行列式的计算技巧

行列式的计算技巧行列式的计算技巧很多，在这里，我们介绍常见的一些行列式的计算技巧主要包括行和或列和相等，爪型（歪爪型）、范德蒙（伪范德蒙）、加边法、递推降阶法、层层递加（减）/法等等。方法1行（列）和相等这类行列式的计算一般把行列式的行全部加到第一行，或者把所有的列全部加到第一列，习惯上，我们可以全部加到第一列，提取公因子后，第一列全部变成1，从而方便我们植1造0，或者在此时观察行列式的特点，进一步化成上三角或者下三角来进行计算。例1.兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。求如下行列式的值。xaa•••a12naxa•••a12nD=•••n+1aaa•••a123naaa•••x123［分析］我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式，这样行列式的次数就降了一次。解：\o"CurrentDocument"Ea+x a ai=\o"CurrentDocument"Ea+x a ai=1\o"CurrentDocument"Ea+x x ai 2i=1\o"CurrentDocument"D= \ ；n+1\o"CurrentDocument"^a+xa ai=1\o"CurrentDocument"^a+xa ai=1对行列式=(Ea,+x)ni=1a2a2a3a3…an…an…an…xTOC\o"1-5"\h\z1a a …a1 2 n1 x a …a2 n••••1a a …a2 3 n1a a …x23进行观察，此时一般有两种途径，一种是在第一列造0，把第二行开始后的每一行都减去第一行，或者利用第一列的1，把第一列的倍数加到其他列来造0，具体采用哪个看具体问题，在本题中，可以考虑把第一列的-a1倍加到第2列，第一列的-a2倍加到第3列，

，第一列的-an倍加到最后一列，。D=乙+x)n+1 ii=111:111a1x:a2a2a2a2:a3a30…………0anan:anx.01x-a0.0 万 、1.从而有=(Ja+x):ii=1 1a2:-a1a3:-a2.:01a2-a1a3-a2.x一an=(zLa+x)(x-ai1)(x-a)..•(x-a)i=1方法2 爪(歪爪)型行列式此类行列式有三条线构成，类似一个爪子，或者歪爪，可以采用去爪的方法来做，特别注意歪爪只能去掉歪了的爪子，在去爪的过程中，利用主对角线上的元素来去爪子，层层递进即可。列乘以-n加到第一列，倒数第2列乘以-n加到第一列，倒数第2列乘以-(n-1)乘到第一列，一直下来，123…n210…0D=301……n…… …n00…1到第3列乘以-3加到第1列，第2列乘以-2加到第一列，则有1-n2-(n-1)2 32-2223n010…0D= 001 .••0.0.0 …1分析：最后=1-22-32 (n—1)2-n2

例2-2:计算下面行列式111…11210…000D=31…00n,•,0…0 0……1…0000…n1一直下来，到第3列乘以-3加到第2列第2列乘以-2加到第1列，则有1—21—31…1—n1010… 00001… 00D==—1-1n-1=—_n•………… ……000… 10000… 01分析:最后一列乘以—〃加到第(n-1)列，倒数第2列乘以—(n-1)加到第(n-1)列，方法3 (伪)范德蒙行列式首先，熟悉范德蒙行列式的结果，等于第2行中每个元素减去前面元素的所有因子的乘积，范德蒙行列式的推导可以使用层层递减法得到。例3-1：111 …11D=x1X21X2X22X3X23•…•……Xn—1X2n—1XnX2n=n（x-x）j>/>1nXn—21Xn—11Xn—22Xn—12Xn—23Xn—13•…•…Xn—2n—1Xn—1n—1Xn—2nXn—1n［分析］此行列式是标准的范德蒙行列式，例3-2：记住它的结果。1111D4aa2bb2cc2dd2a4b4c4d4［分析］此行列式并非标准的范德蒙行列式，少了三次方，不妨把这种行列式称为伪范德蒙行列式，这类行列式的计算可以通过构造一个真正的范德蒙行列式，然后通过系数的对比来进行计算。解：构造五阶范德蒙行列式11111abcdXa2b2c2d2X2a3b3c3d3X3a4b4c4d4X4一方面，这是一个范德蒙行列式，所以可以直接求出它的结果是另一方面D=3-a)(X-b)(X-c)(X-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)5另一方面，此行列式按照第5列展开可得D5=1-气+XA25+X2气5+X3A45+X4%这两个表达式必定相等，因此当中未知数的系数也相等，观察三次方的系数，则有A=-D=-(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)45 4即D4=(a+b+c+d)(d一a)(d一b)(d一c)(c一a)(c一b)(b一a)方法4递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。例4,2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"以+。ap0 ••-0 0\o"CurrentDocument"1 a+p a。 ..• 0 0\o"CurrentDocument"D〃=0 1 a+p ... 0 0\o"CurrentDocument"• • • • •\o"CurrentDocument"• • • • •\o"CurrentDocument"• • • • •0 0 0 ••- 1 a+p证明：D=以;一。"+1,其中a。。［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1］。从行列式的左上方往右下方看，即知D】与。具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：D：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：D=(a+P)D"a。D2这是由D和D表示D的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

