737例2.15：用拉氏变换解微分方程iucurCRL3737例2.15：用拉氏变换解微分方程iucurCRL3838383839

用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s代替,得到。当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，幸运的是，往往并不需要求出解，可用图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。39用拉氏变换求解的优点：40重点建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式例如：牛顿第二定律、基尔霍夫定律、质量守恒定律，刚体旋转定律等建立的微分方程的标准形式特点：方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。40重点41小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。

一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即

x=x0+△x,y=y0+△y二、近似处理略去高阶无穷小项

严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。三、数学方法§2.2.6非线性微分方程的线性化41小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。二、近42取一次近似，且令即有解：在工作点(x0,y0)处展开台劳级数例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。42取一次近似，且令即有解：在工作点(x0,y0)处展开432.3.1传递函数的定义和实际意义

微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L[]法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。1定义

在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。2-3控制系统的复数域数学模型432.3.1传递函数的定义和实际意义微分方程是时44即

可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数。传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)44即可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路45一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++am1s

+

am

)R(s)按定义，其传递函数为45一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入46G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但它是一个函数，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。但在工程实际当中：1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t=0的值为零。2）输入在t=0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t=0的值为零；对于非0初始条件时，可采用叠加原理。46G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，47试列写零初始条件下网络传递函数Uc(s)/Ur(s).例2.3.1

如图RLC电路，RLCi(t)ur(t)uc(t)解:

零初始条件下取拉氏变换：传递函数：47试列写零初始条件下网络传递函数Uc(s)/Ur(s).48传递函数的基本概念[例2.3.2]求下图的传递函数：B为虚地点，所以所以：48传递函数的基本概念[例2.3.2]求下图的传递函数：B49传递函数的基本概念[总结]:

传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。

已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导数用各阶s代替即可。即：49传递函数的基本概念[总结]:已知传递函数G(s)和50

2.3.2传递函数的性质

(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。

(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。

(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。

(e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）(f)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。并且所有的系数均为实数。(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。

系统辨识

502.3.2传递函数的性质512.3.3典型环节及其传递函数

可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有6种，这些典型环节,对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。分述如下：

自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递函数G(s)，都可表示为：512.3.3典型环节及其传递函数可看成是若干称为典521.比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）运动方程式c(t)=K

r(t)

传递函数G(s)=K

单位阶跃响应C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。

r(t)1c(t)t0K521.比例环节r(t)1c(t)t0K5353比例环节:

输出量无滞后，按比例复现输入量

电位器5353比例环节:电位器5454惯性环节该环节存在储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所示。(a)为系统的输入变化，(b)为系统的输出响应。输出按单调指数规律上升.5454惯性环节55

惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不能立即复现。其运动方程为

传递函数为2.惯性环节

惯性环节由运算放大器构成的惯性环节55惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不562.惯性环节微分方程式：

式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=1/T，无零点。传递函数：

j

01/T单位阶跃响应:562.惯性环节式中，T是惯性环节时间常数。惯57

阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T57阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。0tc(t)0.58积分环节积分电路3.积分环节

输出量正比于输入量的积分，其动态特性方程为

传递函数为58积分环节积分电路3.积分环节输出量正比于593.积分环节微分方程式：传递函数：593.积分环节传递函数：60单位阶跃响应：

当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。r(t)t01c(t)t01T60单位阶跃响应：当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间61

微分环节RC电路4.微分环节

理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即

传递函数为一阶微分环节61微分环节RC电路4.微分环节62

式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T称为振荡环节的时间常数，ξ

为阻尼比，n为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：传递函数为：或5.二阶振荡环节微分方程式为：62传递函数为：或5.二阶振荡环节63单位阶跃响应：式中，β=cos－1ξ。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。c(t)t01np1p2

jd

ξn

j

063单位阶跃响应：式中，β=cos－1ξ。响应曲线c(t)646.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：单位阶跃响应：

c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01无理函数的工程近似：AB646.延迟环节c(t)=1(t)r(t)t0652.4控制系统结构图2.4.1结构图的基本组成

微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响。定义:

由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。结构图又称为方框图、方块图等，既能描述系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响。

652.4控制系统结构图2.4.1结构图的基本组成66方框（环节）方框表示对信号进行数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数。系统输出的象函数等于输入的象函数乘以方框中的传递函数或者频率特性信号线信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁边标记信号的时间函数或象函数。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点.综合点（比较点）比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，

“＋”表示相加，“－”表示相减。进行相加或相减的量应具有相同的量纲单位分支点（引出点）引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。66方框（环节）综合点（比较点）672）结构图的基本作用：

(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。

(b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。

(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。672）结构图的基本作用：68结构图的绘制步骤

(1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。

(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。

(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。68结构图的绘制步骤

(1)列写每个元件的原始方69

例2-16

画出下图所示RC网络的结构图。

R

C

u1

u2

解：(1)列写各元件的原始方程式

i69RCu1u2解：(1)列写各元件70(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)70(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将7171

