2023学年完整公开课版圆周角2

24.1.4圆周角

复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？oAB顶点在圆心的角叫圆心角。oABC考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？

oABoABoABoABoABoABCABoCoABCoABCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?ABoCoABCoABC圆心在一边上圆心在角内圆心在角外如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?●OABC●OABC●OABC圆周角和圆心角的关系1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●OABC圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.D∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,ABC●OABC综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.oABC∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系??思考分析:连接OA,OB,∵AB=AB⌒⌒∴∠C==1/2∠AOB∴∠ACB的度数等于它所对的弧AB的度数的一半.规律：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半活动2问题2

同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？规律：

同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？?思考在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．ABCD在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.则∠D=∠A∴AB∥CD如图,若AC=BD⌒⌒问题在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？活动CA'BB'AC'如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是弧AC与A′C′不等1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6练习

求圆中角X的度数BAO.70°xAO.X110°练习:X=35°X=140°例题

1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A解：连接AC，因为CD=CD，所以∠CBD=∠CAD=30⌒⌒°⌒⌒同理；BC=CB所以∠CDB=∠CAB=20所以∠DAB=50°°

1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A

2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB=CF,

弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E

求证：BE=EC例题⌒⌒ABDC如图:四边形ABCD中,∠A与∠C有何关系?∠A+∠C=180?思考问题半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？活动AOBC1C2C3半圆（或直径）所对的圆周角是直角问题90°的圆周角所对的弦是什么?活动AOBC1C2C390°的圆周角所对的弦是圆的直径例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．·ABCO求证：△ABC

为直角三角形.证明：CO=AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO=AB∴△ABC

为直角三角形.1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°

，求∠BOC的度数。⌒⌒2、如图，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°，求∠A的度数。∠BOC=140°∠A=21°练习4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=__；3.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D

为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______；20°25°练习

5、如图：0A、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC。求证：∠ACB=2∠BAC。oABC练习：6.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABC例1在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？分析在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？解

考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN．因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.BABCO例2:已知,⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC例题圆心角为60度圆周角为

30度或

150度。OAB如图，∠A是圆O的圆周角，

∠A=40°，求∠OBC的度数。

练习：练习:如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种