D-aD 1=3D 1—a。D =(D1-aD2)或 D-3D =aD -a。D =a(D-。D)现可反复用低阶代替高阶，有：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"D-aD =3(D -aD )=。2(D-aD )=。3(D -aD)\o"CurrentDocument"=...=3n-2(D-aD)=3n-2[(a+3)2-a3-a(a+3)]=3n (1)同样有：D-3D=a(D-3D)=a2(D-3D)=a3(D-3D)=...=an-2(D—3D)=an-2[(a+3)2—a3—3(a+3)]—an (2)2 1因此当a。3时由（1）（2）由（1）（2）式可解得：Dnan+1—3n+1

a-3方法5加边法（升阶法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：1a…a10•••0a…a01nb111na…aa••・aa…a111n1111nD—21•2n•—0a…aba••・an••••••21••2n2••21••2na…a••••n1nn0a…aba••・an1nnnn1nn特殊情况取a二二a—-••—a—1或b—b—-••—b—二112n1 2n例5、计算n阶行列式:X2+1xxX2+1xxxx12

x22+1x1x2x1x2xx12xx12［分析］我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为X］与x1,x2,…,xn相乘，第二行为x2与X］,X2,…，xn相乘，，第n行为xn与X］,X2,…，xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,…，xn，从而就可考虑此法。解：

x1x2+11xxx2x1x2+11xxx2xxx2+12xnxxxx(i=1,…，n)-x1—x2c+xc(i=1,…，n)xx1+£x2in+1i=101+£x2ii=100•••1n+1方法6拆行（列）法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。例6、南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值:设n阶行列式：a11a21...a12a22...…a1n…a2n=1...an1an2…ann且满足a=—a,i,j=1,2,...,n,对任意数b，求n阶行列式ijjiTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a +b a +b …a +ba +b a +b ••• a +b21 22 2n•••a+ba+b…a+bn1 n2 nn［分析］该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然用拆行（列）法。解：a+ba+b•••a+baa+b•••a+bba+b•••a+b11121n11121n121na+ba+b•••a+baa+b•••a+bba+b•••a+bD=21n..22..2n..=21..22..2n..+..22..2n..a+ba+b•••a+baa+b•••a+bba+b•••a+bn1n2nnn1n2nnn2nn

aa•••a+bab…a+b1a•••a11121n111n121naa•••a+bab…a+b+b1a•••a21...22...2n...+21......2n......22...2n...aa•••a+bab…a+b1a•••an1n2nnn1nnn2nnaa••-a1na1••-a1n1a12…a1naa…• •• •• •a2n...+ba 1••-• ・• ・• ・a2n...+•••+b1...a22...…a2n...aa••-anna1••-ann1an2…ann1+bXa.+...+bXa.=1+bXi=1 i=1 i,j=1Aija11a12…a1n—人 a又令A=21..a22...…a2n...且a:ij——a,•.l,j=1,2,…,nan1an2…ann有：A=1,且A'=-A. A*即A*-A=E由A-1=a 得：A|-即A*-A=EA*=At又(AQ'=(A-1)'=(A)-i=-(A)-i=-A*•.•A*也为反对称矩阵又A(i,j=1,2,...,n)为A*的元素有XA=0i=1,j=1从而知：D=1+bXA^=1i=1,j=1方法7数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。

例7.证明：2cos0 1 0 0 012cos0 1 0 0D=0 12cos0 0 0•••••=林n (sin0。0)n• • • • •• • • • •0 0 0 ••-2cos0 10 0 0 ••• 12cos0sin0=2cos02cos01sin(1+1)0

sin012cos=2cos02cos01sin(1+1)0

sin012cos0=4cos20-1=sin(2二切

sin0结论显然成立。现假定结论对小于等于n-1时成立。即有：sin(n-2+1)0D= .n—2sin0将气按第】列展开，得：2cos01 …0012cos0••-00D=:•••n00 …2cos0100 …12cos0=2cos0-D-D=2cos0-n-1 n—2sin(n-1+1)0sin(n-2+1)0— sin0sin0)=sin(n-1+1)0n-1 sin02cos00... 0012cos0...