结构图的绘制

例2.17

绘制如图所示RC网络的结构图。中间变量：i,i1,i2;信号量：ur,uc

根据电路定律，得到以下方程7171结构图的绘制例2.17绘制如图所示RC网络的7272

按照上述方程，可以分别绘制相应元件的结构图，如图(a)～(d)所示。然后，根据相互关系将这些结构图在相同信号处连接起来，就得到整个系统的结构图。11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sI)(sUc1R)(1sICs)(2sI)(1sI)(2sI)(sI11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sUc1RCs)(2sI)(1sI)(sI(a)(b)(c)(d)(e)7272按照上述方程，可以分别绘制相应元件的结构图，如图73总结建立控制系统各元部件的微分方程对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的方框图和比较点。置系统输入量于左端，输出量于右端，便得到系统结构图。从与系统输入量有关的比较点开始，依据信号流向，把各元部件的结构图连接起来。73总结建立控制系统各元部件的微分方程74练习绘出RC电路的结构图。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)74练习Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC75

2.4.2结构图的基本连接形式

1.三种基本连接形式

(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。

故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由图可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)752.4.2结构图的基本连接形式G2(s)U(s)C76

(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。

由图有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+76(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等77C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+77C(s)=C1(s)C2(s)G1(s)78

(3)反馈连接

连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。由图有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。78(3)反馈连接由图有C(s)=79G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定义：G(s)：前向通道传递函数

E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数

C(s)B(s)H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。79G(s)R(s)C(s)定义：R(s)C(s)G(s)802.闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。（1）控制输入下的闭环传递函数令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++802.闭环系统的常用传递函数（1）控制输入下的闭环传递函数81（2）扰动输入下的闭环传递函数令R(s)=0有

（3）两个输入量同时作用于系统的响应

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++81（2）扰动输入下的闭环传递函数（3）两个输入量同时作用于82（4）控制输入下的误差传递函数（5）扰动输入下的误差传递函数（6）两个输入量同时作用于系统时的误差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++82（5）扰动输入下的误差传递函数（6）两个输入量同时作用于833.闭环控制系统的几个特点

闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制——较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关833.闭环控制系统的几个特点闭环控制系统的优点通过842.4.3结构图的等效变换

变换的原则：变换前后应保持信号等效。1.分支点后移GRCRGRC1/GR2.分支点前移GRCCGRCGC842.4.3结构图的等效变换GRCRGRC1/GR2.854.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F854.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGC865分支点换位

865分支点换位876.比较点互换或合并R1CR2++R3R1CR2++R3R1CR2+R3876.比较点互换或合并R1CR2++R3R1C887相加点和分支点一般不能变位

887相加点和分支点一般不能变位892.4.4结构图的简化

对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。892.4.4结构图的简化9090注意对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路。但在移动中一定要注意以下几点：①必须保持移动前后信号的等效性；②相邻综合点可以互相换位和合并；③相邻分支点可以互相换位；④综合点和分支点之间一般不宜交换位置。

9090注意对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路。但在9191

序号原结构图等效原结构图等效法则

1串联等效

2并联等效

3反馈等效9191序号原结构图等效原结构图等效法则1串联等效2并9292

4等效单位反馈5比较点前移6比较点后移7引出点前移

92924等效单位反馈5比较点前移6比较点后移7引出点前移9393

8引出点后移9交换和合并比较点10交换比较点和引出点（一般不采用)11负号在支路上移动

93938引出点后移9交换和合并比较点10交换比较点和引94例2.9G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)94例2.9G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s9595例2.10：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)显然若不移动比较点或引出点的位置就无法化简。H2(s)9595例2.10：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s9696首先将间的引出点后移到方框的输出端接着将组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为H2(s)H2(s)9696首先将间的引出点后移到方框的输出9797得到图为然后将组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为：

H2(s)/G4(s)H2(s)9797得到图为H2(s)/G4(s)H2(s)9898得到图为最后将求得其传递函数为：H2(s)/G4(s)9898得到图为H2(s)/G4(s)9999练习：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)显然化简该结构图也需要移动比较点和引出点，需要注意得是，引出点和比较点之间是不宜随便移动的。因此我们将比较点前移，将引出点后移。得到图为9999练习：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R100100将两个比较点合并，并将求出的等效传递函数：得到图为得到系统等效传递函数：100100将两个比较点合并，并将求出1012.4.3闭环系统的结构图和传递函数控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统。通常，控制系统会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或称为干扰、噪声等，常用n(t)表示。通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函。通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函。1012.4.3闭环系统的结构图和传递函数控制系统常采用102反馈通道传递函数从输出端反送到参考输入端的信号通道，称为反馈通道

前向通道传递函数前向通道是指从输入端到输出端的通道102反馈通道传递函数前向通道传递函数103系统的开环传递函数上图中将反馈的输出通路断开，反馈信号对于参考输入信号的传递函数称为开环传递函数。这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积为该系统的开环传递函数。103系统的开环传递函数104

作用下系统的闭环传递函数令，这时系统结构图如上图，系统传递函数为：系统输出为：

作用下系统的闭环传递函数令，这时系统结构图如上图，系统传递函数为：系统输出为：104作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递105105系统总输出根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用引起输出的综合因而得到系统总输出为：105105系统总输出106RCG1G2G3H1H2例2-17用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2106RCG1G2G3H1H2例2-17用结构图化简的方107方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1107方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H2108

例2-18用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：108例2-18用结构图化简的方法求下图所示系统传递109RG1G2CG3RG1G2CG31/G2109RG1G2CG3RG1G2CG31/G21102.5.1信号流图的基本概念

1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=

a12x1式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系函数运算关系变量因果关系x1a12x22-5控制系统的信号流图及梅逊公式1102.5.1信号流图的基本概念x1a12x22-5控1112-5控制系统的信号流图及梅逊公式例1:x2

=a12

x1

a12x1x2

a12x1x2方框图信号流图例2:x2=a12x1+a32x3

x3=a13x1+a23x2+a33x3

x4=a24x2+a34x3x1输入节点x4输出节点x2，x3中间节点（混合节点）1112-5控制系统的信号流图及梅逊公式例1:x2=112EiEEoI1II2++－－2-5控制系统的信号流图及梅逊公式

由方框图到信号流图，有些中间变量可以不表示出来，如I1。有些中间变量（位于综合点前，有输出）必须表示出来，如Ei和E，用单位增益支路将它们分开。112EiEEoI1II2++－－2-5控制系统的信号流图1132-5控制系统的信号流图及梅逊公式G1G2RE1UYE1+－+－1-111-1RE1UE1Y1132-5控制系统的信号流图及梅逊公式G1G2R1142-5控制系统的信号流图及梅逊公式KMason公式：G——从输入节点到输出节点的总增益（系统传递函数）

Δ=1－ΣLi+ΣLaLb-ΣLαLβLγ+…

Li

——

一个回路的总增益

LaLb——两两互不接触的回路的总增益

LαLβLγ——三个互不接触的回路的总增益Gk

——从输入到输出第k条通道的总增益Δk——Δ中去掉与第k条通道接触的部分1142-5控制系统的信号流图及梅逊公式KMason公式：115

回路——沿信号方向每一个节点只通过一次的闭路。通道——从输入到输出沿信号方向每个节点只通过一次的通道。接触——指有公共的节点和支路。abcdefbe,cf

回路,becf不是回路abcd

是通道，aecd和abecd

不是

2-5控制系统的信号流图及梅逊公式115

回路——沿信号方向每一个节点只通过一次的闭路。a116

下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32116下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。a43a1172.信号流图的基本元素

(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。

(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。支路具有两个特征：

有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。

有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。1172.信号流图的基本元素118

3.信号流图的几个术语

节点及其类别

输入节点(源点)

只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。

混合节点

既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。

输出节点(汇点)

只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x21183.信号流图的几个术语混合节点既有输入支119

通道及其类别

通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

闭通道(回环)

如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)

。119通道及其类别a33x1a12x2x3a120

前向通道

从源节点到汇节点的开通道。

不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的基本性质

1）信号流图只能代表线性代数方程组。

2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。

3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。

4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。

5）对于给定的系统，信号流图不唯一。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4120前向通道从源节点到汇节点的开通道。a31212.5.2信号流图的绘制方法

1.直接法

例2-19

RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。解：(1)列写原始方程

(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)

(3)整理成因果关系RCur(t)

uc(t)Li(t)1212.5.2信号流图的绘制方法解：(1)列写原始方程122

(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R122(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(1232.翻译法例2-20

画出下图所示系统的信号流图。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)1232.翻译法R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)124系统结构图信号流图变量节点输入变量源节点比较点引出点

混合节点传输线

方框支路输出端汇节点124系统结构图信号流图1252.8.3梅逊增益公式

1.梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为式中P—

总传输(增益)；

n—

从源节点至汇节点前向通道总数；

Pk—第K条前向通路的传输；

—信号流图的特征式；

k—第k条前向通路特征式的余因子式1252.8.3梅逊增益公式式中P—总传输(增益126

线性代数方程的克莱姆法则

为所有不同回环的增益之和；

为每两个互不接触回环增益乘积之和；

为每三个互不接触回环增益乘积之和；

为在Δ中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。126为所有不同回环的增益之和；为每两个互不接触回环增益乘127

解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfkP1=abcdefgh1=10=1例2-21求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。x0ax8bcdefghijkm127解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道例128

例2-22

已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。bx1gx2ax3jhci23efd

解：单回路：ac，abd，gi，ghj，

aegh

两两互不接触回路：

ac与gi，ghj;abd与gi，ghj

＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的传输：

P1=2ab1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab